Связь поверхностных, кратных и криволинейных интегралов

4. Связь поверхностных, кратных и криволинейных интегралов

4.1. Связь поверхностных интегралов I и II рода

Пусть (s) - двусторонняя гладкая или кусочно - гладкая поверхность с краем Г задана параметрически уравнениями (5). Пусть выбрана одна из сторон поверхности (s), которая определяется полем нормалей или по формулам (16), (24) или (25). Пусть углы между вектором нормали к выбранной стороне поверхности в произвольной точке и осями координат OX, OY, OZ соответственно (рис. 21).

Риc. 21. Выбор стороны двусторонней поверхности

Тогда каждую сторону поверхности можно определить единичным вектором нормали

(68)

координатами которого являются направляющие косинусы:

(69)

Причем, в формулах (69) знак «+» соответствует положительной стороне поверхности , а знак «-» соответствует отрицательной стороне поверхности . Выражения A, B, C определены в формулах (5), (16).

Замечание 1. Если поверхность (s) задана явным уравнением (2), а ее стороны определяются полем нормалей (18) и (19), тогда направляющие косинусы единичного вектора нормали (68) к данной поверхности будут определены формулами:

(70)

Причем, в этом случаи, для положительной стороны поверхности будет т. е. , а для отрицательной стороны поверхности будет т. е. (рис. 22).

Рис. 22. Ориентация поверхности, заданной явным уравнением

Замечание 2. Если поверхность (s) задана явным уравнением (3), а ее стороны определяются полем нормалей (20) и (21), тогда направляющие косинусы единичного вектора нормали (68) будут определяться формулами:

(71)

В этом случае для будет т. е. а для будет т. е.

Замечание 3. Если поверхность (s) задана явным уравнением (4), а ее стороны определяются полем нормалей (22) и (23), тогда направляющие косинусы единичного вектора нормали (68) будут определены формулами:

(72)

В этом случае для будет т. е. а для будет т. е.

Теорема 1. Пусть (s) - гладкая или кусочно - гладкая поверхность. Пусть единичный вектор нормали (68) определяет выбранную сторону поверхности (s) и его направляющие косинусы. Пусть в точках поверхности (s) определены непрерывные функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z). Тогда

(73)

Замечание 4. Формула (73) сводит поверхностный интеграл II рода к поверхностному интегралу I рода. Направляющие косинусы в правой части формулы (73) определяют ту сторону поверхности (s), по которой берется поверхностный интеграл II рода в левой части формулы (73).

Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл второго рода по положительной стороне поверхности 2x+3y-z=1, отсеченной координатными плоскостями, лежащей в первом октанте, используя формулу (73):

Решение. Поверхность (s) можно задать явно, например, уравнением (3.2): z=1-2x-3y. Тогда ее положительная сторона будет определена направляющими косинусами (70):

Применяя формулу (73) к исходному интегралу, получим

Здесь, для вычисления поверхностного интеграла первого рода, воспользовались формулой (33): Ответ:

4.2. Формула Остроградского - Гаусса

Теорема 2. Пусть (Т) - тело, ограниченное замкнутой, гладкой или кусочно - гладкой поверхностью (s). Пусть P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) - функции непрерывные в области (Т) и на ее границе (s), имеющие в области (Т ) непрерывные частные производные Тогда справедлива формула:

(74)

Причем, поверхностный интеграл II рода берется по внешней стороне замкнутой поверхности (s).

Доказательство. Рассмотрим случай, когда кусочно-гладкая, замкнутая поверхность (s) составлена из трех гладких поверхностей вида

цилиндрическая поверхность,

для всех

Эта поверхность изображена на рис. 23.

Рис. 23. Область интегрирования

Здесь G - проекция тела (Т ) на плоскость XY. Вычислим сначала тройной интеграл вида

(75)

Но из формул (61) и (62) имеем

Подставляя эти значения двойных интегралов в правую часть формулы (75), получим

(76)

Так как цилиндрическая поверхность имеет образующую параллельную оси OZ, то ее проекция на плоскость XY есть граница области и следовательно справедливо следующее равенство

Тогда, если прибавим к правой части формулы (76) поверхностный интеграл II рода по внешней стороне поверхности , который равен нулю, то формула (76) примет вид

(77)

В правой части формулы (77) интегрирование проводится по внешней стороне поверхности (s).

Аналогично доказывается, что

(78)

Тогда из формул (78) и (77) и следует формула (74).

Следствие. Если

(79)

то поверхностный интеграл II рода общего вида по замкнутой поверхности равен нулю:

(80)

Доказательство следует из формулы (74).

Замечание 5. Формула (74) называется формулой Остроградского-Гаусса. Она связывает поверхностный интеграл II рода общего вида по внешней стороне замкнутой поверхности с тройным интегралом по области, ограниченной данной поверхностью.

Пример 2. Вычислить

где (s) - внешняя сторона пирамиды, составленной плоскостями:

x=0, y=0, z=0 и x+y+z=4.

Решение. Сначала выполним построение поверхности пирамиды и ее проекции, например, на плоскость XY.

Рис. 24. Изображение Рис. 25. Проекция

области интегрирования области интегрирования

Так как поверхность интегрирования замкнутая (рис. 24), то для вычисления интеграла воспользуемся формулой (74), где (T) - тело ограниченное поверхностью (s):

Ответ:

4.3. Формула Стокса

Теорема 3. Пусть (s) - гладкая или кусочно - гладкая поверхность и замкнутая гладкая линия (Г) ее контур. Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывные на поверхности (s) и на контуре (Г) имеют непрерывные частные производные по всем переменным на поверхности (s). Тогда справедлива формула:

(81)

В этой формуле замкнутый контур (G ) в криволинейном интеграле II рода обходится в положительном направлении согласованно с ориентацией поверхности (s) в поверхностном интеграле II рода.

Замечание 6. Формула (81) называется формулой Стокса и является обобщением формулы Грина. Она связывает криволинейный интеграл II рода с поверхностным интегралом II рода. Согласование ориентации поверхности (s) с положительным направлением обхода ее границы (G) установлено в определении 4 пункта 13.

Следствие 1. Если

(82)

то криволинейный интеграл II рода по замкнутому контуру (G), ограничивающему поверхность (s), равен нулю:

(83)

Доказательство следует из формулы (81).

Следствие 2. Если выполняется условие (82), то для любых двух точек и из области (s) криволинейный интеграл II рода не зависит от пути интегрирования от точки A до точки B, а зависит только от начала и конца этого пути. Такой интеграл обозначается в виде

и вычисляется по формуле:

(84)

Доказательство. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой AB при выполнении условия (82) доказана в следствии теоремы Грина. Здесь приведем доказательство формулы (84).

Рис. 26. Путь интегрирования

Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то в качестве пути интегрирования выберем, например, ломанную ABCD (рис. 26). Здесь прямая AC параллельна оси OX, прямая CD параллельна оси OY, прямая DB параллельна оси OZ.

Следовательно, криволинейный интеграл II рода от точки A(x,y,z) до точки B(x,y,z) можно представить в виде суммы трех интегралов по прямым AC, CD и DB:

Таким образом, формула (84) доказана.

Следствие 3. Если выполнено условие (82), то выражение

является полным дифференциалом некоторой функции определенной в области (s) и на ее контуре (G), т. е.

(85)

и функция определяется по формуле:

(86)

Здесь фиксированная точка области (s); любая точка области (s), С - произвольная константа.

Доказательство формулы (86) следует из формулы (84).

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл с помощью формулы Стокса:

где (G ) - линия пересечения сферы с плоскостью . Интегрирование по линии (G ) ведется против часовой стрелки, если смотреть из начала координат.

Решение

Рис. 27.Изображение Рис. 28. Проекция поверхности,

пути интегрирования натянутой на контур (G)

Линия (G) (рис. 27) есть окружность в плоскости Чтобы воспользоваться формулой Стокса (81), определим поверхность (s), натянутую на контур (G). В качестве такой поверхности можно взять или часть сферы, где , или часть сферы, где , или круг, ограниченный окружностью (G) в плоскости

I случай

Пусть (s) - это поверхность в пространстве , а проекция (s) на плоскость XOZ есть область (рис. 28).

Так как интегрирование по контуру (G) ведется против часовой стрелки, если смотреть из начала координат, то это будет отрицательное направление на положительной стороне поверхности , вектор нормали к которой имеет вид

где

Тогда

II случай

Пусть поверхность (s) это плоскость y=0, ограниченная окружностью (G) (рис. 27). Проекцией этой поверхности на плоскость XZ является область (рис. 28). Положительная сторона поверхности определяется вектором нормали: . Так как выбранное направление на контуре (G) есть отрицательное направление на , то формула Стокса (81) имеет вид

Ответ:

Замечание 7. Из приведенного примера следует, что при использовании формулы Стокса большую роль играет выбор поверхности, натянутой на данный контур.