Золотое сечение вокруг нас

ОБЛАСТНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ «ШАГ В БУДУЩЕЕ»

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ ВОКРУГ НАС

Автор: ,

Тюменская область, Тюменский район,

посёлок Боровский, МАОУ Боровская СОШ №1,

11 класс

Руководитель:

,

учитель математики,

МАОУ Боровская СОШ №1

п. Боровский, 2011г

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ ВОКРУГ НАС

Россия, Тюменская область, Тюменский район, МАОУ Боровская СОШ №1, 11 класс

Краткая аннотация

В работе рассматривается понятие «золотое сечение». Его исследование направлено на выявление закономерностей золотого сечения в окружающей нас природе и сферах жизнедеятельности человека: живописи, архитектуре. Предположив, что «золотое сечение» является универсальной мировой константой, мы провели серию измерений и исследований, которые подтвердили, что оно широко используется в эстетическом и художественном формообразовании и повсеместно наблюдается в окружающей нас природе.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ ВОКРУГ НАС

Россия, Тюменская область, Тюменский район, МАОУ Боровская СОШ №1, 11 класс

Аннотация

Актуальность темы «Золотое сечение вокруг нас» бесспорна - человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке и природе. Нас заинтересовала проблема проявления гармонии, красоты и пропорции в природе и художественных творениях человека. Была выдвинута гипотеза: если «золотая пропорция» универсальная мировая константа, то она встречается в окружающем нас мире.

Целью исследования стало: изучение понятия «золотое сечение» и поиск закономерности «золотой пропорции» в различных областях жизни.

Задачи поставленные мной для достижения цели:

1.Изучить имеющуюся литературу по данной теме.

2.Провести вычисления на примерах растений, пропорций человеческого тела, произведений живописи и архитектуры.

3. Провести эксперимент на восприятие геометрических пропорций учащимися.

4.Обработать и интерпретировать полученные данные.

Предмет исследования: «Золотая пропорция»

Методы исследования: наблюдения, эксперименты, анализ статистических данных.

Результатом исследования стало:

·  выявление золотых пропорций в архитектуре храма Святого Николая Чудотворца поселка Боровский;

·  подтверждение присутствия «золотой пропорции» в картинах известных художников;

·  экспериментальное подтверждение неосознанного эс­тетического чувства гармонии и красоты при изображении геометрических фигур;

·  выявление золотых пропорций в телосложении человека;

·  выявление золотых пропорций в расположении листьев на стеблях растений.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ ВОКРУГ НАС

Россия, Тюменская область, Тюменский район, МАОУ Боровская СОШ №1, 11 класс

Введение

Золотое сечение и связанные с ним соотношения

Одна из самых важных пропорций, которая часто встречается в произведениях искусства: скульптуре, живописи, архитектуре, а также в природе это так называемая Золотая, или божественная пропорция. Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал Золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Как же оно получается?

Золотое сечение – это деление отрезка на две части таким образом, что большая его часть относится так к меньшей, как весь отрезок относится к большей части. В обозначениях ри­сунка 1:

(1)

Рис. 1.

Если длину отрезка АВ обозначить через а, а длину отрезка АС – через х, то длина отрезка СВ будет а – х и пропорция (1) примет вид:

(2)

Применяя основное свойство пропорции, приведем уравнение (2) к виду:

а (а - х) = х2 или х2 + а х - а2 = 0.

Откуда х2 = а (а - х),

Решив его, получим два корня: х1 = и х2 =.

Первый корень – отрицательный, поэтому он не подходит. Число обозначается буквой φ в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до нашей эры), в творениях которого это число встречается многократно. Число φ - иррациональное, оно равно φ = 0, …. На практике пользуются числом φ, взятым с точностью до тысячных 0,618, или до сотых 0,62, или до десятых 0,6. Если ≈ 0,618, то х ≈ 0,618 а, а - х ≈ 0,382 а.

Иногда золотым сечением называют отношение х к а, которое обозначают буквой φ: φ = ≈ 0,618.

Число, обратное φ, обозначают буквой Ф:

Если рассмотреть геометрическую прогрессию 1, φ, φ 2, φ 3, φ 4, … , φ n, … ,

то поскольку φ2 = 1 + φ,

φ 3 = φ + φ2 = φ + (1 + φ) = 2φ + 1,

φ 4 = 2φ2 + φ = 3φ + 2,

φ 5 = 3φ2 + 2φ = 5φ + 3, …

Из соотношения φ n=φ n – 1 + φ n – 2 видно, что коэффициенты при φ образуют последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … , n-й член которой связан с предыдущими отношением un = un-1 + un-2. Этот набор чисел известен как ряд чисел Фибоначчи. Главное свойство ряда Фибоначчи заключается в том, что каждый последующий член, начиная со второго, равен сумме двух предыдущих [3].

Основная часть

1.Золотое сечение в архитектуре

Множество архитектурных шедевров построено по пропорции Золотого сечения. Примером может служить величайшее сооружение древности Парфенон (V в. до н. э.). Посмотрите на изображение храма Парфенон в Афинах (Приложение 1). Даже сейчас, когда он стоит в развалинах, это одно из самых красивых сооружений мира. Этот храм построен в эпоху расцвета древнегреческой математики. И его красота основана на строгих математических законах. Если описать около фасада Парфенона прямоугольник, то окажется, что длина его больше ширины примерно в 1,6 раза. Такой прямоугольник назвали «Золотым прямоугольником» его стороны образуют «Золотое сечение» [2]. Пропорции фасада здания также можно выразить через различные степени числа φ≈ 0,618... (Приложение 2), а на плане пола Парфенона можно заметить "золотые прямоугольники" (Приложение 3). Золотое соотношение можно увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари) (Приложение 4) [2].

В архитектурных шедеврах русского зодчества прослеживаются пропорции Золотого сечения. Примером древнерусского зодчества ХII века является храм Покрова Богородицы, стоящий на берегу владимирской речки Нерль (Приложение 5). Изучая архитектуру церкви, русский архитектор И. Шевелев пришел к выводу, что в этом шедевре архитектуры проявляется пропорция , которая представляет собой отношение большей стороны к диагонали "двухсмежного квадрата", то есть прямоугольника с отношением сторон 1:2. Таким образом, в основе взаимосвязанных пропорций этого архитектурного сооружения положены пропорции "двухсмежного" квадрата и его производная - золотая пропорция [8].  Само Золотое сечение можно встретить в строе храма не один раз. Закону Золотого сечения подчинены главные вертикали храма, определяющие его силуэт: высота основания, равная высоте тонких колонок четверика, и высота барабана. Диаметр барабана относиться к его высоте также в Золотой пропорции.

Возникает вопрос: не утрачены ли традиции старых мастеров, создавших шедевры мирового зодчества?

В поселке Боровский ведется строительство храма Святого Николая Чудотворца. Я решила исследовать систему пропорций с точки зрения Золотого сечения. Проект церкви был взят у главного архитектора города Тюмени. Архитектурный образ храма напоминает вытянутый с востока на запад «корабль» (Приложение 6). Такая форма широко распространена в России. С первого же взгляда храм производит впечатление красивого гармоничного строения. Исследуем систему пропорций в архитектуре храма в целом и ее отдельных частей.

Колокольня. Рассмотрим главные вертикали колокольни, определяющие его силуэт. Взгляд на колокольню с южной стороны позволяет проследить отчетливое деление на три части: основная часть, звонница, барабан с куполом. В отношениях трех данных частей прослеживается золотая пропорция:

.

Храмовая часть церкви. Главная часть храмовой постройки - «куб». Венчает храмовую часть барабан с куполом. Найдем отношение диаметра барабана к его высоте с куполом . Отношение приближенно равно φ (0,618). В главной вертикали храмовой части также присутствует золотое сечение. Отношение высоты четверика к высоте всего храма так же приближенно равно φ .

При исследовании пропорций восточного фасада храма (Приложение 7) можно так же можно найти «золотое сечение», вычислив отношение высоты аплуна к высоте центрального нефа: и отношение высоты аплуна к аплуну с конхой: .

Описанное выше исследование передает лишь часть сложной архитектуры храма.

Наша задача была отыскать Золотые пропорции в архитектуре храма, и мы их нашли.

2.Золотое сечение в живописи

Художники всех времен, в большинстве случаев, не подозревая о правиле «золотого сечения», так или иначе, интуитивно его ощущали и эмпирически приближались к идеальным пропорциям».

Я исследовала копию картины «Корабельная роща» на присутствие «золотой пропорции» (Приложение 8). Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) находится от края картины на расстоянии 62,5см, когда сама картина имеет длину 100,7см т. е. делит длину картины приблизительно в золотом сечении. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали . Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника.

Исследуя репродукцию Леонардо да Винчи «Джоконда», я пыталась определить использовал ли художник при составлении композиции принцип золотого сечения (Приложение 9). Для этого с помощью линейки я измерила основание (22,2) картины, затем разделила полотно на 2 равных прямоугольника и провела диагонали в каждом из них. У меня получилось два равнобедренных треугольника. Я предположила, что это «Золотые треугольники». Золотым тре­угольником называют равнобедренный треугольник, отно­шение основания которого к боковой стороне равно ф ≈ 0,618 [3]. Для проверки этого предположения я измерила стороны треугольников (34,5), и нашла отношение основания к боковой стороне . Найдя отношение основания к боковой стороне, мы получили число примерно равное числу(0,618).

Результаты проведенных мной исследований, приводят к выводу, что художники, в своих работах, использовали принцип «золотого сечения».

3.Золотое сечение в окружающем нас мире

3.1 «Золотой прямоугольник»

Мною был проведен эксперимент на тему «Золотая пропорция и восприятие». Учащимся 9-х и 10-х классов было предложено изобразить рамку для фотографии прямоугольной формы. Большинство участников эксперимента отдали предпочтение форме, близкой к «золотому прямоугольнику» (Диаграмма 1). Это объясняется тем, что бесконечное по­вторение одних и тех же геометрических фигур вызывает у нас неосознанное эс­тетическое чувство гармонии и красоты. Поэтому многие предметы прямоугольной формы, с которыми мы имеем дело, зачастую имеют форму «золотого» прямоугольника. Выполненные замеры некоторых предме­тов прямоугольной формы, с которыми мы ежедневно имеем дело, подтвердили форму «золотого» прямоугольника. Отношение сторон учебника «Алгебры и начала математического анализа, 10 класс»: 141/220≈0,641; спи­чечного коробка: 31/50≈0,62; пластиковой карты: 54/86≈0,628; упаковки гуаши 77/117≈0,658(Приложение 10) и др.

3.1 «Золотые пропорции» в телосложении человека

В своей практической деятельности человек сравнивает окружающий его мир с естественными эталонами. Один из таких эталонов - его собственное тело. Рост человека делится в Золотых пропорциях линией пояса, а так же линией проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук [1]. Чтобы проверить гармоничность в строении телосложения учащихся нашей школы, мною были произведены некоторые измерения: рост, высота от стопы до пупочной линии. Для эксперимента были взяты учащиеся 10-х классов (Приложение 11). В 4 замерах из 10 подтверждается «золотая пропорция» (См. Таблица 1). Таким образом, 40 % обследуемых учениц подтвердили гармонию красоты своего тела (Диаграмма 2).

Таблица 1. Измерения роста учениц 10-х классов.

№ п/п, Ф. И.	1.Высота от макушки головы до пупочной линии	2.Высота от стопы до пупочной линии	3.Полный рост	Отноше ние 1-го измере ния ко 2-му	Отноше ние 2-го измере ния к 3-му
1.	64	104	168	0,615	0,619
2.	64	104	168	0,615	0,619
3.	62	100	162	0,620	0,617
4.	60	98	158	0,612	0,620
5.	62,5	105	167,5	0,595	0,626
6.	61,5	61	121,5	1,008	0,502
7.	59	101	160	0,584	0,631
8.	64,5	91,5	156	0,704	0,586
9.	64,5	99	163,5	0,651	0,605
10.	64	94	158	0,680	0,594

3.2 «Золотые пропорции» в растениях

Наблюдая за растениями, я обнаружила, что во многих можно увидеть «золотую пропорцию»: стебель Орхидеи, Бегонии, ветви берёзы и тополя, листовая пластинка Эпипремнума (Приложение 12).

В ходе работы я выполнила замеры расстояний между листьев стеблей комнатных растений: Орхидеи, Бегонии (Рис.12.1 и 12.2), между почек ветвей берёзы и тополя (Рис. 12.3 и 12.4). И заметила, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте «золотого сечения». Так же я исследовала листовые пластинки Эпипремнума (Рис. 12.5), которые часто встречаются в кабинетах нашей школы. И обнаружила, что размеры листовой пластинки Эпипремнума (отношение ширины к длине) подчиняются золотому сечению (См. Таблица. 2)

Таблица 2.Результаты измерения листовой пластинки Эпипремнума.

№	Ширина листа	Длина листа	Отношение ширины листа к его длине
Лист 1	5см.	7,5см.	5 / 7,5=0,(6)	0,618
Лист 2	5,2см.	8,9см.	5,2 / 8,9=0,584	0,618
Лист 3	6,9см.	10,7см.	6,9 / 10,7=0,644	0,618

Проведённые мной исследования, приводят к выводу, что «золотое сечение» нередко встречается в окружающей нас природе.

Заключение

В результате проведенной работы было выявлено, что «золотое сечение» проявляет себя в искусстве и мире живой природы. Часть обследуемых учениц подтвердили гармонию красоты своего тела. Отношение размеров предметов прямоугольной формы, привлекающее наше внимание, близки к «золотому». «Золотое сечение» широко используется в живописи, архитектуре, что подтверждается исследованием картин Леонардо да Винчи и И. Шишкина, а также исследованием проекта храма Святого Николая Чудотворца посёлка Боровский. Таким образом, можно сделать вывод, о том, что это уникальная, универсальная величина, являющаяся мировой константой.

Практическая значимость работы: материалы можно использовать на различных уроках (математике, биологии, МХК), для предпрофильного курса в 9-х классах и во внеклассной работе.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ ВОКРУГ НАС

Россия, Тюменская область, Тюменский район, МАОУ Боровская СОШ №1, 11 класс

План исследования

Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке и природе. Меня заинтересовала проблема проявления гармонии, красоты и пропорции в природе и художественных творениях человека. Была выдвинута гипотеза: если «золотая пропорция» универсальная мировая константа, то она встречается в окружающем нас мире.

Поставив проблему и выдвинув гипотезу, я провела исследование по следующему плану:

1.  Была изучена литература по теме «Золотое сечение»: «Золотое сечение в живописи», «Золотой треугольник в задачах», , «Наглядная геометрия».

2.  Используя методы наблюдения, анализа статистических данных

·  проведены измерения в живой природе: расстояний между листьями стеблей Орхидеи, Бегонии, между почками ветвей берёзы и тополя, листовых пластин Эпипремнума (ширины и длины), роста учениц 10-х классов и высоту от стопы до пупочной линии;

·  проведены измерения размеров картин «Корабельная роща» и Леонардо да Винчи «Джоконда»;

·  проведены измерения на выявление золотых пропорций в архитектуре храма Святого Николая Чудотворца поселка Боровский;

·  проведен эксперимент на восприятие учащимися геометрических пропорций.

3.  Выполнено литературное оформление исследования.

Литература

«Золотое сечение в живописи», Высшая школа, 1989г. , «Наглядная геометрия», Москва, 1992г. «Золотой треугольник в задачах», Москва, «Чистые пруды», 2008г. «Золотая пропорция», Москва, Молодая гвардия, 1990г. Андрей Лоргус, Михаил Дудко «Книга о церкви», Поломник, Москва, 2000г. http:// http://*****/tp/iz/zs. htm www. ***** › Дорога к Храму ›

Приложения

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Приложение 8

Приложение 9

Диаграмма 1. Эксперимент на тему «Золотая пропорция и восприятие»

Приложение 10

Приложение 11

	102,2	63,8
63,8	102,2

Диаграмма 2. Отношение расстояния от макушки головы до пупочной линии к расстоянию от стопы до пупочной линии, и отношение от стопы до пупочной линии ко всему росту.

Приложение 12

Рис. 12.1. Орхидея Рис. 12.2. Бегония

2

 

Рис.12.3. Ветвь берёзы Рис.12.4.Ветвь тополя

 

Рис. 12.5 Листовая пластина Эпипремнума