Лекция 5. Интегрирование функций

Высшая математика

2 семестр

Лекция 5.

Интегрирование функций

(приложение – таблица и свойства интегралов-

в отдельных файлах)

Огромное число приложений в различных науках приводят к следующей задаче: по данной функции найти такую функцию , производная которой равна функции

Определение 1:Функция называется первообразной для функции

на промежутке X, если для любого функция дифференцируема и выполняется равенство:

Пример 1: Функция первообразная для функции на промежутке , так как для каждой точки этого интервала выполняется равенство .

Заметим, что задача отыскания по заданной функции её первообразной неоднозначна; если первообразная, то и функция , где произвольное

постоянное число, также первообразная для функции , так как (т. к. производная суммы равна сумме производных, а производная постоянной равна 0).

Определение 2. Совокупность всех первообразных функций для функции на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции на этом промежутке и обозначается символом:

.

В этом обозначении знак называется знаком интеграла, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, а переменная - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной по её производной (или неопределённого интеграла по заданной подынтегральной функции) называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией обратной дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования нужно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Проверка:

Метод непосредственного интегрирования для вычисления определённых интегралов (используются только свойства и таблица интегралов):

Пример 2:

Использовали:

св-во 3 неопределенного интеграла : постоянный множитель можно выносить за знак интеграла)

св-во 4 неопределённого интеграла: интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов

св-во 2 неопределённого интеграла

табличные интегралы:

(VI)

(V)

Вычисление интегралов методом замены переменной

Если , то - дифференциал

Пример 3:

Использовали табличный интеграл:

() (I) для - см. таблицу интегралов (вместо x у нас t)

Вычисления интегралов методом интегрирования по частям

- формула интегрирования по частям

если , то ß как найти du и v , если u и dv известны

а , то

Пример 4:

Пример 5:

Формула Ньютона - Лейбница

Пусть функция непрерывна на отрезке [а;b] и - её первообразная на этом отрезке (т. е.

Тогда

Пример 6 (на применение формулы Ньютона-Лейбница)

Применили св-ва:

св-во 3 неопределенного интеграла : постоянный множитель можно выносить за знак интеграла)

св-во 4 неопределённого интеграла: интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов

табличные интегралы:

(VI)

(V)

(I)

+ правило Ньютона-Лейбница для определённых интегралов

Применение определённого интеграла для вычисления площадей и объёмов

v  Вычислить

а). Площадь под кривой ,

- формула для расчёта площади под кривой (

б).Объём тела, образованного вращением кривой , вокруг оси OX

см. след. стр.

(На первой картинке изображено то что вращаем, на второй – результат вращения)

формула для расчёта объёма тела, получаемого при вращении кривой ( вокруг оси OX

Применение интеграла в экономике:

Определение начальной суммы по её конечной величине, полученной через время (лет) при годовом проценте (процентной ставке) , называется дисконтированием. Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией и при удельной норме процента, равной , процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход K за время T вычисляется по формуле:

Пример: Определить дисконтированный
доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 млрд. руб., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млрд. руб.

Решение: Очевидно, что капиталовложения задаются функцией . ( - на t умножается именно 1, т. к. ежегодно капиталовложения увеличиваются на 1 млрд. руб., прибавляется 10, т. к. первоначальные капиталовложения составили 10 млрд. руб.). Тогда в соответствии с формулой приведенной Выше дисконтированная сумма капиталовложений =30, 5 млрд. руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млрд. руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 млрд. руб. при той же, начисляемой непрерывно процентной ставке.

Вычисления см. ниже (использованы метод замены переменной и метод интегрирования по частям, а также формула Ньютона-Лейбница и некоторые табличные интегралы - т. е. применяется вся теория рассмотренная в нашей лекции).

(*)

Приложение к лекции: таблица интегралов и основных правил интегрирования