Олимпиада МГТУ «Станкин» 11 класс 2007г.
1. Существуют ли рациональные числа 
такие, что 
‑ целое число?
Решение. Только 
. 
. 
. 
. 
является полным квадратом только при 
.
2. Найти натуральные решения системы 
Решение. Очевидно, что 
. Перебор вариантов дает ответ 
, 
, 
.
3. Пусть 
. Доказать, что 
.
Решение. 
. Следовательно 
. Сложим последнее неравенство с исходным уравнением: 
.
4. Найти все значения 
, при которых выражение 
является простым числом.
Решение. 
. Значит, 
; 
; 
.
5. В прямоугольнике ABCD опущен перпендикуляр BK на диагональ АС. Точка М – середина отрезка AK, точка N – середина отрезка CD. Доказать, что угол BMN прямой.
Решение.
Пусть L – середина отрезка AB. Опишем окружность около прямоугольника LBCN. Точка М лежит на окружности, т. к. 
, а LC – диаметр. Т. к. BN также диаметр, угол BMN прямой.
6. Доказать, что из любых трех положительных чисел можно выбрать два числа и 
такие, что 
.
Решение. Если два из них равны, то утверждение очевидно. Пусть 
. Рассмотрим арктангенсы этих чисел: 
. Длина одного из отрезков 
или 
не больше 
. Пусть это . Тогда 
.
