Поиски. Открытия. Находки (стр. 1 )

Серпухов 2011

Поиски. Открытия. Находки.

АПРЕЛЬ 2011

№4

Поиски.

Открытия.

Находки.

Круглый стол учителей математики
«Разнообразие форм и методов подготовки выпускников школы
к ГИА и ЕГЭ»

 

Педагогический альманах

" Поиски.

Находки.

Открытия»

Издается МОУДПО

"Учебно-методический

центр"

142205 г. Серпухов,

ул. Физкультурная, д.9

Телефоны– 72

3– 09

Факс–72

Директор

Заборская Нэлли Федоровна

Круглый стол учителей математики
«Разнообразие форм и методов подготовки выпускников школы
к ГИА и ЕГЭ»

Дата: 28.02.2011г.

Цели:

1.  Обсудить проблемы подготовки учащихся 9 и 11 классов к итоговой аттестации.

2.  Определить эффективность различных форм и методов подготовки выпускников к экзамену, применяемых учителями на уроках и во внеурочной деятельности.

План проведения:

1.  Вступительное слово руководителя ШМО учителей математики
МОУ СОШ №7

2.  Выступления учителей математики МОУ СОШ №7.

3.  Обмен мнениями по предложенной теме.

4.  Подведение итогов.

№ п/п	Тема выступления	ФИО учителя
1	Устно-письменные работы на уроках алгебры в 8 классе.	учитель математики высшей категории
2	Устные упражнения на уроках геометрии в 8 классе.	учитель математики первой категории
3	Дифференцированный подход при подготовке учащихся 9 классов к итоговой аттестации.	учитель математики первой категории
4	Тестовые технологии на уроках математики при подготовке учащихся 9 классов к ГИА.	учитель математики первой категории
5	Система тематического повторения на уроках алгебры в 11 классе.	учитель математики высшей категории
6	Использование дистанционного обучения при подготовке выпускников к ЕГЭ. Составление алгоритма – одна из форм подготовки к ГИА..	учитель математики высшей категории

Вопросы для обсуждения:

1.  Какая из форм подготовки учащихся к экзамену на ваш взгляд наиболее эффективна?

2.  Расскажите о формах и методах подготовки учащихся к ГИА и ЕГЭ, которые используются учителями Вашей школы.

3.  О каких формах и методах подготовки выпускников школы Вы хотели бы узнать?

Вступительное слово руководителя ШМО учителей математики
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №7 с углубленным изучением отдельных предметов»

Цели нашей совместной работы:

3.  Обсудить проблемы, которые возникают у учителя при организации подготовки учащихся 9 и 11 классов к итоговой аттестации.

4.  Определить эффективность различных форм и методов, применяемых учителями на уроках и во внеурочной деятельности с целью подготовки учащихся к выпускному экзамену.

Каждого учителя, работающего в выпускных классах, волнуют результаты итоговой аттестации его учеников. Экзамен по математике подводит итоги ежедневного титанического труда по обучению самому трудному предмету школьной программы, включающему в себя материал нескольких лет обучения: с 5 по 9 классы в ГИА и с 5 по 11 классы в ЕГЭ.

Среди современных учащихся, к сожалению, мало тех, кто готов много и с интересом учиться, преодолевая подчас серьезные трудности. Поэтому современному учителю для повышения качества обучения приходится искать разнообразные формы и методы работы.

Сегодня учителя школы №7 расскажут о тех, которые, по их мнению, наиболее эффективно позволяют решать основные задачи образования и развития личности современного ученика, а также подготовки его к итоговой аттестации.

В рамках круглого стола мы планируем:

ü  обсудить «минусы» и «плюсы» различных технологий, предлагаемых современной методикой преподавания математики;

ü  освежить в памяти известные методы работы, посмотреть на них с иной точки зрения;

ü  узнать о новых эффективных формах обучения учащихся.

Надеемся на активное сотрудничество, которое позволит достичь поставленных целей.

УСТНО-ПИСЬМЕННЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ПО АЛГЕБРЕ В 8 КЛАССЕ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ГИА.

Выступление на заседании круглого стола
«Разнообразие форм и методов подготовки выпускников школы к ГИА и ЕГЭ»
учителя математики МОУ СОШ №7

28.02.2011г.

Устно-письменные самостоятельные работы – одна из форм контроля знаний и умений учащихся. Эти работы имеют особую специфику содержания. Они включают в себя достаточно большой объем проверяемого материала, не предполагающего длительных преобразований и вычислений, но требующего хорошего владения теорией.

С помощью устно-письменной самостоятельной работы проводится промежуточный контроль знаний по изучаемой теме. Во всех таких работах выдерживается принцип нарастания трудности материала, что позволяет выполнять работу учащимся с разным уровнем подготовки.

Устно-письменная самостоятельная работа имеет преимущество перед традиционной самостоятельной работой в том, что результаты своей работы ученики видят сразу после окончания её выполнения, когда ученик ещё не забыл ход решения задач и для него актуальны проблемы его поиска.

Материал, изучаемый на уроках алгебры в 8 классе, полностью входит в экзаменационные варианты ГИА, поэтому, работая в этом году в 8 классах, я решила при изучении и закреплении материала использовать задания из сборников по подготовке к ГИА (литература прилагается).

Перед изучением темы выбираю задания из всех имеющихся сборников, и распределяю эти задания по урокам.

Для примера возьму задания по теме «Арифметический квадратный корень». (Презентация 1, слайды 1-7). Это такие задания, как:

·  расположение иррационального числа на координатной прямой,

·  сравнение иррациональных чисел,

·  сокращение дробей, содержащих иррациональные числа,

·  задания на вычисление арифметических квадратных корней с использованием их свойств.

Задание из первой части использую при устном счете (по 4-5 заданий на каждом уроке), а для проведения устно-письменной самостоятельной работы задания из первой части и несложные из второй.

 

Слайд 7. Слайд 8.

Устно-письменная работа состоит из двух частей: устного задания и письменного задания (слайд 8). На устные задания отводится определенное время, например, на это задание – три-четыре минуты. Ученики решают задания устно, ответы пишут на листке. Затем через 4 минуты появляется на экране задание для письменной части работы, на которую отводится тоже определенное время, например, 8 минут (слайд 9).

Слайд 9. Слайд 10.

Для выполнения устной части работы требуется знание теоретического материала – свойств арифметического квадратного корня, понятия иррационального числа. Верное выполнение устной части даст возможность сделать вывод об уровне усвоения учениками текущего материала, письменная часть позволит проверить умение применять свойства арифметического квадратного корня в более сложных примерах. Ученики решают задания на листках письменно, себе на черновик пишут ответы устных и письменных заданий. Через отведенное время работы сдают, ответы сверяют (слайд 10). После проверки ответов проводится коррекция знаний, умений и навыков учащихся в ходе решения на доске заданий, вызвавших затруднения.

Такого вида работа мобилизует учащихся, повышает внимание, работоспособность, улучшает качество математической подготовки.

Изучая тему «Квадратные уравнения», я проводила аналогичную устно-письменную работу при закреплении теоремы Виета. Умение использовать теорему Виета для решения квадратных уравнений очень важно, т. к. в старших классах тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения приводятся к квадратным, которые часто легко решаются с помощью теоремы Виета (Презентация 2, слайд 3). На эту устно-письменную самостоятельную работу отводится больше времени, чем на предыдущую (на устные задания - 7 минут, на письменные – 13 минут). Результат выполнения устной части работы даёт представление о степени усвоения теоретического материала, об уровне умений и навыков ученика в применении теоремы Виета.

Результаты решения письменной части покажут:

·  умение ученика использовать формулу разложения на множители квадратного трёхчлена, применяя теорему Виета для нахождения корней;

·  применять теоретические знания при решении задания с параметром;

·  применять тождественные преобразования при работе с выражениями типа и .

После сдачи работ, учащиеся проверяют ответы. Затем разбираем решения примеров, вызвавших затруднения (слайд 5).

Такие самостоятельные работы помогают настроить учеников на режим работы на экзаменах, где время решения первой части ограничено, учат правильно распределять своё время.

По теме «Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений» хочу показать другой вид устно-письменной самостоятельной работы (слайд 6). Первые 6 уравнений — это простейшие квадратные уравнения, а начиная с 7-ого, при решении уравнений используются уже ранее найденные решения (слайды 7,8).

 

Слайд 6.

Слайд 7.

Такая работа полезна тем, что за сравнительно небольшой промежуток времени можно повторить решения уравнений разного вида:

·  квадратных;

·  распадающихся, т. е. имеющих вид «произведение равно нулю»;

·  уравнений, одна часть которых алгебраическая дробь, а другая – нуль.

Устно-письменные самостоятельные работы наряду с другими формами контроля позволят более успешно подготовить учащихся к ГИА, позволяя охватить больший объем материала за меньшее время.

УСТНАЯ РАБОТА ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ, КАК ФОРМА РАБОТЫ ПО ПОДГОТОВКЕ К ГИА

Выступление учителя математики МОУ «Средняя общеобразовательная школа №7 с углубленным изучением отдельных предметов»
28.02.2011г.

В следующем году мои восьмиклассники будут сдавать экзамен по математике, где они должны решить несколько задач по геометрии. Почему я взяла эту форму подготовки к ГИА? Смотрите, какое разнообразие тем по геометрии в 8 классе: Четырёхугольники, площади, подобные треугольники, окружность, векторы и всё это нужно запомнить и правильно применить.

На начальном этапе изучения геометрии основную трудность для учащихся представляет выполнение чертежа. Кроме того, на его выполнение расходуется много времени. На уроках геометрии очень часто каждое высказывание и ответ на вопрос должны как правило сопровождаться демонстрацией чертежа, причём чертёж и данные из условия задачи должны находиться перед глазами учащихся во время её решения. Когда учащиеся наглядно видят условие, то легче решают задачи. Упражнения на готовых чертежах оказывают неоценимую помощь в усвоении и закреплении новых понятий и теорем, они дают возможность усвоить и повторить большой объём материала за небольшое время.

Упражнения на готовых чертежах способствуют активизации мыслительной деятельности учащихся, обучают умению грамотно рассуждать, делать правильные выводы. Это приводит к эффективному непроизвольному запоминанию определений, свойств и признаков изучаемых фигур. С другой стороны определения, свойства, признаки фигур периодически повторяются, что приводит к продуктивному запоминанию. Ученики с удовольствием выполняют эти упражнения.

Задания заранее готовлю на доске или на небольших плакатах, отвожу на их решение 10-12 минут на каждом уроке, использую решение задач на готовых чертежах и в конце темы, на уроках обобщающего повторения.

 

Положительные моменты решения задач на готовых чертежах:

Большой объём

Экономия времени

Активизация мыслительной деятельности

Развитие логики

Наглядность

Умение грамотно рассуждать

Отрицательные моменты решения задач на готовых чертежах:

Не анализируется текст

Не чертят сами (уже готовые чертежи)

Страдает письменная логика

Поэтому, даю задание детям самим составить и рассказать решение 5-6 задач по теме, а кто не желает составлять, тот просто сдаёт зачёт, но уже 8-10 задач. Ученики сами составляют задачи с текстом, даю задание заготовить дома чертежи по задачам, которые будут на уроке. Во время устного ответа требую рассказывать решение как будто записывают его в тетрадь1…,2…,3…,и. т.д. Оценивание: если один ученик решил задачу полностью, то он получает оценку, если фронтальное решение, то за хорошую идею ученик получает «+», а набрав несколько «+» - получает оценку в журнал.

Задачи на готовых чертежах:

дают возможность сэкономить значительную часть времени урока при изучении нового материала,

позволяют увеличить количество и качество повторяемого материала,

способствуют усилению практической направленности преподавания геометрии,

являют образное представление условия,

помогают устно фронтально выстраивать схему решения задачи,

могут служить подсказкой в решении.

Литература:

1.  Задачи на готовых чертежах для 7-9 классов.

2.  Задачи и упражнения на готовых чертежах.

3.  Рабочая тетрадь в двух частях по геометрии.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫЙ ПОДХОД ПРИ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ

9 КЛАССОВ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ

Выступление учителя математики МОУ «Средняя общеобразовательная школа №7
с углубленным изучением отдельных предметов»
28.02.2011г.

Реформы, происходящие в российском школьном образовании в последние годы, предполагают введение новой формы итогового контроля в 9 классе с аббревиатурой ГИА. Данное обстоятельство требует скорейшего совершенствования процесса обучения. Перед педагогами стоит сложная задача: подготовить учащихся к новой форме контроля в виде тестов и в то же время  дать обучающимся прочные знания, научить школьников анализировать, исследовать, выбирать оптимальный способ решения задачи и логично излагать это решение для успешной сдачи ГИА.

Литературы для подготовки к ГИА выпущено уже довольно много. Она представлена в основном пособиями с наборами примерных вариантов ГИА, ответами и решениями. Предлагаемые  материалы очень полезны на последнем этапе обучения школьников – в 9-м классе, когда практически все темы программы изучены, и остаётся только сориентировать учащихся на новую форму тестирования, «натаскать» на типовые задания используемые при сдаче ГИА. Однако опытный педагог прекрасно понимает, что без формирования прочного теоретического фундамента и практических умений никакое натаскивание не поможет в выборе предлагаемых вариантов ответа даже к заданию начального уровня.

Каждому учителю очевидно, что не всех учащихся можно обучать одинаково легко. При любой методике обучения, при самой лучшей ее организации, одни ученики будут продвигаться успешнее, другие с большим трудом и медленнее. Одни добиваются высоких достижений, больших успехов без особой затраты сил, в сравнительно короткий срок, другие при всем желании не могут подняться так же быстро на такой же уровень. В этой связи говорят о разных учебных способностях учащихся. Психологами введено специальное понятие «обучаемость» как восприимчивость к обучению. Обучаемость зависит от интеллектуальных особенностей человека, влияющих на прочих равных условиях на успешность обучения. Важнейшим среди психических процессов, влияющих на обучаемость школьника является мышление, а не внимание и память. То есть каким бы виртуозом не был учитель, какие бы совершенные приемы он не применял, он не может повлиять на скорость протекания психических процессов своих учеников, то есть «научить всех одинаково». Поэтому и встает вопрос о дифференцированном подходе в обучении.

В начале каждого учебного года в 5-9 классах мы проводим входные мониторинговые контрольные работы для выявления остаточных знаний учащихся. По остаточным знаниям детей я рассаживала их в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды. При этом учащиеся знали, что по мере усвоения материала они могли переходить в следующую по уровню подготовки группу.

Практическое осуществление уровней дифференциации не должно означать, что одним ученикам предлагается больший объем материала, а другим меньший. Каждый должен пройти через полноценный учебный процесс, который не может быть ограничен требованиями минимума. Иначе и уровень обязательной подготовки не будет достигнут, и учащиеся, потенциально способные на большее, могут быть потеряны. Иными словами, уровень обучения в целом должен превышать уровень обязательных требований. Каждый ученик должен в полном объеме услышать изучаемый материал, увидеть образцы деятельности. И одни школьники воспримут эти образцы полностью, присвоят их, сделают их своим знанием и опытом, другие – не потеряются в объеме информации, а усвоят из нее то, что предусматривается минимальным стандартом.

Дифференцированные формы деятельности могут быть успешно организованы на любом этапе урока, даже после объяснения нового материала. Хотя зачастую мы отдаем предпочтение, на этом этапе, коллективной форме работы с вызовом учащихся к доске. Такая коллективная работа дает возможность каждому ученику одновременно слышать, объяснять и видеть решение. В этом ее достоинство. Однако в дальнейшем деление на группы необходимо. Объединяются для работы те учащиеся, которые считают, что уже поняли новый материал и могут работать самостоятельно. Эти учащиеся списывать не будут, ведь самостоятельная работа выполняется по желанию. Они к учителю не обращаются, так как могут советоваться друг с другом, сверять свое решение с ответами и даже с фрагментами решений, заранее выписанными на доске. Такое поведение вполне уместно на данном этапе обучения. Пока часть ребят работает самостоятельно, учитель может и должен работать с теми учениками, которые еще не усвоили новую тему достаточно хорошо. Эти ученики работают коллективно: выходят поочередно к доске, решают задачи и объясняют их. Далее проверяется самостоятельная работа сильных учащихся, а те, с которыми работал учитель, выполняют небольшую самостоятельную работу обучающего характера.

Опыт работы показывает, что описанные приемы удобны лишь тогда, когда приходится выполнять много упражнений одного типа и когда самостоятельная работа с другими группами длится не менее 10-15 минут.

В целях оперативного контроля за усвоением материала очень часто (каждый урок или через урок) провожу небольшие самостоятельные работы, цель которых – не выставление оценок, а выявление тех учащихся, которые что-то не поняли. Этим ребятам оказывается оперативная помощь консультантами или объясняю ещё раз, вызывая к доске. При организации работы в группах, парами или индивидуально, часть учащихся получает задания, направленные на достижение обязательных результатов обучения, причём, некоторые имеют перед собой образец выполнения задания, а другие – только алгоритм, более сильные учащиеся получают задания на продвинутом уровне. На таком уроке моя работа сосредоточена на более слабых учениках, в сильной группе, как правило, всегда коллективными усилиями находят верное решение, самостоятельно применяя знания и приёмы деятельности в новой ситуации. Оценивая учащихся, не спешу выставлять оценки в журнал, всегда даю возможность получить более высокую отметку и обязательно поправить "двойку”, для этого ученик должен сделать работу над ошибками самостоятельно или с помощью консультантов (с моей помощью), а затем решить аналогичное задание на уроке.

Главное, что со временем ребята перестают бояться "двоек”, смелее задают вопросы, справляются с задачами обязательного уровня.

В ходе дифференцированного обучения математике, я использовала тетради с печатной основой. Учащимся нравилось работать в них. В данных тетрадях задания оформлены и в виде простых самостоятельных работ по определенным темам, и в форме тестов. Сильные ученики сразу из нескольких ответов выбирали правильный, выполняли решения тех или иных задач. Слабым учащимся предлагалось ответить только на те вопросы, которые у них не вызывали особенных затруднений, а на остальные вопросы ответить, используя учебник. Аналогичные задания давались и на дом.

В заключении хочу сказать, что дети у нас обучаются разные, и с уравновешенной психикой и нет, поэтому использование дифференцированных форм обучения позволяет помочь ребенку в его становлении как личности, помогая ему постепенно избавляться от закомплексованности перед ученическим коллективом, от боязни преодоления учебных преград, помогает повысить его самооценку.

ПРИЛОЖЕНИЯ 2 вариант. 1. Решить неравенство: а) (x +3,2)(x – 4) ≤ 0; б) (x + 7)(x – 6)(x – 14) < 0; в) (2x + 4)(x – 3)(x – 10) > 0. 2. Решить неравенство, заменяя его равносильным неравенством вида f(x) g(x) < 0 или f(x) g(x) > 0. а) x + 6,2 < 0; б) x – 6 ≥ 0 x – 1,6 x + 5 Ответ: ( -∞; -5) U [6; +∞). 3. Найдите множество решений неравенства, заменяя его равносильным неравенством вида (x – x1)(x – x2) < 0 или (x – x1)(x – x2) > 0. а) (x + 6)(2 – x) > 0; б) (5 + x)(x + 1)(3 – x) < 0; в) (x + 6,8)(1 – x)(5 – x) ≥ 0. Ответ: [6,8; 1] U [5; +∞). Проверяем со всем классом по принципу «скажи ты», трудное показать на доске. 3 вариант. 1. Решите неравенство: а) (x + 6)(x – 1)(x – 7) > 0; б) (4x + 8)(2x – 3)(x – 5) ≥ 0; в) – (2 + x)(x + 7)(2 – x) > 0; г) x - 3,2 ≤ 0; д) (x + 13)(2 - x) ≥ 0; x – 4,8 x – 13 е) (x2 + 7x)(x< 0; ж) 3x (5x – 4)(5 – x) > 0. ____________ 2. Найдите область определения функции y = √(x + 6)(6 – x). Самопроверка по ответам, ответить на вопросы учащихся в индивидуальном порядке или после урока. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН 1 вариант. Выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена. Закончите решение: а) x2 – 18x +14 = x2 – 2 . 9 . x +9+ 14 = (x – 9)2 – 81 + 14 =… б) – x2 – 24x + 25 = - (x2 + 24x – 25) = - (x2 + 2 . 12 . x + 122 – = … в) –x2 + 6x = - (x2 – 6x) = - (x2 – 2 . 3 . x + 32 – 32) =… г) 5x2 – 20x – 13 = 5(x2 – 4x – 2,6) =… 2 вариант. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена: а) x2 – 16x + 100 = x2 – 2 . 8x + 82 – 82 + 100 =… б) – x2 – 2x – 4; в) 2x2 – 8x; г) 3x2 + 18x – 6. 3 вариант. Выделите квадратный двучлен из квадратного трехчлена: а) x2 – 4x + 1; б) – x2 + 3x – 2; в) 4x2 – 8x + 3. Проверка по ответам, записанным на «крыльях» доски любым способом – самопроверка, взаимопроверка. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ (1 вариант) ПРАВИЛО ОБРАЗЦЫ ЗАДАНИЯ Если у квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 есть корни x1 и x2, то квадратный трехчлен ax2 + bx + c можно разложить на множители: ax2 + bx + c = =a(x – x1)(x – x2). Если у квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 нет корней, то квадратный трехчлен ax2 + bx + c нельзя разложить на множители. Если у квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 есть один корень x1 , то квадратный трехчлен ax2 + bx + c можно разложить на множители: ax2 + bx + c = =a(x – x1)2. Следующие квадратные трехчлены разложить на множители, если это возможно: а) 2x2 – 5x + 2, б) 9x2 + 6x + 1, в) x2 – 2x + 3. Решение: D = b2 – 4ac x1,2 = - b ± 2a а) Составим уравнение 2x2 – 5x + 2 = 0, D = 9>0, x1 = ½, x2 = 2. Значит, 2x2 – 5x + 2 = 2(x - ½)(x- 2), что можно записать и так: 2x2 – 5x + 2 = (2x – 1)(x – 2). б) 9x2 + 6x + 1 = 0, D = 0, x1 = - 1/3. 9x2 + 6x + 1 = 9(x + 1/3)2, что можно записать и так: 9x2 + 6x + 1 = (3x + 1)2. в) x2 – 2x + 3 = 0, D = - 8<0, корней нет. Значит, трехчлен x2 – 2x + 3 нельзя разложить на множители. Разложить на множители если это возможно: 1) 3x2 + 5x – 8; 2) x2 + 5x + 10; 3) 7x2 – 14x + 7 ; 4) – x2 + 3x + 4 ; 5)4(x – 1)2 – 16x; 6) 5x2 + x – 6; 7) 3x2 + 6x + 3; 8) x2 + 4x + 5; 9) 4x2 – 11x – 7; 10) 5(x – 2)2 –45x; 11) 2x2 + 7x – 9; 12) 2x2 – 4x + 2; 13) x2 – 10x + 30; 14) x2 + 5x + 6; 15)3(x+1)2 – 27x. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ (2 вариант) ПРАВИЛО ЗАДАНИЯ Если у квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 есть корни x1 и x2, то квадратный трехчлен ax2 + bx + c можно разложить на множители: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2). Если у квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 нет корней, то квадратный трехчлен ax2 + bx + c нельзя разложить на множители. Если у квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 есть один корень x1 , то квадратный трехчлен ax2 + bx + c можно разложить на множители: ax2 + bx + c = a(x – x1)2. Разложить на множители, если это возможно: 1) 3x2 + 5x – 8; 2) x2 + 5x + 10; 3) 7x2 – 14x + 7; 4) – x2 + 3x + 4; 5)4(x – 1)2 – 16x; 6) 5x2 + x – 6; 7) 3x2 + 6x + 3; 8) x2 + 4x + 5; 9) 4x2 – 11x – 7; 10) 5(x – 2)2 –45x; 11) 2x2 + 7x – 9; 12) 2x2 – 4x + 2; 13) x2 – 10x + 30; 14) x2 + 5x + 6; 15)3(x+1)2 – 27x. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ (3 вариант) ПРАВИЛО ЗАДАНИЯ Если у квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 есть корни x1 и x2, то квадратный трехчлен ax2 + bx + c можно разложить на множители: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2). Разложить на множители, если это возможно: 1) 3x2 + 5x – 8; 2) x2 + 5x + 10; 3) 7x2 – 14x + 7; 4) – x2 + 3x + 4; 5)4(x – 1)2 – 16x; 6) 5x2 + x – 6; 7) 3x2 + 6x + 3; 8) x2 + 4x + 5; 9) 4x2 – 11x – 7; 10) 5(x – 2)2 –45x; 11) 2x2 + 7x – 9; 12) 2x2 – 4x + 2; 13) x2 – 10x + 30; 14) x2 + 5x + 6; 15)3(x+1)2 – 27x. После объяснения и закрепления нового материала задания 1 – 5 все учащиеся делают самостоятельно с последующей проверкой (самопроверкой, взаимопроверкой). Задания 6 – 10 задаются на дом. Задания 11 – 15 выполняются с разбором в начале следующего урока перед проверочной самостоятельной работой. ПРОВЕРОЧНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ Самостоятельные работы составлены в трех вариантах, различающихся по уровню сложности заданий. Вариант 1 рассчитан на слабо подготовленных учащихся. Он ориентирован на достижение учащимися обязательного уровня математической подготовки, определенного стандартом математического образования. Многие упражнения здесь сопровождаются ответами, указаниями, образцами решений, пошаговыми инструкциями, некоторыми данными для самоконтроля. Вариант 2 несколько усложнен по сравнению с 1. Он не только способствует достижению учащимися уровня обязательной подготовки, но и создает условия для овладения алгебраическими знаниями и умениями на более высоком уровне. Вариант 3 рассчитан на учащихся с хорошей математической подготовкой. Здесь встречаются задания, требующие не только свободного владения приобретенными знаниями и умениями, но и творческого подхода, проявления смекалки и сообразительности. По своему усмотрению учитель сам определяет по какому варианту работать тому или иному ученику, причем в течение учебного года ученик может переходить с одного варианта на другой. Различие в уровне сложности предлагаемых вариантов самостоятельных работ позволяет учащимся успешно реализовать свои потенциальные возможности в усвоении курса алгебры. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ. Вариант 1. 1. Решите неравенство (x + 4)(x – 2)(x – 3) < 0. Для этого: 1)  найдите нули функции f(x) = (x + 4)(x – 2)(x – 3), 2)  отметьте найденные значения на координатной прямой, 3)  определите знак функции в крайнем справа интервале, 4)  определите знаки функции в остальных интервалах, используя чередование знаков, 5)  выделите интервалы, в которых f(x) < 0, 6)  запишите ответ. 2. Решите неравенство, используя метод интервалов: а) (x + 11)(x – 12) < 0, б) (x – 4)(x + 8) > 0, в) (x – 4)(x + 4)(x + 2) < 0, г) (x + 16)(x + 20)(x – 30) > 0. Ответ: а) (-11; 12); б) (- ∞; -8) U (4; +∞); в) (-∞; -4) U(2;4); г) (-20; -16) U(30; +∞). 3. При каких значениях x произведение (x – 2)(x + 11)(x + 8): а) положительно; б) отрицательно? Ответ: а) x € (-11; -8) U(2; +∞); б) x € (-∞; -11) U (-8; 2). 4. Найдите множество решений неравенства: а) – (x + 0,2)(x – 1,3) < 0; б) 4(x + 8,1)(x + 7,9) < 0; в) (x - 14)(3 – x) > 0; г) – (x – 8)(16 + x) > 0. Для самоконтроля. Преобразуем сначала каждое неравенство к виду (x – a)(x – b) > 0 или (x – a)(x – b) < 0. Получим: а) (x + 0,2)(x – 1,3) > 0; б) (x + 8,1)(x + 7,9) < 0; в) (x – 14)(x – 3) < 0; г) (x – 8)(x + 16) < 0. 5. Найдите область определения функции:_____________ а) y = √(x – 4)(x + 9); б) y = √ x(x – 4)(x – 13). Ответ: а) [ -9; 2 ]; б) [ 0; 4] U [ 13; ∞). 6. Решите неравенство: а) б) в) Указание. Неравенство вида замените равносильным ему неравенством f(x) g(x) < 0, а неравенство - неравенством f(x) g(x) > 0. Ответ: а) ( -4; 2); б) ( -∞; -8) U ( 7; +∞); в) ( 6; 11). Вариант 2. 1. Решите неравенство, используя метод интервалов: а) (x – 1,5)(x + 2) < 0; б) (x + 1,6)(x + 3,7) > 0; в) (x + 1,7)(x – 9)(4,2 + x) < 0; г) x(x + 1,4)(x – 1,8) > 0. 2. При каких значениях x произведение (x + 3,2)(x + 4)(x – 11) а) положительно; б) отрицательно? 3. Решите неравенство: а) – (x + 2,2)(x + 1,4) > 0; б) -6(x – 0,25)(x – 2) < 0; в) (6x + 1)(x – 14) < 0; г) (2x – 3)(x + 4) > 0. Указание. Приведите данные неравенства к виду (x – a)(x – b) < 0 или к виду (x – a)(x – b) > 0. Ответ: а) ( -2,2; -1,4); б) ( -∞; 0,25)(2; +∞); в) ( -; 14); г) ( -∞; -4)(1,5; +∞). 4. Найдите область определения функции: а) y = б) y = Ответ: а) (2; 9); б) [ -1; 0][6; +∞). 5. Решите неравенство: а) б) в) Указание. Замените данные неравенства равносильными неравенствами вида f(x) · q(x) > 0 или f(x) · q(x) < 0, где f(x) и q(x) – многочлены. 6. Решите неравенство: а) (x2 + 8)(x + 9)(x – 4) > 0; б) (x – 2)2(x – 6)x < 0; в) (x2 + 4)(x2 – 4) < 0; г) (2 + 3x2)(x2 – 5) < 0. Указание. а) неравенство равносильно неравенству (x + 9)(x – 4) > 0; б) неравенство равносильно системе Ответ: б) (0;2) (2;6); в) (-2; 2); г) (-; ). Вариант 3. 1.  Решите неравенство, используя метод интервалов: а) (x + 3,6)(x – 1,6) < 0; б) (x + )(x + ) > 0; в) (x + 1,1)(x + 1,3)(x - 5) < 0; г) (x - )(x - )(x – 0,8) > 0. 2.  Решите неравенство: а) 12(x + 1,7)(x + 0,8) < 0; б) – (x - )(x – 0,6) > 0; в) (5x – 1)(x + 6) < 0; г) (3x – 4)(2x – 3) > 0. Указание: Приведите неравенство к виду (x – a)(x – b) < 0 или к виду (x –a)(x – b) > 0. 3.  При каких значениях x произведение (3x – 1)(2x + 3)(x – 3) а) положительно; б) отрицательно? 4.  Найдите множество решений неравенства: а) (x + 4,5)(x2 – 1) < 0; б) (x2 – 1,9x)(x2 + 14) > 0; в) (x – 0,6)2(x2 – 0,49) < 0; г) (x2 – 8x + 16)(x2 – 17) > 0. 5.  Найдите область определения функции: а) y = ; б) y = . 6.  Решите неравенство: а) ; б) ; в) ; г) . КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «Арифметическая прогрессия» Каждый вариант контрольной работы составлен из трех частей. Они выделены на всех карточках специальными значками: ▲, ■, ♦ . Первая часть работы, обозначенная значком ▲, содержит материал, соответствующий базовому уровню подготовки девятиклассников по алгебре. Все ученики должны уметь выполнять задания этой части работы. Здесь проверяется тот минимум знаний по определенной теме, без которого ученик не может успешно усваивать последующие разделы курса. Содержание этих заданий отражает основные вопросы темы. Выполнение их проводится в один-два этапа. Вторая часть работы обозначена значком ■. Она состоит из более сложных заданий, которые выполняются в несколько этапов. Подобные задания подробно рассматриваются в учебниках и отрабатываются в классе под руководством учителя. Для их выполнения не требуется дополнительных знаний, выходящих за пределы программы. Этот материал должен быть хорошо знаком девятиклассникам. Последняя часть контрольной работы выделена значком ♦ . Эти задания позволяют ученикам проявить высокий уровень знаний, своего развития, интерес к предмету, способность применять знания в нестандартной ситуации. Однако выполнение и этих заданий не предполагает владения знаниями из дополнительных разделов алгебры. Они так же, как и все остальные, проверяют уровень владения программным материалом. Любая из отметок может быть выставлена при условии верного выполнения всех заданий первой части работы. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант1. ▲1. Найдите десятый член арифметической прогрессии -8; -6,5; … . 2. Является ли число 68 членом арифметической прогрессии, если a1 = 2, а3 = 6? (Ответ поясните.) 3. Вычислите сумму двадцати шести первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой an = 4n - 3. ■ 4. Сколько отрицательных членов содержится в арифметической прогрессии -32,4; -29,9; … ? ♦ 5. Запишите формулу n-го члена возрастающей арифметической прогрессии, если известно, что a1· a5 = - 32 и a2 + a4 = 4. Вычислите одиннадцатый член этой прогрессии. Вариант 2. ▲ 1. Найдите двенадцатый член арифметической прогрессии 26; 23; … . 2. Является ли число 30 членом арифметической прогрессии, если a1 = 4, a4 = 85? (Ответ поясните.) 3. Вычислите сумму девятнадцати первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой an = 15 – 3n. ■ 4. Сколько положительных членов содержится в арифметической прогрессии 12,6; 12,1; … ? ♦ 5. Запишите формулу n-го члена убывающей арифметической прогрессии, если a1 + a5 = 8 и a2 · a4 = 7. Вычислите двенадцатый ее член. Вариант 3. ▲ 1. Найдите тринадцатый член арифметической прогрессии –12; - 9,5; … . 2. Является ли число 106 членом арифметической прогрессии, если a1 = 10, a5 = 26? (Ответ поясните.) 3. Вычислите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой an = 1,2n – 3. ■ 4. Сколько положительных членов содержится в арифметической прогрессии 18,6; 16,1; … ? ♦ 5. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии, если a1 · a4 = - 32 и a2 + a6 = 16. Вычислите пятнадцатый член этой прогрессии. Вариант 4. ▲ 1. Найдите тринадцатый член арифметической прогрессии 32; 28; … . 2. Является ли число 37 членом арифметической прогрессии, если a1 = - 8, a6 = 7? (Ответ поясните.) 3. Вычислите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой an = 5n + 2. ■ 4. Сколько отрицательных членов содержится в арифметической прогрессии – 24,1; - 22,6; … ? ♦ 5. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии, если a2 · a4 = - 3, a5 - a3 = - 4 и a3<0. Вычислите десятый член этой прогрессии. Литература: 1.  «Дифференцированный подход в обучении» 2.  , «Разноуровневые дидактические материалы по алгебры. 9 класс», Москва, «Генжер», 1995 3.  , «Контрольные работы по алгебре. 9 класс» НПО «Образование», 1998.

Муниципальное образовательное учреждение
дополнительного педагогического образования
УЧЕБНО–МЕТОДИЧЕСКИЙ ЦЕНТР
г. Серпухов Московской области