План урока
на тему: «Теорема Пифагора».
Авторы:
Ремизов Илья
Шикин Владимир
Н. Новгород, 2005г.
Тип урока: урок изучения нового.
Цели урока:
1. Доказать т. Пифагора и сформулировать теорему, обратную теореме Пифагора.
В результате ученик:
1. Знает о существовании т. Пифагора и теореме, обратной ей.
2. Знает формулировку т. Пифагора и обратной теоремы.
3. Знает метод доказательства теоремы Пифагора.
4. Знает, задачи какого типа позволяют решать изученные теоремы.
5. Осознаёт, что теорема Пифагора – свойство прямоугольного треугольника, а теорема, обратная ей – признак прямоугольного треугольника.
Деятельность учителя | Деятельность учащихся | |||||||||||||||
Мотивационно-ориентировочная часть. | ||||||||||||||||
- Здравствуйте, дети! Дома вы повторяли определения треугольника и квадрата а также формулы нахождения площадей этих фигур. Итак, ХХХ, какой треугольник называется прямоугольным. | - Прямоугольным называется треугольник у которого один из углов прямой (равен 90º). | |||||||||||||||
- По какой формуле находится площадь такого треугольника? | - Половина произведения катетов. | |||||||||||||||
- А какая фигура называется квадратом? | - Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. | |||||||||||||||
- Верно! Пользуясь какой формулой мы находим его площадь. | - Площадь квадрата равна квадрату стороны. | |||||||||||||||
- Дети, сейчас вы выступите в качестве исследователей. Предметом нашего исследования будут прямоугольные треугольники. Назовите элементы прямоугольного треугольника? | - Стороны, прилежащие к прямому углу – катеты, а третья сторона – гипотенуза. | |||||||||||||||
/на боковой доске даны изображения треугольников с указанными длинами сторон/
| ||||||||||||||||
- Обратите внимание на левую доску. Что нам дано? | - На боковой доске даны изображения прямоугольных треугольников с указанными длинами сторон. | |||||||||||||||
- Давайте на основе данных рисунков заполним соответствующую таблицу. В этой таблице нам надо записать квадраты длин катетов и гипотенузы для каждого из данных треугольников. 3 треугольника, соответственно 3 строки таблицы и заполним. | ||||||||||||||||
/заполнение таблицы. 1-й, 2-й, 3-й ряды ищут квадраты катетов и гипотенузы в 1-м, 2-м и 3-м треугольниках соответственно/ | ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
- Итак, на основе таблицы выявите связь между катетами и гипотенузой в каждом из треугольников (Как связаны квадраты катетов с квадратом гипотенузы). | – Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. | |||||||||||||||
- Совершенно верно. Такая связь действительно существует. Есть соответствующая теорема. Теорема эта, отражающая связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике, называется теоремой Пифагора. Давайте запишем её полную формулировку в тетрадях. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. /Историческая справка/ - Кстати, с теоремой связан интересный факт. Хоть она и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательство, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путём, как и мы его сейчас установили. Пифагор, по-видимому, просто нашёл доказательство этого соотношения. - Какова же тема нашего сегодняшнего урока, на ваш взгляд? | – Теорема Пифагора. | |||||||||||||||
– Правильно. Отметьте у себя в тетрадях тему нашего занятия. И сейчас мы докажем эту теорему. Записываем после формулировки теоремы – дано. | ||||||||||||||||
/правая боковая сторона доски с треугольником/
| ||||||||||||||||
- Нам дан прямоугольный треугольник АВС, ВС=a, АС=b и АВ=с, как показано на доске. Зарисуйте его себе в тетрадях. Теперь запишем, что нам надо доказать. ХХХ, что мы здесь запишем? | - с2=a2+b2 | |||||||||||||||
/У. под диктовку ХХХ на доске, а дети в тетрадях записывают то, что надо доказать/ | ||||||||||||||||
- Итак, записываем: Доказательство. Достроим этот треугольник до квадрата со стороной a+b следующим образом. Продолжим стороны АС и ВС за точки А и В соответственно, от точки А на продолжении стороны АС отложим отрезок, равный а, а от точки В на продолжении стороны ВС отрезок, равный b. Обозначим полученные точки D и E соответственно. Через Е проведём прямую, параллельную АС, а через точку D прямую, параллельную СВ. Обозначим точку пересечения проведённых прямых за F. От точки F на отрезке DF отложим отрезок, равный а, а на отрезке FE, отрезок, равный b. Обозначим получившиеся точки М и К соответственно. Проведём отрезки АМ, МК и ВК. | ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
- Из каких фигур состоит полученный квадрат? | – Из 4-х треугольников и одного четырёхугольника. | |||||||||||||||
– Как связаны между собой эти треугольники? | – Они равны. | |||||||||||||||
– Почему? | – По первому признаку равенства треугольников. У каждого треугольника есть сторона равная a, сторона равная b и между ними в каждом из треугольников заключён угол равный 90º. | |||||||||||||||
– Правильно. А что следует из этого равенства? | – Следует равенство соответствующих сторон и углов треугольников. | |||||||||||||||
– Верно. Давайте полученные равные стороны в треугольниках я на доске вы в тетрадях отметим и обозначим за c. Какие же углы будут равными? Для удобства обозначим углы цифрами 1-8 следующим образом. Сейчас ХХХ будет называть нам равные углы, а вы их отмечайте на своих рисунках в тетрадях. | – Углы 1,3,5,7 и углы 2,4,6,8. | |||||||||||||||
– Обратим внимание на четырёхугольник. Что нам о нём известно? | – У него все стороны равны. | |||||||||||||||
– Чем может являться четырёхугольник, у которого все стороны равны? | – Ромбом или квадратом. | |||||||||||||||
– Что ещё нам нужно узнать об этом четырёхугольнике, чтобы однозначно установить ромб это или квадрат. | – Нужно установить величины углов. | |||||||||||||||
– Попробуйте это сделать. | – Каждый из углов четырёхугольника равен 180 минус сумма углов, например, 2 и 3, т. е. они равны 90, следовательно, данный четырёхугольник – квадрат. | |||||||||||||||
– Чему равна площадь большего квадрата? | – (a+b)2 | |||||||||||||||
– А как ещё можно найти эту площадь? | – Как сумму площадей фигур, входящих в его состав. | |||||||||||||||
– Давайте найдём эти площади. | – Площадь маленького квадрата с2, а площадь каждого треугольника (ab)/2. | |||||||||||||||
– Таким образом чему равна площадь большого квадрата? | – с2 +4(ab)/2 или с2 +2(ab). | |||||||||||||||
– Итак, с одной стороны мы получили, что площадь большого квадрата равна (a+b)2, а с другой - с2 +2(ab). Т. е. получили равенство: (a+b)2= с2 +2(ab). Упростите полученное равенство. Что у вас получилось? ХХХ? | – a2+b2=с2. | |||||||||||||||
– А что требовалось доказать? | – Это и требовалось! | |||||||||||||||
– Именно, т. о. теорема доказана. Каким методом мы пользовались при доказательстве этой теоремы? | – Мы пользовались методом площадей. | |||||||||||||||
- В чём заключается суть данного метода? | - Суть данного метода состоит в том, что | |||||||||||||||
– Давайте вспомним, какие типы теорем нам известны? | – Нам известны теоремы-признаки и теоремы-свойства. | |||||||||||||||
– Свойством или признаком является теорема, доказанная нами только что? | – Теорема Пифагора – свойство прямоугольного треугольника. | |||||||||||||||
– Какие задачи мы можем решать с помощью т. Пифагора? | – Можем находить 3 сторону в прямоугольном треугольнике по 2-м данным. | |||||||||||||||
– Приведите пример такой задачи. | – В прямоугольном треугольнике даны катеты, найти гипотенузу. | |||||||||||||||
– Давайте решим эту задачу. ХХХ, иди к доске! | ||||||||||||||||
/ХХХ послабже выбирается с последней парты к доске/ | ||||||||||||||||
– Молодец, садись. |
- Теперь решим такую задачу. | |
/разворачивается левая половина доски, там рисунок/ | |
| |
- Напишите слово задача в тетрадях, перенесите к себе этот рисунок и скажите, глядя на рисунок, что нам дано, и что надо найти? | - Нам дан треугольник ABC, точка D принадлежит стороне AC, AB=5, AD=4, CD=9 и BD=3. Найти BC. |
- Запишите данные в тетрадь. Можем ли мы воспользоваться теоремой Пифагора? | – Нет. |
- Какое условие нам необходимо, чтобы можно было воспользоваться теоремой Пифагора? | – Необходимо, чтобы угол BDC был прямой. |
– То есть надо установить, что треугольник BDC (или ADB) – прямоугольный. Какие теоретические положения позволяют нам установить это? | – Определение прямоугольного треугольника. |
– Можем мы установить данный факт, используя определение? | – Нет. |
– Кроме определений, какие теоретические факты позволяют нам отнести тот или иной математический объект к какой-либо группе математических объектов. | – Теоремы признаки. |
– С какими теоремами бывают связаны теоремы-признаки? | – С теоремами-свойствами. |
– И как может быть связана теорема-признак с теоремой-свойством? | – Теорема-признак может быть обратной теореме-свойству. |
– В нашем случае, можем ли мы составить теорему, обратную теореме Пифагора, получив тем самым теорему-признак? | – Да. |
– ХХХ, сформулируйте! | – Если квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то треугольник прямоугольный. |
- Минуточку, а в каком треугольнике мы называем стороны катетами и гипотенузой? | - В прямоугольном. |
- А вы в своей формулировке назвали катетами и гипотенузой стороны произвольного треугольника. Исправьте свою ошибку. | – Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. |
- Да, действительно сформулированная теорема является признаком прямоугольного треугольника. Запишите её формулировку в тетради, а дома, пользуясь учебником, ознакомьтесь с её доказательством. | – по признаку прямоугольного треугольника ABD – прямоугольный, значит треугольник BDC – тоже прямоугольный. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения стороны BC. |
– А теперь вернёмся к нашей задаче и решим её, используя теорему-признак. | - BC= |
– Итак, подведём итоги урока. Скажите, чем мы занимались сегодня на уроке. | – Сегодня мы познакомились с двумя теоремами – признаком и свойством (т. П.) прямоугольного треугольника. |
– Сформулируйте теорему Пифагора. | – В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. |
- Какие задачи позволяет нам решить эта теорема? | – Мы можем находить третью сторону прямоугольного треугольника по двум заданным. |
– Правильно. Кроме т. Пифагора, какую теорему мы рассмотрели? | – Мы рассмотрели признак прямоугольного треугольника. |
– Сформулируйте его. | – Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. |
– Что позволяет нам сделать эта теорема? | – С помощью этой теоремы мы можем определить, является треугольник прямоугольным или нет. |
- Как вы думаете, чем мы будем заниматься на следующем уроке? | - Очевидно, мы будем решать задачи на применение теоремы Пифагора и обратной ей теоремы. |
- Совершенно верно. |
.