Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных.

Введение.

Функции одной переменной недостаточно для математического описания многих зависимостей, существующих в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, зависящие от нескольких других величин, например:

1) путевая скорость самолёта w определяется путём измерения контрольного этапа S и времени его полёта t:

2) радиус разворота самолёта R зависит от истинной воздушной скорости самолёта и угла крена :

3) сила тока I зависит по закону Ома от двух величин: напряжения U и сопротивления R:

4) температура нагретого тела в данный момент времени t меняется от точки к точке T=f(x,y,z).

Если же учитывать зависимость температуры от времени t, то T=f(x,y,z,t).

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях 2-х переменных, то ограничимся рассмотрением этих функций.

1. Понятие функции нескольких аргументов.

Определение: Переменная величина z называется функцией двух независимых переменных x и y, если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторой области изменения Д соответствует определённое единственное значение величины z.

Обозначается функция 2-х переменных

Функция 2-х переменных существует, вообще говоря, не при любых значениях x и y.

Множество пар (x, y) значений x и y, при которых определена функция, называется областью определения функции и обозначается или .

Каждой паре значений (x, y) в плоскости хОу соответствует точка М(x,y). Поэтому пару значений (x, y) называют точками, а функцию называют функцией точки М(x,y) плоскости хОу и записывают .

Область определения функции изображается в виде некоторой совокупности точек на плоскости хОу. Областью определения может быть вся плоскость или часть плоскости, ограниченная некоторой линией, которую называют границей. Точки области, не лежащие на границе, называют внутренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы, то область называется замкнутой.

Примеры:

1) - множество всех точек (x, y) плоскости хОу

2)

Следовательно, - круг радиуса

3)

- множество всех точек плоскости хОу, кроме начала координат О(0,0).

Графиком функции , определённой в некоторой области D точек плоскости хОу, называется множество точек пространства , у которых и .

Каждой точке соответствует значение , которое является аппликатой некоторой точки . Всей области D соответствует некоторое множество точек P, образующих в общем случае поверхность.

При изучении поверхностей обычно пользуются методом сечений, который заключается в том, что определение вида поверхности производится путём исследования кривых, образованных при пересечении этой поверхности плоскостями. Но можно изучать график функции посредством сведения функции 2-х переменных к функции одной переменной, придавая постоянные значения не одной из независимых переменных, а самой функции. Положим , тогда уравнение задаёт зависимость между переменными х и у, при которой функция сохраняет постоянное значение с. Геометрически придание постоянного значения с означает пересечение поверхности плоскостью , параллельной плоскости хОу. На плоскости хОу уравнение есть уравнение проекции ℓ линии L пересечения поверхности с плоскостью . При перемещении точки вдоль линии ℓ функция сохраняет постоянное значение, равное с.

Линия на плоскости хОу, в точках которой функция сохраняет постоянное значение, называется линией уровня.

Семейство линий уровня, соответствующих различным значениям :

называют сетью линий уровня функции или планом поверхности.

Примерами таких сетей линий уровня являются топографические карты местности, сети изобар и изотеры в метеорологии.

Аналогично вводится понятие функции нескольких переменных.

Определение: Переменная U называется функцией n переменных , если

1) задано множество систем () численных значений ;

2) задан закон, по которому каждой системе () из этого множества соответствует определённое единственное значение U.

Обозначается функция нескольких переменных

Переменные называются аргументами функции. Множество , которое образует системы () численных значений аргументов , называется областью определения функции n переменных и обозначается или .

Функцию рассматривают как функцию точки Р() n-мерного пространства .

Например, функцию рассматривают как функцию точки трёхмерного пространства.

Совокупность точек области , в которых функция имеет постоянное значение с, т. е. называется поверхностью уровня. Зная поверхность уровня, легко исследовать функцию .

Геометрическую иллюстрацию имеют только функции 2-х переменных.

2. Предел и непрерывность функции нескольких аргументов.

Понятие предела опирается на понятие окрестности точки.

Определение: Окрестностью точки радиуса (или - окрестностью) двухмерного пространства называется множество точек , удовлетворяющих неравенству

т. е. множество точек , лежащих внутри круга радиуса с центром в точке .

Пусть определена в некоторой области , причём возможно, что .

Определение: Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа ε существует такое число δ>0, что для всех точек , принадлежащих δ-окрестности точки радиуса δ, справедливо неравенство .

Если число А является пределом при , то записывают

Аналогично определяется предел функции n независимых переменных.

Все правила предельного перехода и свойства пределов, рассмотренные для функции одной переменной, без изменений переносятся на случай функции нескольких переменных.

Определение: Функция называется непрерывной в точке , если .

Точка стремится к точке произвольным образом, оставаясь в области определения функции D.

Функция , непрерывная в каждой точке области D, называется непрерывной в этой области.

Непрерывные функции 2-х переменных обладают теми же свойствами, что и непрерывные функции одной переменной.

Точка плоскости хОу, в которой не выполняется условие непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.

Точки разрыва функции 2-х переменных могут образовывать целые линии, например, точками разрыва функции являются все точки, лежащие на прямых и .

Аналогично определяется непрерывность функции любого числа переменных.

3. Частные производные.

Зафиксируем один из аргументов функции , например, положив . Тогда будет функцией одной переменной . Переменной дадим приращение , получим значение функции .

Разность - называется частным приращением по функции в точке и обозначается -.

Аналогично определяется частное приращение по функции :

.

Определение: Частной производной по функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при

стремлении к нулю и обозначается .

По определению

Аналогично

Таким образом, частная производная функции по одному из её аргументов равна пределу отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение этого аргумента стремится к нулю, т. е. определяется как производная функции одной из этих переменных.

Значение частной производной зависит от точки, в которой она вычисляется. Поэтому частная производная есть функция точки , т. е. также является функцией 2-х переменных.

Частные приращения и производные функции переменных определяется и обозначается аналогично.

Из определения частных производных следует, что при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.

Все правила и формулы дифференцирования для функции одной переменной сохраняются для частных производных функции нескольких переменных.

Пример:

Пусть - уравнение поверхности. Проведём плоскость . В сечении этой плоскости с поверхностью получится линия РТ. При этом значении х рассмотрим точку , которой соответствует точка , принадлежащая поверхности . Оставляя х неизменным, дадим у приращение ,

. Точка соответствует точке на поверхности

- тангенс угла, образованного секущей РТ с положительным направлением оси Оу.

- тангенс угла, образованного касательной ВР к кривой РТ в точке Р с положительным направлением оси Оу.

Таким образом, частная производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности плоскостью .

Аналогично частная производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к сечению поверхности плоскостью .

Физический смысл частных производных заключается в том, что они определяют скорость изменения функции в положительных направлениях координатных осей.

Заключение.

Функцию точки u = f(M) с областью определения Q и множеством значений U можно рассматривать как некоторое отображение множества Q в множество U, которое каждому элементу M Є Q ставит в соответствие определенный элемент u Є U. Очевидно, что в общем случае мы можем говорить об отображении одного множества в другое, отвлекаясь от природы элементов этих множеств. В частности, элементами множества значений функции могут быть векторы. В этом случае мы приходим к понятию вектор-функции. Под точкой М из области определения функции мы можем понимать как точку из n-мерного пространства, так и объект какой-нибудь другой природы. Например, в качестве области определение функции Q можно рассматривать множество, элементами которого являются все возможные результаты некоторого эксперимента, воспроизводящегося при наличии влияющих на его исход случайных факторов (точки попадания при стрельбе, кривые напряжения на выходе какой-либо радиотехнической схемы). Если при этом в качестве множества значений функции u рассматривать числовое множество, элементами которого являются неотрицательные числа не большие единицы, то функция u=f(M) задает распределение вероятностей результатов рассматриваемого эксперимента. Другими словами, функция u =

= f(M) каждому возможному результату эксперимента (точке М) ставит в соответствие число u, которое является вероятностью этого результата.