Введение. Основные понятия

Лекция №1.

Введение. Основные понятия.

Квадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a,b,c – любые действительные числа, причём , а так же а – первый или старший коэффициент, b – второй коэффициент, или коэффициент при х, с – свободный член.

Задание: заполните пропуски.

Запишите квадратное уравнение, старший коэффициент которого равен – 4,2, свободный член 3,1, второй коэффициент 0, переменная обозначена буквой m.

Решение. Квадратное уравнение – это уравнение вида где коэффициенты a,b,c - _________.

(числа; переменные)

Число а …0 называют первым или _______________ коэффициентом, b - _______________ коэффициент, с - ____________ член. По условию, а = …, b = …, c = … .

Ответ.

Задание.

Составьте квадратное уравнение, у которого:

a)  старший коэффициент равен 8, а коэффициент при х равен 5, свободный член равен 1;

b)  старший коэффициент равен – 12 , коэффициент при х равен 3;

c)  старший коэффициент равен 1, свободный член равен 4;

d)  старший коэффициент равен 9, коэффициент при х равен – 2 , свободный член равен 3.

e)   

Ответ.

a) 

b) 

c) 

d) 

Задание.

Используйте тренажёр для определения коэффициентов в квадратном уравнении (Определение коэффициентов: автор программы )

Если а = 1, то квадратное уравнение называется приведённым; если старший коэффициент отличен от 1, то квадратное уравнение называется неприведённым.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых, т. е. уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b, c равен 0. Обратите внимание: о речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

Задание:

Составьте квадратное уравнение, которое является:

a)  полным и приведённым;

b)  полным и неприведённым;

c)  неполным и приведённым;

d)  неполным и неприведённым.

Корнем квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трёхчлен ax2 + bx + c обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трёхчлена.

Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Неполные квадратные уравнения и их решение

Вид неполного квадратного уравнения
Решение
Ответ	единственный корень уравнения, равный нулю	один из корней уравнения всегда равен нулю	корни противоположны по знаку и равны по модулю

Примеры с решениями

Решить неполные квадратные уравнения:

а) б) ; в)

Решение. а) Имеем ; х(2х - 7) = 0. Поэтому либо х = 0, либо 2х -7 =0, откуда х =3,5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 3,5.

б) Имеем ; - х (х - 5) = 0. Уравнение имеет два корня: 0 и 5.

в) Имеем Получаем, что Допускается более экономная запись:

г) Имеем = 7; = 3,5. Уравнение имеет два корня: И в этом случае можно записать короче:

д) Имеем = - 10. Так как выражение неотрицательно при любых значениях х, то уравнение

= - 10 не имеет корней. Иными словами, нет ни одного числа, подстановка которого вместо переменной х обратила бы это уравнение в верное числовое равенство. Иногда в таких случаях уточняют: нет действительных корней.

е) Если , то откуда находим х =0 – единственный корень уравнения.

Тренировочные упражнения.

Решите уравнение:

1)  2) 3) 4)

5) ; 8) ; 9)

11)

Ответ:1) 0 и -5; 2) 0 и 4,5; 3) 0 и 12; 4) 0 и 5) 0 и 8; 6) 0 и 3; 7) 3 и - 3; 8) 0 и 19; 9) 5 и – 5; 10) 11)

12) корней нет; 13) 0; 14) корней нет.