Колебания в механизмах

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет

им. »

Бийский технологический институт (филиал)

КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЗМАХ

Методические рекомендации по курсу «Теория механизмов и машин»

для студентов специальностей 120100 «Технология машиностроения»,

230100 «Сервис транспортных и технологических машин и оборудования»,

171500 «Высокоэнергетические устройства автоматических систем»

всех форм обучения

Бийск

2006

УДК 621.01

Глотов, в механизмах: методические рекомендации по курсу «Теория механизмов и машин» для студентов специальностей 120100 «Технология машиностроения», 230100 «Сервис транспортных и технологических машин и оборудования», 171500 «Высокоэнергетические устройства автоматических систем» всех форм обучения / .

Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск.

Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2006. – 18 с.

Методические рекомендации содержат сведения из теории механических колебаний; колебаний, вызванных различными факторами. Рассмотрены вопросы виброзащиты машин.

Рассмотрены и утверждены

на заседании кафедры

технической механики.

Протокол № 000 от 01.01.2001 г.

Рецензент: к. т.н., завкафедрой АРЛ,

ã БТИ АлтГТУ, 2006

1 ФРИКЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЗМАХ

1.1 Сведения из теории механических колебаний

Механическими колебаниями (сокращенно колебаниями) называют движение ме­ханической системы, при котором хотя бы одна из обобщенных ко­ординат или их производных поочередно возрастает и убывает во времени. Различают с в о б о д н ы е колебания, происходящие без переменного внешнего воздействия и поступления энергии извне,

и в ы н у ж д е н н ы е, вызванные и поддерживаемые переменной во времени внешней силой.

Колебания называются п е р и о д и ч е с к и м и, если состояние механической системы, определяемое значениями обобщенных ко­ординат и их производных, повторяется через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени, через который повто­ряется состояние механической системы, называется периодом колебаний. Число периодов в единицу времени называется часто­той; единица частоты – герц (1Гц=1/с). При свободных колеба­ниях частота зависит только от собственных свойств системы (но не от сил) и потому называется собственной частотой.

Простейшим видом периодических колебаний являются гармо­нические колебания, при которых обобщенная координата ме­ханической системы q прямо пропорциональна синусу от аргумен­та, линейно зависящего от времени:

(1)

где А – амплитуда;

λ – угловая частота;

λt + – фаза;

– начальная фаза.

Угловая частота гармонических колебаний связана с пе­риодом колебаний tK соотношением λ=2/tk или λ=2f, где f= 1/tк – частота в Гц. В дальнейшем везде под термином «часто­та» понимается угловая частота.

При исследовании колебаний в механизмах предпочитают в уравнении движения иметь коэффициент при старшей производной, равный единице. Тогда безразмерное линейное уравнение движения колебательного типа получает вид

(2)

где γ – коэффициент демпфирования (успокоения), выражающий действие диссипативных сил (сил сопротивления, зависящих от скоростей точек и вызывающих убывание её полной механической энергии);

λ – собственная частота механизма при отсутствии демпфирования (γ=0), k1 = k\T2;

х – входная величина.

При свободных колебаниях (х=0) характеристическое уравнение r2 + 2уr + λ2 =0 имеет пару сопряженных комплексных корней r1,2=-y±i – общее решение уравнения (2)

(3)

(4)

где λ= – собственная частота механизма с учетом демп­фирования;

C1 , С2 (или С, ) – постоянные, определяемые из на­чальных условий.

После дифференцирования по времени имеем:

(5)

или

.

(6)

При тех же начальных условиях постоянные С и имеют значения y=y0 .

При начальных условиях (t=0, y=y0) постоянные C и С, определяемые из формул (3) и (5), имеют значения:

	(7)
	(8)

Свободные колебания могут быть и при постоянной безразмерной силе х = хс. Тогда уравнение движения (2) приводят к однородному подстановкой

.

(9)

1.2 Колебания, вызываемые скачком силы трения

При торможении вращающегося или прямолинейно движущегося звена прижатием тормозной колодки, которая может иметь малые упругие перемещения, возникают колебания колодки относительно положения статического равновесия. В первом приближении воз­никновение этих колебаний можно объяснить скачком силы трения при переходе от покоя к движению.

Рисунок 1 – Схемы перемещений ползуна

Пусть, например, ползун массой т (рисунок 1а) лежит на шеро­ховатой поверхности, движущейся с постоянной скоростью v0; z – смещение ползуна от положения, при котором пружины не натяну­ты и не сжаты; с – коэффициент жесткости (суммарный – для двух пружин). Наличие силы трения приводит к тому, что поверхность при движении сначала увлекает за собой ползун, и как только упругая сила пружины Fпр=cz становится равной максимальной силе трения покоя Fтп, происходит срыв ползуна, а сила трения скачком падает до значения силы трения скольжения FT. Скачок силы трения F=FTn-FT вызывает упругие колебания ползуна, которые называют релаксационными, так как после срыва ползу­на сила упругости пружины некоторое время продолжает расти, а затем ослабевает (релаксирует).

До срыва ползун движется равномерно со скоростью z = v0. Пос­ле срыва его движение определяется уравнением:

,

(10)

при начальных условиях: t=0, z=zn, z=v0,
где zn =Fтп / c – сме­щение ползуна в момент срыва.

Введем безразмерное перемещение

y=z/zc,

где zc = Fт /c – статическое перемещение пружины под действием силы FT, когда уравнение (10) получает вид уравнения (2) при γ = 0, λ2 =с/т, х=1, K1 = λ2.

Подстановкой y = y1 + l приводится к однородному уравнению, решение которого по уравнению (4) имеет вид

(11)

; .

(12)

Возвращаясь к переменной z, при начальных условиях y0 =Zn/zc и y0=v0 / zc получаем

(13)

где

; .

(14)

Отсюда скорость и ускорение ползуна

(15)

На рисунке 1б показаны графики изменения z, , в зависимо­сти от времени t, причем график z(t) дает также в другом масшта­бе график изменения упругой силы пружины. Штрихпунктирной линией показано значение z в положении статического равновесия. В отличие от обычных гармонических колебаний еще до истечения времени, равного периоду колебаний с собственной частотой, ско­рость ползуна, достигнув значения vQ, перестает возрастать, не­смотря на то, что ускорение ползуна в этот момент времени оста­ется положительным. Скорость ползуна не может превысить ско­рость движущейся поверхности v0, так как при z>v0 изменяется знак относительной скорости z-v0 и, следовательно, изменяется на­правление силы трения, которая из силы движущей для ползуна превращается в силу сопротивления. В этот момент времени движу­щаяся со скоростью v0 плоскость подхватывает ползун, их относи­тельное движение прекращается, и сила трения вновь становится силой трения покоя до следующего срыва ползуна.

1.3 Прерывистое движение ползуна в направляющих

Динамическая модель (см. рисунок 1а) путем обращения движения приводится к моде­ли, соответствующей медленным движениям ползуна в направля­ющих металлорежущих станков и некоторых приборов (рисунок 1в). Предполагается, что на ползун действует только сила трения в на­правляющих и сила упругости пружины Fпр, которая имитирует влияние упругости звеньев. Правый конец пружины движется с по­стоянной скоростью v , а ее левый конец получает перемещение z1, отсчитываемое от положения, соответствующего началу движения ползуна массы т. Коэффициент жесткости пружины – с.

Как и в предыдущем примере, считается, что сила трения покоя Fтп больше силы трения скольжения Fт. Начало движения ползу­на (срыв) произойдет, когда сила упругости пружины станет рав­ной FTn.

В момент времени t сила упругости пружины, которая является движущей, имеет значение Fnр=Fтп - c(z1 - vot), а сила трения FT является силой сопротивления. Поэтому дифференциальное уравне­ние движения ползуна имеет вид:

(16)

Из условий обращения движения видно, что перемещение ползуна z (см. рисунок 1в) равно относительному перемещению ползуна по плоскости (см. рисунок 1а):

(17)

Уравнение движения (12) после замены переменной z1 на z по условию (13) совпадает с уравнением (10). Поэтому решение уравнения (12) находим из решения (11) после подстановки (13):

где	(18)
; .	(19)

После дифференцирования по времени имеем:

.

(20)

Графики z1 ,1 и 1 показаны на рисунке 1б пунктирными линия­ми. Сравнивая движение ползуна в двух рассмотренных случаях, видим, что участку совместного движения ползуна (колодки тормоза) и плоскости с посто­янной скоростью v0 соот­ветствует выстой ползуна в направляющих, момен­ту срыва колодки – мо­мент начала движения ползуна после выстоя и так далее.

1.4 Колебания при силах трения, зависящих от скорости скольжения

В предыдущих примерах предполагалось, что сила трения не зависит от скорости скольжения. Теперь покажем, что учет зависимости силы трения от скорости скольжения позво­ляет выявить такие режимы движения, которые не обнаружива­ются при постоянной силе трения.

Рассмотрим, например, возможные режимы колебаний ползуна, прижатого к поверхности, движущейся с постоянной скоростью (см. рисунок 1а), при условии, что зависимость силы трения FT от скоро­сти скольжения vc=v0 - z представлена экспериментальной кривой (рисунок 2а), на которой можно отметить значение скорости сколь­жения vm, соответствующее минимуму силы трения. Если сила тре­ния уменьшается с увеличением скорости скольжения, то характе­ристику силы трения на этом участке будем называть падаю­щей, если увеличивается, то возрастающей. Для выявления особенностей режимов движения ползуна достаточно заменить ре­альную характеристику силы трения ее приближенным выражени­ем, получаемым при линеаризации участков с возрастающей и убы­вающей силой трения (рисунок 2б).

Рисунок 2 – График зависимости силы трения от скорости скольжения

Обозначим через FTm значение силы Fт при скорости скольже­ния vm, определяющей границу между падающей и возрастающей характеристиками. Тогда для возрастающей характеристики:

FT = FTm + kB (v0 - - vm),

(21)

где kB – положительный коэффициент, опре­деляющий наклон возрастающей характеристики.

Соответственно для падающей характеристики

Fт = Fтм+ ku (vm -v0 +),

(22)

где ku – положительный коэффициент, определяющий наклон падающей ха­рактеристики.

Предположим, что вследствие случайного толчка ползун выве­ден из положения статического равновесия, определяемого координатой zc = FT0/c, где FT0 – значение силы трения при скорости скольжения, равной v0, т. е. при z=0. Тогда ползун будет совер­шать колебания, характер которых зависит от соотношения между скоростями v0 и vm. При vo>vm начало движения ползуна соответ­ствует силе трения для возрастающей характеристики, и уравнение движения ползуна имеет вид

(23)

При vo<vm, т. е. для падающей характеристики, имеем

(24)

Уравнения (23) и (24) отличаются знаком члена, содер­жащего z. Если эти уравнения считать уравнениями возмущенного движения, то по знакам коэффициентов их характеристических уравнений можно судить об устойчивости движения. При возраста­ющей характеристике силы трения все коэффициенты характери­стического уравнения положительны. Этого признака достаточно для установления асимптотической устойчивости сис­тем, движение которых описывается уравнениями не выше второго порядка. При падающей характеристике возможно получение не­устойчивых режимов, так как в характеристическом уравнении име­ется отрицательный коэффициент. Такое же заключение можно сде­лать, решая уравнения (23) и (24). Для этого введем безраз­мерное перемещение y = z/zc. Тогда уравнение (23) принимает вид:

,

(25)

где Т22=m/с;

T1=Kв/c.

При T1>2T2 уравнение (25) относится к апериодическому типу, а при T1<2T2 – к колебательному. Для обычных характери­стик сил трения коэффициент Kв имеет небольшую величину и T1<2Т2, т. е. уравнение (25) принадлежит к колебательному ти­пу и может быть представлено в форме уравнения (2), где 2γ= = Kв /m λ.2 = c/m; k1 =λ2 ; x=l. После подстановки y = y1 + l оно приводится к однородному, решение которого по уравнению (4) с учетом указанной подстановки имеет вид:

,

(26)

где

(27)

(28)

Возвращаясь к переменной z при начальных условиях y0=zo/zc;0=0, получаем

;	(29)
	(30)

Из формулы (29) видно, что ползун совершает затухающие колебания, так как показатель степени при числе е имеет знак ми­нус, и потому коэффициент при sin (λ*t+Q) с увеличением време­ни t стремится к нулю. Скорость ползуна получаем дифференци­рованием уравнения (29) по времени:

,

(31)

где Сz и берутся из формулы (30).

Исключая время t из формул (29) и (31), получаем зависимость (z), графическое изображение которой на фазовой плоскости, т. е. в координатах и z, представляется спиралью, стремящейся к точ­ке статического равновесия (zС, 0) (рисунок 3а). Указанная спираль называется фазовой траекторией системы, а точка (zс, 0) есть особая точка этой траектории, называемая устойчивым фокусом. Пунктиром показана замкнутая фазовая траектория для незатухающих колебаний при γ=0 и начальных условиях: z=z0; =0.

Рисунок 3 – Фазовая траектория системы

Другой характер движения получится при падающей характе­ристике силы трения. В решении уравнения (24) показатель сте­пени при числе е имеет знак плюс, и потому коэффициент при sin (λ* t+ Q) с увеличением времени стремится к бесконечности, т. е. амплитуды колебаний возрастают по показательному закону. Гра­фическое изображение зависимости (z) на фазовой плоскости представляется спиралью (рисунок 3б), которая проходит через точ­ку (z0, 0) и может рассматриваться выходящей из точки (zc, 0) статического равновесия при t . Точка (zc, 0) в этом случае на­зывается неустойчивым фокусом.

Следовательно, как и было показано ранее из условий устойчи­вости движения, при падающей характеристике силы трения систе­ма неустойчива, и после любого сколь угодно малого возмущения происходит самовозбуждение колебаний с возрастающими амплитудами. Однако это возрастание не будет происходить неограничен­но, так как одновременно увеличивается скорость , и при =v0 скорость скольжения становится равной нулю (перемена знака си­лы трения). При обратном ходе ползуна возможен также переход на участок возрастающей характеристики силы трения.

1.5 Автоколебания

Автоколебаниями называют колебания, поддер­живаемые поступлением энергии от

неколебательного источника, которое регулируется движением самой системы. Под регулирова­нием поступления энергии понимается, что силы, подводимые к си­стеме от источника энергии, меняются во времени в зависимости от самого движения системы и при отсутствии движения равны нулю. Примером автоколебаний могут служить незатухающие колебания маятника часов, которые поддерживаются поступлением энергии от движения гири или пружины.

Рассмотренные фрикционные колебания также являются авто­колебаниями, так как они поддерживаются поступлением энергии от неколебательного источника – плоскости, движущейся с по­стоянной скоростью v0. Энергия, доставляемая этим источником в систему, равна работе сил трения. Регулирование поступления энергии в зависимости от движения системы выражается измене­нием силы трения, которая при отсутствии движения равна нулю, а во время движения или изменяется от Fтп до Fт (скачок силы трения), или же изменяется в зависимости от относительной ско­рости - v0.

Фазовая траектория (z) при автоколебаниях, вызываемых скачком силы трения, имеет вид замкнутой кривой, повторяющейся во времени (рисунок 4). При силах трения, зависящих от скорости, фазовую траекторию в виде замкнутой кривой можно рассматри­вать как граничный или предельный случай по отношению к режи­мам с затухающими или возрастающими амплитудами.

Рисунок 4 – Фазовая траектория при автоколебаниях

2 ВИБРОЗАЩИТА МАШИН

2.1 Виброзащитные системы

Колебания в машинах могут быть полезными, когда само действие машины основано на эффекте ко­лебаний (вибрационные транспортеры, сита, виброударные маши­ны для забивки свай и т. п.), но чаще они являются нежелатель­ными, так как снижают надежность машин, вызывают шум и ока­зывают вредное влияние на организм человека.

Характеристики колебательных систем (амплитуды, частоты, силы) можно уменьшить до допускаемых пределов выбором пара­метров соответствующей динамической модели. Например, дина­мические нагрузки в кулачковых механизмах могут быть уменьше­ны за счет выбора профиля кулачка. Снизить уровень колебаний иногда удается применением демпферов – устройств для увеличе­ния сил сопротивления, зависящих от скорости. Удачно применя­ются демпферы в системах, подверженных ударным воздействиям. Но нельзя утверждать, что во всех случаях демпфирование приво­дит к уменьшению колебаний. В тех случаях, когда выбором пара­метров системы или демпфированием не удается снизить уровень колебаний, применяют дополнительные устройства для защиты от вибраций – виброзащитные системы.

Различают два основных способа виброзащиты: виброга­шение и виброизоляцию. Виброгашение основано на присоединении к машине дополнительных колебательных систем, называемых динамическими виброгасителями, которые создают ди­намические воздействия, уменьшающие интенсивность колебаний.

Виброизоляция основана на разделении исходной системы на две части и соединении этих частей посредством виброизоляторов. Одна из этих частей называется защищаемым объектом, а другая – источником возбуждения.

На рисунке 5а показана динамическая модель машины, установ­ленной на фундаменте. Машина с общей массой т является источ­ником возбуждения, а фундамент – защищаемым объектом. Вибро­изолятор, помещенный между защищаемым объектом и источни­ком возбуждения, имеет приведенный коэффициент жесткости с и приведенный коэффициент демпфирования β.

Рисунок 5 – Динамическая модель машины на фундаменте

Приведенный коэффициент жесткости определяется из условия равенства потенциаль­ной энергии виброизолятора и эквивалентной пружины. Приведенный коэффициент демпфирования определяется из усло­вия равенства работ, затрачиваемых на трение в виброизоляторе и в эквивалентном демпфере.

Уравнение движения массы т имеет вид

,

(32)

где у – перемещение, отсчитываемое от положения статического равновесия;

F (t) – внешняя сила, выражаемая известной функ­цией времени;

Q (у, у) – обобщенная (приведенная) реакция виброизолятора, которая в общем случае зависит от перемещения у и скорости у.

Назначение виброизолятора в этом случае состоит в уменьше­нии динамической (переменной) составляющей реакции Q, пере­даваемой на фундамент при заданном воздействии силы F.

На рисунке 5б показан другой случай, при котором динамические воздействия приложены к некоторому основанию (например, к стойке механизма) в виде его колебаний по закону z (t).

Уравнение движения массы т при колебаниях основания (источ­ника возбуждения) имеет вид

,

(33)

где z – перемещение основания.

2.2 Динамический виброгаситель

Простейший виброгаситель, пред­назначенный для гашения колебаний массы mi, вызываемых гар­монической силой F = Fosinωt, состоит из дополнительной мас­сы т2, соединенной с основной массой mi упругим элементом с коэффициентом жесткости с2 (рисунок 6). Коэффициент жесткости упругого элемента, расположенного между основанием и массой m1, равен c1. Перемещения масс y1 и у2 отсчитываются от положения статического равновесия.

Рисунок 6 – Простейший виброгаситель

Уравнения движения указанной двухмассной динамической мо­дели имеют такой вид:

;	(34)
.	(35)

Установившиеся вынужденные колебания с частотой вынуж­дающей силы описываются решением

.

(36)

Подставляя это решение в систему уравнений движения, получаем два уравнения с двумя неизвестными амплитудами A1 и A2:

.

(37)

Отсюда

(38)

.

(39)

где Δ – определитель, составленный из коэффициентов A1 и A2 в системе уравнений

.

При величине Δ= 0 амплитуды А1 и А2 стремятся к бесконечности (резо­нанс), что соответствует совпадению частоты вынуждающей силы с одной из собственных частот системы, которые находятся из ча­стотного уравнения

.

(40)

Если Δ≠0, то из уравнения (38) можно найти такую частоту ω, при которой А1 = 0. Такое состояние системы называют антирезонан­сом, а соответствующую частоту ω* антирезонансной. Внашем случае

(41)

т. е. антирезонансная частота равна собственной частоте дополни­тельного осциллятора, состоящего из груза с массой т2 и упругого элемента с коэффициентом жесткости с2.

Явление антирезонанса может быть использовано для виброга­шения. Для этого достаточно подобрать массу m2 и коэффициент жесткости с2 так, чтобы удовлетворялось равенство

.

(42)

Для гашения крутильных колебаний в двухмассной системе с приведенными моментами инерции J1 и J2 и приведенным коэффициентом жесткости с аналогично устанавливается дополнительный груз с моментом инерции J0 на валу с коэффициентом жесткости, равным с0 (рисунок 7). Значения J0 и с0 подбираются по условию

. (43)

Рисунок 7 – Схема гашения крутильных колебаний

Виброгашение по указанному принципу эффективно только для одной фиксированной частоты вращения. Уже небольшое отступление от частоты, определяемой соотношением (42), может привести не к уменьшению, а к увеличению амплитуды колебаний. Кроме того, без виброгасителя была одна резонансная частота, равная c1 /m1 , а с виброгасителем будет две резонансные часто­ты, получаемые из решения частотного уравнения (40), т. е. уве­личивается вероятность возникновения резонансного режима.

Чтобы расширить диапазон частот, в котором происходит гаше­ние колебаний, вводится дополнительное сопротивление. С этой же целью применяются виброударные гасители колебаний, в кото­рых дополнительная масса устанавливается с зазором, и эффект виброгашения достигается как за счет динамического взаимодей­ствия основной системы и виброгасящего элемента в результате их соударения, так и за счет диссипации энергии вследствие того, что эти соударения не совершенно упруги.

Наиболее совершенными являются регулируемые виброгасите­ли, в которых при изменениях частоты вынуждающей силы авто­матически изменяется собственная частота гасителя.

2.3 Линейный виброизолятор

Уравнение движения (32) приводится к линейному, если принять, что приведенная реакция вибро­изолятора Q складывается из приведенной силы упругости, линей­но зависящей от перемещения, и приведенной силы трения, линей­но зависящей от скорости

(44)

Вводя обозначения λ2 = с/т и 2γ=β/т, приводим уравнение (32) к следующему виду

.

(45)

Уравнение (33) также приводится к этому виду, если принять

.

(46)

Пусть, например, внешняя сила F(t) изменяется по гармоническому закону

.

(47)

Тогда уравнение (44) имеет вид

.

(48)

Решение этого уравнения для установившихся вынужденных колебаний, то есть после затухания свободных и сопровождающих колебаний, получаем в виде

,

(49)

где Ө – сдвиг фаз силы и перемещения, определяемый выражением

.

(50)

Дифференцирование выражения (49) дает

.

(51)

Подставляя значение y и в уравнение (44), получаем силу, передаваемую виброизолятором

(52)

или

(53)

где Кдин – коэффициент динамичности, равный отношению амплитуды вынужденных колебаний по формуле (49) к максимальному перемещению, вызываемому статическим действием силы

.

(54)

Выражение (53) может быть преобразовано к виду

(55)

где .

Следовательно, максимальное значение силы Q равно

Qmax = KдинH .

(56)

Отношение наибольшей силы, передаваемой виброизолятором, к амплитуде вынуждающей силы называется коэффициентом передачи силы К. В нашем примере

(57)

Заметим, что коэффициент передачи силы совпадает с коэффициентом динамичности только при γ=0, то есть при отсутствии демпфирования.

Коэффициент передачи сил характеризует качество виброзащитной системы. При жестком соединении защищаемого объекта и источника возбуждения К=1; при К<1. Виброзащитная система эффективна, так как амплитуда силы, передаваемой виброизолятором, уменьшается; при К>1 применение виброизолятора нецелесообразно. На рисунке 8 изображен график зависимости коэффициента передачи силы от отношения частот ω/λ при различных значениях 2γ/λ. Все кривые К(ω/λ) независимо от величины 2γ/λ, характеризующей демпфирование системы, пересекаются в точке с координатами (,1 ).

Рисунок 8 – График зависимости коэффициента передачи силы от отношения частот ω/λ

Следовательно, для того чтобы максимальное значение силы Q, передаваемой виброизолятором, было меньше амплитуды вынуждающей силы, должно быть выполнено условие

>.

(58)

Обычно принимают ω/λ=4. Если сила F(t) представлена суммой гармонических компонентов

F(t)=∑Fkcos(ωkt+ θk),

(59)

то под частотой ω в формуле (58) надо понимать наименьшую из частот силы ωк . Вибрационное воздействие силы F(t) в этом случае называется полигармоническим.

Из (53) следует, что для улучшения свойств линейного виброизолятора надо уменьшать собственную частоту системы λ, а следовательно, и коэффициент жесткости с. Подставляя в соотношение ω/λ4 величину λ2 = с/m, получаем условие для определения коэффициента жесткости

с.

(60)

По этому условию подбирают параметры виброизолятора, влияющие на его жесткость. Увеличение демпфирования при ω/λ>ухудшает виброзащитные свойства виброизолятора (см. рисунок 8). Поэтому считается достаточным слабое демпфирование, обеспечивающее затухание свободных и сопровождающих колебаний. Амплитуда вынужденных колебаний виброизолятора при слабом демпфировании

При условии λ<ω

А =.

(61)

При условии <

А =.

(62)

Рассмотрим теперь случай, когда основание совершает колебания по закону

Z =A1sinωt.

(63)

Если приведенную реакцию виброизолятора определять по формуле (44), то уравнение движения (33) принимает вид

m(y+z)= - cy-βy,

(64)

где y – перемещение защищаемого объекта относительно основания.

С учетом формулы (63) получаем

+2γ+λ2 y=A1 sinωt,

(65)

где 2γ=β/m ,

λ2=c/m.

Уравнение (65) совпадает с уравнением (48) при условии, что H=mA .

Используя решение (49) и принимая во внимание, что абсолютное перемещение защищаемого объекта ya есть сумма перемещения основания z и относительного перемещения y, получаем

y= t.

(66)

При слабом демпфировании λ<ω имеем

y =А t.

(67)

Отсюда следует, что амплитуда колебаний защищаемого объекта относительно неподвижной системы координат может быть как угодно малой в случае, если его собственная частота λ мала по сравнению с частотой колебаний основания.

2.4 Особенности нелинейного виброизолятора

Возникновение нелинейностей в системах виброизоляции связано в первую очередь с повышением уровня колебаний и увеличением размеров виброизоляторов в современных машинах. Известно, что любой реальный виброизолятор может иметь линейную упругую характеристику только на некотором участке изменения деформации. С увеличением силы, действующей на виброизолятор, увеличивается его ход, максимальное перемещение и рабочий участок упругой характеристики выходит за пределы линейного участка. При больших силах, действующих на виброизолятор, и необходимости ограничения его хода умышленно приходится выполнять характеристику нелинейной.

При больших нагрузках на виброизолятор нелинейной становится и характеристика демпфера, выражающая зависимость силы сопротивления от скорости перемещения виброизолятора. Эта нелинейность проявляется особенно ярко при увеличении демпфирования, которое становится необходимым в тех случаях, когда не удается избежать резонанса.

3 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Виды колебаний в механизмах (свободные и вынужденные, периодические) и их характеристика.

2. Что представляют собою автоколебания?

3. Виброзащита и основные ее способы.

4. Что такое динамический виброгаситель?

5. Что представляет собою линейный виброизолятор?

6. Особенности нелинейного виброизолятора.

Литература

1. Бутенин, колебаний / – М.: Высшая школа, 1983. – 264 с.

2. Теория механизмов и машин / под ред. . – М.: Высшая школа, 1987. – 496 с.

3. Бабанов, колебаний / – М.: Наука, 1965. – 559 с.

4. Ден-Гарнтог, Дм. П. Механические колебания / Дм. П. Ден-Гарнтог. – М.: Госиздат физмат лит-ра, 1980. – 580 с.

5. Cветлицкий, и примеры по теории колебаний: учебное пособие /

. – М.: Изд-во МГТУ им. , 1994. – Ч. I. – 308 с.

6. Cветлицкий, и примеры по теории колебаний: учебное пособие /

. – М.: Изд-во МГТУ им. , 1998. – Ч. II. – 264 с.

СОДЕРЖАНИЕ

1 ФРИКЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЗМАХ ……………………………………...3

1.1 Сведения из теории механических колебаний ……………………………………….3

1.2 Колебания, вызываемые скачком силы трения ………………………………………4

1.3 Прерывистое движение ползуна в направляющих ………………………………......5

1.4 Колебания при силах трения, зависящих от скорости скольжения ………………...6

1.5 Автоколебания ………………………………………………………………………….8

2 ВИБРОЗАЩИТА МАШИН …………………………………………………………………..9

2.1 Виброзащитные системы ………………………………………………………………9

2.2 Динамический виброгаситель ……………………………………………………......10

2.3 Линейный виброизолятор …………………………………………………………….12

2.4 Особенности нелинейного виброизолятора.………………………………………...14

3 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ……………………………………………………………….15

Литература..………………………………………………………………………………..........16

КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЗМАХ

Методические рекомендации по курсу «Теория механизмов и машин» для студентов

специальностей 120100 «Технология машиностроения», 230100 «Сервис транспортных и технологических машин и оборудования», 171500 «Высокоэнергетические устройства автоматических систем» всех форм обучения

Редактор

Технический редактор

Корректор

Подписано в печать 17.01.2006. Формат 61´86 1/8

Усл. п. л. – 2,09. Уч. изд. л. – 2,25.

Печать – ризография, множительно-копировальный

аппарат «RISO TR-1510»

Тираж 50 экз. Заказ 2006-06.

Издательство Алтайского государственного

технического университета,

г. Барна.

Оригинал-макет подготовлен ВЦ БТИ АлтГТУ.

Отпечатано в ВЦ БТИ АлтГТУ.

9