Библиографический список
1. , , Маркелов и средства идентификации динамических объектов. Л.: Энергоатомиздат, 19с.
2. Дейч идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1974.
3. Основы идентификации систем управления: оценивание параметров и состояния. М.: Мир, 19с.
4. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 19с.
5. , Чадеев моделей процессов производства. М.: Энергия, 19с.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В АСУТП
Цель работы – изучить теоретические сведения о цифровой фильтрации, выполнить фильтрацию измеренного датчиком сигнала, оценить точность (ошибку) фильтрации.
Некоторые области применения цифровых фильтров
Цифровые фильтры широко применяются в технических приложениях. Это связано с тем, что статистическая обработка измерительной информации позволяет оценивать параметры состояния процессов управления и по полученным оценкам синтезировать оптимальные автоматизированные и автоматические системы управления. Фундаментальные теоретические исследования в области цифровой фильтрации, а также большие возможности современных ЭВМ создали предпосылки широкого использования цифровых фильтров в технических задачах различных прикладных направлений.
Цифровые фильтры могут применяться при решении задачи статистической идентификации объекта (технологического процесса). Структурная схема идентификации объекта показана на рис. 1, где V(t) – погрешность измерения датчиком входного сигнала x(t); n(t) – погрешность измерения датчиком выходного сигнала y(t); xИ(t) – измеренное значение x(t), yИ(t) - измеренное значение y(t); w(t) – весовая функция объекта; 
- оценка сигнала x(t); 
- оценка сигнала y(t); 
- оценка весовой функции w(t); ФНЧ – фильтр нижних частот. При этом V(t) и n(t) являются случайными функциями времени.
Цифровые фильтры могут использоваться в системах управления технологическими процессами (СУТП). Структурная схема СУТП приведена на рис. 2, где u(t) – управляющее воздействие; W(t) – случайное возмущающее воздействие на объект управления; e(t) – ошибка СУТП; x(t) – задающее воздействие.
Цифровые фильтры могут использоваться в системах связи общего назначения. Эти системы охватывают огромные области технических приложений и широко применяются в телевидении, радиовещании, телефонии, сетях ЭВМ, авиации, геодезии, метеорологии и др. Для исключения искажений, обусловленных влиянием внешних и внутренних помех, и повышения надежности связи используются цифровые фильтры в трактах передачи и приема сообщений. Задача фильтрации состоит в том, чтобы оценка сообщений наилучшим образом соответствовала передаваемому сообщению x(t). В этом случае потребитель примет сообщение с минимальными искажениями.
Рис. 1
Рис. 2
Типовая структурная схема системы связи общего назначения приведена на рис. 3. Источник сообщения вырабатывает сообщение x(t), которое поступает на вход передатчика. В передатчике сообщение преобразуется в сигнал S(t). Преобразования, выполняемые передатчиком, искажаются погрешности, возникающими при кодировании, модуляции и передаче сигнала. Для исключения влияния помех передатчика и минимизации искажений при кодировании и модуляции в системе связи используется фильтр, формирующий на выходе улучшенный сигнал S*(t). Сигнал S*(t) по линиям связи передается на вход приемника. Однако при этом он снова подвергается искажениям, возникающим в линии связи, используемой для передачи сообщений из-за изменений окружающей среды, а также в самом приемнике при декодировании, демодуляции и приеме сигнала (шум приемника). Чтобы избежать этого на выходе приемника устанавливают фильтры, обеспечивающие однозначное соответствие передаваемого и принимаемого сообщений.
Цифровые фильтры могут также применяться для обработки экспериментальных данных в геофизике, геологии и других естественных науках, которые связаны с проведением экспериментов в натурных и полевых условиях (обработка данных идет непосредственно в процессе эксперимента). Цифровые фильтры можно использовать для подавления помех при обработке речевых сигналов, радио – и гидролокационных сигналов, для обработки данных в биологии, медицине и т. д.
Рис. 3
Теоретические сведения о цифровой фильтрации
Общее соотношение между процессами x(t) на входе и y(t) на выходе линейного фильтра дается интегралом свертки вида
(1)
где h(t) – весовая функция фильтра. Интеграл в интегральном уравнении (1) есть свертка функций h(t) и x(t). Частотная характеристика фильтра представляет собой преобразование Фурье (F – преобразование) функции h(t).
(2)
где f – частота, Гц.
Если h(t) = 0 при t < 0, то соотношение (2) примет вид
(3)
Соотношение (2) можно также записать в виде
(4)
где w = 2pf – угловая частота, рад.
Обратное преобразование Фурье (F-1 – преобразование) позволяет получить функцию h(t) из H(f):
(5)
или
(6)
При построении цифрового фильтра в противоположность аналоговому случаю нет необходимости вводить условие физической осуществимости. Иначе говоря, не нужно требовать, чтобы весовая функция была равна нулю при t < 0, поскольку данные могут быть накоплены в ЭВМ и в нужный момент поданы на фильтр для фильтрации их в обратном порядке.
Идеальным фильтром можно считать систему, имеющую одну полосу пропускания или более (ряд частот, для которых | H(f) | = 1 ) и одну полосу непрозрачности или более (ряд частот, для которых | H(f) | = 0 ). Простые идеальные фильтры обычно подразделяют на фильтры нижних и верхних частот и полосовые. Примеры идеальных амплитудно-частотных характеристик | H(f) | низкочастотного, высокочастотного и полосового фильтров даны на рис. 4,5,6, где f0 – частота среза или граничная частота первых двух фильтров; f1 , f2 – частоты среза (граничные частоты) полосового фильтра. Примерный вид реальных амплитудно-частотных характеристик | H(f) | низкочастотного, высокочастотного и полосового фильтров показан на рис. 7,8,9.
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
Применяя преобразование Фурье к левой и правой частям формулы (1), получим
(7)
где X(f) – преобразование Фурье процесса на входе фильтра x(t), т. е. 
; Y(f) – преобразование Фурье процесса на выходе фильтра y(t). Соотношение (7) можно записать также в виде
(8)
Уравнение (7) является эквивалентом уравнения (1) в частотной области.
Таким образом, использовав частотную характеристику фильтра и выполнив преобразование Фурье процессов на его входе и выходе, можно свести интеграл свертки (1) к простым алгебраическим выражениям (7) или (8).
Частотная характеристика фильтра в общем случае является комплексной величиной, которую удобно представить через ее модуль и аргумент. Для этого следует переписать H(f) в показательной форме:
(9)
Модуль | H(f) | называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра, а аргумент Y(f) – фазочастотной характеристикой (ФЧХ) фильтра. Для частотной характеристики, АЧХ и ФЧХ справедливы следующие свойства:
(10)
где H*(f) – функция частоты, комплексно-сопряженная с функцией частоты H(f).
Если применить обратное преобразование Фурье (5) к правой части уравнения (7), то получим выходной сигнал фильтра
(11)
Сравнивая уравнения (11) и (1), видим, что линейный фильтр одинаково хорошо описывается весовой функцией или частотной характеристикой соответственно во временной или в частотной области. Во временной области результат фильтрации может быть вычислен непосредственно через интеграл свертки, а в частотной – через прямое и обратной преобразование Фурье. На рис. 10 показаны принципы фильтрации во временной и в частотной областях.
Рис. 10
Нерекурсивные цифровые фильтры
Цифровые фильтры можно разделить на нерекурсивные и рекурсивные.
Прямоугольная аппроксимация интеграла свертки (1) имеет вид
(12)
где
M – константа или параметр фильтра; Dt – интеграл дискретности измерений датчиком сигнала x(t).
Введем обозначение 
. Тогда соотношение (12) примет вид
(13)
где hk – весовые коэффициенты фильтра. Соотношение (13) определяет алгоритм цифровой фильтрации с использованием нерекурсивного цифрового фильтра.
Для симметричного нерекурсивного цифрового фильтра имеет место соотношение
В случае симметричного фильтра эквивалентная уравнению (2) конечная сумма определяет фильтр, ФЧХ которого равна нулю, и АЧХ
(14)
Если известна АЧХ симметричного фильтра, то весовые коэффициенты определяются обратным преобразованием Фурье уравнения (14) в виде
(15)
В случае, когда hk = 0 при k < 0, из уравнения (12) имеем
(16)
Рекурсивные цифровые фильтры
Рекурсивный фильтр описывается уравнением
(17)
Коэффициенты hk и dk являются константами. В том случае, когда все коэффициенты dk равны нулю, фильтр называется нерекурсивным.
В случае, когда hk = 0 при k < 0, уравнение (17) примет вид
(18)
Преобразование Фурье для уравнения (17) дает
(19)
Как следует из формулы (19), частотная характеристика рекурсивного фильтра имеет вид
(20)
Соотношение (20) можно также записать в виде
(21)
Соотношение между статистическими характеристиками
сигналов на входе и выходе цифрового фильтра
Спектральная плотность Sy(w) случайного сигнала y(t) на выходе линейного фильтра будет следующей:
(22)
где
Здесь Sx(w) – спектральная плотность случайного сигнала x(t) на входе фильтра; Kx(t), Ky(t) – корреляционные функции случайных сигналов x(t) и y(t).
Дисперсия случайного сигнала y(t)
(23)
Оценка качества работы фильтра
Предположим, что на вход фильтра поступает полезный случайный сигнал g(t), на который накладывается помеха n(t). Обозначим через x(t) сигнал на входе фильтра,
(24)
Предполагаем, что случайные сигналы g(t) и n(t) не коррелированны. На выходе фильтра имеем выходной сигнал y(t). Обозначим через e(t) ошибку фильтрации, т. е.
(25)
На рис. 11 показана схема, поясняющая процесс формирования ошибки e(t).
Рис. 11
Спектральная плотность 
ошибки e(t) определяется соотношением
(26)
где 
– спектральные плотности сигналов g(t) и n(t), H(w) – частотная характеристика фильтра.
Дисперсия ошибки фильтрации
или
(27)
где
(28)
(29)
Рассмотрим в качестве примера случай, когда частотная характеристика фильтра имеет вид
(30)
а корреляционные функции полезного сигнала g(t) и помехи n(t) определяется соотношением
(31)
(32)
где k, T – параметры фильтра; 
– коэффициент нерегулярности и дисперсии помехи n(t); 
– коэффициент нерегулярности и дисперсии сигнала g(t). Соотношениям (31), (32) соответствуют спектральные плотности
(33)
(34)
Подставляем (30) в (26), получим
(35)
Определим 
и 
в следующем виде:
(36)
(37)
Подставляя (30), (33) – (37) в формулы (28), (29), получим
(38)
(39)
Примем k = 1. Тогда из соотношения (27), (38), (39) имеем
Рис. 12
На рис. 12 построена зависимость r от Т при a = 0,02 с-1; 
. При проектировании фильтра выбирается оптимальное значение параметра Т, при котором r = min. Из рис. 12 следует, что в данном случае Топт = 15 с.
Рассмотрим случай, когда на вход фильтра поступает полезный детерминированный сигнал g(t), на который накладывается помеха n(t). Сигнал на входе фильтра описывается соотношением (24), а ошибка фильтрации – соотношением (25).
Сигнал
(40)
где 
– детерминированная составляющая y(t), обусловленная действием сигнала g(t); 
– составляющая y(t), обусловленная действием помехи, которая представляет собой случайный сигнал. Следовательно, – это случайная составляющая y(t).
Подставляя (40) в (25), получим
где
(41)
– детерминированная и случайная составляющая ошибки 
. Составляющая 
обусловлена неточным воспроизведением фильтром полезного сигнала g(t). Составляющая 
появляется в результате частичного прохождения помехи n(t) на выход фильтра.
Так как случайная и детерминированная ошибки не коррелированны между собой, то дисперсия суммарной ошибки фильтрации фильтром случайного сигнала x(t) определяется выражением
(42)
где 
– дисперсия случайной составляющей 
ошибки .
Обозначим через 
спектральную плотность помехи n(t), а через 
– спектральную плотность составляющей . В результате имеем
(43)
(44)
где 
– дисперсия составляющей . Так как 
, то
(45)
Определим . Имеем
(46)
где 
– весовая функция фильтра.
Рассмотрим в качестве примера случай, когда частотная характеристика фильтра определяется соотношением (30), а спектральная плотность помехи n(t) характеризуется выражением (34). Частотной характеристике H(w), определяемой соотношением (30), соответствует весовая функция фильтра вида
(47)
Предположим, что
(48)
где g0, g1 – коэффициенты полинома. Подставляя (47), (48) в (46), получим
(49)
Подставим (48), (49) в (25). В результате
(50)
Соотношение (50) при k = 1 примт вид
(51)
Определим . Подставляя (30), (34) в (43), (44), получим
(52)
Соотношение (52) при k = 1 примет вид
(53)
Подставим (53), (45), (51) в (42). Получим
(54)
или
(55)
где
(56)
Рис. 13
На рис. 13 построен график зависимости 
от параметра Т фильтра при 
= 0,1 с-1; 
= 20; y = 0, y = 0,01. При проектировании фильтра выбирается оптимальное значение параметра Т, при котором = min. Из рис. 13 следует, что при y = 0,01 ТОПТ = 30 с.
Моделирование работы цифрового фильтра на ЭВМ
и количественная оценка ошибки фильтрации
Рассмотрим четыре нерекурсивных цифровых фильтра: фильтр скользящего среднего (ФСС), цифровой косинус – фильтр (ЦКФ), модифицированный фильтр Бартлета (МФБ) и идеальный фильтр нижних частот (ИФНЧ). Введем обозначение
(57)
где Dt – интервал дискретности измерений фильтруемого случайного процесса. Индекс j принимает значение 1,2,3 и 4. Индекс j = 1 соответствует ФСС, индекс j = 2 – ЦКФ, индекс j = 3 – МФБ, индекс j = 4 – ИФНЧ; 
– весовые коэффициенты j-го цифрового фильтра.
Весовые коэффициенты рассматриваемых фильтров имеют следующий вид:
(58)
(59)
(60)
(61)
где W – параметр ИФНЧ; N – параметр, характеризующий количество измеренных значений фильтруемого случайного процесса на интервале наблюдения 
фильтра.
Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) указанных нерекурсивных цифровых фильтров определяются соотношением
(62)
где f – частота, Гц.
Обозначим через x(t) сигнал на входе фильтра,
(63)
где g(t) – полезный детерминированный сигнал; n(t) – погрешность измерений сигнала g(t). Предполагается, что n(t) – коррелированный случайный сигнал, корреляционная функция которого определяется соотношением
(64)
где 
– преобладающая частота; a – коэффициент затухания корреляционной функции; 
– дисперсия n(t).
Рассмотрим четыре модели сигнала g(t):
1. 
(65)
2. 
(66)
3. 
(67)
4. 
(68)
Здесь 
– параметры этих моделей.
Из (63) имеем
(69)
где 
– длина реализации случайного сигнала, подвергаемого фильтрации; 
– случайные последовательности.
Для моделирования случайной последовательности 
используется формирующий фильтр, определяемый соотношением вида
(70)
где
(71)
Здесь 
– последовательность независимых нормально распределенных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
Алгоритм цифровой фильтрации определяется соотношением
(72)
где 
Определим статистическую среднеквадратическую ошибку фильтрации цифровым фильтром входной случайной последовательности 
в виде
(73)
где 
. Используя формулу (73), можно построить график зависимости 
от параметра фильтра N.
Найдем оценку дисперсии случайной последовательности по формуле
(74)
Введем в рассмотрение коэффициент
(75)
Используя формулы (73) – (75), можно построить график зависимости 
от параметра фильтра N.
На рис. 14 показана блок-схема, поясняющая процесс моделирования на ЭВМ работы цифрового фильтра и количественной оценки ошибки фильтрации.
Структура программного обеспечения
Укрупненная блок-схема программы цифровой фильтрации показана на рис. 15. В табл. 1 приведены некоторые переменные и массивы, а также идентификаторы этих переменных и массивов в программе cfbasy, написанной на языке Паскаль.
Дадим краткое описание блок-схемы программы. Назначение отдельных блоков следующее:
блок 1 – ввод исходных данных;
блок 2 – вычисление весовых коэффициентов цифровых фильтров по формулам (58) – (61);
Рис. 15
Таблица 1
Обозначение | Возможные значения переменных | Пояснения | |
математ. | в программе | ||
N | N | 31 | |
N1 | N1 | 500 | |
Dt | DT | 1 | |
W | W | 0,06 | |
i | T | 1,2,3,4 | Номер модели полезного сигнала |
j | L | 1,2,3,4 | Признак фильтра |
f0 | F0 | 0,001 | |
j | F | 0 | |
c | NF | ||
sn | SV | 5 | |
an | AV | 0,1 | |
wn | WV | 0 | |
a0 , a1 , a2 | A0, A1, A2 | ||
a3 , a4 , a5 | A3, A4, A5 | ||
a6 | A6 | ||
xi | X1[I] | ||
yi | Y1[I] | ||
gi | S[I] |
блок 3 – запись массивов весовых коэффициентов ФСС и ЦКФ в файл “H1H2.PAS”;
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
