Уравнения высших степеней (стр. 3 )

1

1 1

1 2 1

получим

у4 == х4 + 4х3 + 6х2 + 4x + = х4 + 4lх2 + 6l2 + 4l3 + += + 4λ + 6λ2.

А, так как, из х + = у Þ х2 + = у2 – 2λ, то

у4 = + 4 λ(у2 – 2λ) + 6λ2

И, окончательно,

х4 + = у4 – 4 λ(у2 – 2λ) – 6λ2 = у4 – 4 λу2 – 2λ2.

Аналогично, может быть показано, что если х – = у, то

х4 + = у4 + 4 λу2 + 2λ2.

Следует заметить, что в возвратных уравнениях чётных степеней все коэффициенты членов, равноудаленных от среднего члена на нечетное число шагов, могут иметь и противоположные знаки. Левую часть таких уравнений мы в дальнейшем будем называть возвратным многочленом чётной степени.

Возвратное уравнение нечётной степени имеет вид

а0хn+1 + a1x2n +...+ аn–1xn+2 + аnxn+1 + аnλxn + an–1λ3xn–1 +…+ а1λ2n–1x + а0λ2n+1= 0.

 

Легко показать, что число (–λ) является корнем данного уравнения. Действительно, производя указанные группировки, получим

а0(х2n+1 + λ2n+1) + а1x(х2n–1 + λ2n–1) + . . . +а n–1xn–1(х3+ λ3) + аnxn(х + λ) = 0.

При х = –λ каждое слагаемое в левой части равенства обращается в нуль. Следовательно, (–λ) есть корень возвратного уравнения нечётной степени.

По следствию 2 из теоремы Безу левая часть данного уравнения должна делиться на двучлен (х + λ) без остатка. К тому же известно, что частное при таком делении должно быть возвратным многочленом чётной степени. Таким образом, понижая степень данного уравнения на 1, мы переходим от возврат-ного уравнения нечетной степени к возвратному уравнению чётной степени, алгоритм решения которого рассматривался выше.

Следует заметить, что в возвратных уравнениях нечётных степеней коэффициенты членов, образующих указанные пары, должны иметь одинаковые знаки.

Пример № 1. Найти действительные корни уравнения

4х6 + 5х5 – 3х4 – 50х3 + 6х2 + 20х – 32 = 0.

 

Решение

Данное уравнение может рассматриваться как возвратное, если найдется
число λ, удовлетворяющее системе

6 = (–3λ),

20 = 5λ2,

– 32 = 4λ2.

Полученная система удовлетворяется при λ = –2. Следовательно, данное уравнение можно рассматривать, как возвратное уравнение 6-й степени.

4х6 + 5х5 – 3х4 – 50х3 + (–3)λх2 + 5λ2х + 4λ3 = 0.

 

Разделив обе части равенства на х3 , найдем

4х3 + 5х2 – 3х – 50 – 3 + 5+ 4 = 0,

4 + 5 – 3 – 50 = 0.

Подстановкой х + = у данное уравнение сводится к кубическому уравнению, так как, из = у2 х2 + = у2 – 2λ,

а из = у3 х3 + = у3 – 3λу.

Таким образом, с новым неизвестным у при λ = –2 данное уравнение примет вид

4(у3 + 6у) + 5(у2 + 4) – 3у – 50 = 0,

4у3 + 5у2 + 21у – 30 = 0.

Так как, в найденном уравнении сумма коэффициентов равна нулю, то уравнение имеет корень у1 = 1.

Понижая степень уравнения, получим

– 1	5	21	–30
4	5 + 4	21+9	– 30 + 30
4	9	30	0

4у2 + 9у + 30 = 0

D = 81– 480 < 0, у2,3 R.

Таким образом, кубическое уравнение 4у3 + 5у2 + 21у – 30 = 0, заменившее данное уравнение 6-й степени, имеет единственный действительный корень, равный 1. При этом корни данного уравнения находятся из равенства х + = у при λ = – 2 и у = 1. То есть, из равенства

х – =1, х2– х – 2 = 0, х1 = –1, х2=2.

Ответ: {–1; 2}.

Пример № 2. Найти действительные корни уравнения

2х9 + (2 – 9)х8 + (20 – 9)х7 + (20 – 33)х6 + (46 – 33)х5 +

+(46–66)х4+ (80–66)х3 +(80–72)х2+(32–72)х + 32= 0.

Решение

Данное уравнение может рассматриваться как возвратное уравнение нечётной степени, если найдется число λ, удовлетворяющее системе

46– 66 = (46 – ЗЗ) λ,

80 – 66=(20– 33) λ3,

80–72=(20 – 9) λ5,

32 – 72=(2– 9)λ7,

32 =2 λ9.

Система удовлетворяется при λ =. Следовательно, данное уравнение можно рассматривать как возвратное уравнение 9-й степени.

Так как, х = –λ = – является корнем этого уравнения (х1 = –), то можно понизить его степень, разделив обе части равенства на (х +).

По схеме Горнера найдем

2 2– 9 20 – 9 20– 33

– 2 2– 9 – 2 20 – 9+ 9 20– 33 – 20

2 – 9 20 – 33

 

46 – 33 46–– 66

46 – 33+ 33 46– 66 – 46 80 – 66+ 66

46 – 66 80

 

80–– 72 32

80– 72 – 80 32 – 72+ 72 32– 32

–

Таким образом, понизив степени уравнения, будем иметь

2х8 – 9х7 + 20х6 – 33х5 + 46х4 – 66х3 + 80х2 – 72х + 32 = 0.

 

Доказано, что при делении возвратного многочлена нечётной степени с параметром λ на (х + λ) образуется возвратный многочлен чётной степени. Убедимся в том, что полученное уравнение при λ = 2 можно представить в виде

2х8 – 9х7 + 20х6 – 33х5 + 46х4 – 33λх3 + 20λ2х2 – 9λ3х + 2λ4 = 0.

 

Тогда, разделив обе его части на х4 и сгруппировав слагаемые указанным образом, получим

Выполним подстановку х + = у, из которой следует, что

, , = у4 – 4lу2 + 2l2.

При этом, уравнение примет вид:

2(у4 – 8у2 + 8) – 9(у3–6у) + 20(у2 – 4) – 33у + 46 = 0,

2у4 – 9у3 –16у2 + 54у + 16 +

20у2 – 33у – 80 +

+ 46 = 0,

2y4 – 9у3 + 4у2 + 21у –18 = 0.

Заметим, что сумма коэффициентов в найденном уравнении равна нулю. Следовательно, оно удовлетворяется при у = 1 (у1 = 1). Что дает возможность, разделить обе его части на (у – 1):

1   2	– 9	4	21	– 18
2	– 9 + 2	4 – 7	21 – 3	– 18 +18
2	– у	–3	18	0

2у3 – 7у2 – 3у + 18 = 0.

Кубическое неприведенное уравнение заменим приведенным

(2у)3 – 7(2у)2 – 6(2у) + 72 = 0,

2у = t.

t3 – 7t2 – 6t + 72 = 0.

Перебирая делители свободного члена, найдем:

t = 4 64 – 112 – 24 + 72 = 0 t1 = 4,

что позволяет понизить степень уравнения

4   1	– 7	– 6	72
4   1	– 7 + 4	– 6 – 12	72 – 72
1	– 3	– 18	0

t2 – 3t – 18 = 0, t2 = 6, t3 = –3.

Один из корней уравнения 2у4 – 9у3 + 4у2 + 21у – 18 = 0 (y1 = 1) уже известен. Подставляя найденные значения t в равенство у =, находим остальные:

у2 == 2; у3 == 3; у4 = –.

Остается найти на множестве R и объединить корни уравнений:

х += 1; х += 2; х += 3; х + =.

Присоединяя к полученному объединению {1; 2} ранее найденный корень .

Ответ: {; 1; 2}.