Устойчивость и колебания подкрепленных и артифицированных оболочек вращения

На правах рукописи

ЮДИН Сергей Анатольевич

Устойчивость и колебания

подкрепленных и артифицированных оболочек вращения

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону – 2007

Работа выполнена в НИИ механики и прикладной математики им. Воровича И. И. ФГОУ ВПО «Южный федеральный университет»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

кандидат физико-математических наук,

доцент

Ведущая организация: Саратовский государственный университет

Защита состоится 28 июня 2007г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ г. Ростов-на-Дону, .

Автореферат разослан 25 мая 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Тонкостенные оболочечные конструкции имеют широкое применение в современной технике. Целесообразность применения оболочек во многом связана с возможностью эффективного решения проблемы минимизации массы. Наиболее полно этим требованиям отвечают конструктивно-анизотропные (КА) оболочки – подкрепленные ребрами жесткости, слоистые, композиционные.

Для анализа КА-оболочек развиваются как уточненные по сравнению с классической теорией Кирхгофа-Лява модели, так и упрощенные, направленные на получение аналитических решений в частных случаях геометрии оболочек. Такие возможности имеются для цилиндрических конструктивно-ортотропных (КО) оболочек. Погрешность, вносимая дополнительными гипотезами упрощенных моделей, обычно неизвестна. Поэтому актуальны оценки применимости упрощенных решений, а также построение эффективных решений задач о вынужденных колебаниях КО-оболочек, позволяющих оперативно анализировать амплитудно-частотные характеристики в задачах вибродемпфирования.

Одной из важных сфер применения оболочек являются устройства для обеспечения безопасности емкостей и оборудования, нагруженных давлением жидкостей или газообразных сред. Присоединяемые к основной конструкции оболочки специального типа используются в качестве разрушаемых элементов, сбрасывающих давление при заданном уровне в случае аварийного его возрастания. К элементам таких устройств относятся хлопающие предохранительные мембраны (ХПМ), разрушаемые на основе эффекта потери устойчивости.

Целями работы ставились: анализ упрощенной математической модели, использующей дополнительные кинематические гипотезы, в задачах устойчивости и собственных колебаний цилиндрических конструктивно-ортотропных оболочек; реализация эффективного аналитического решения вынужденных колебаний оболочек с локальными виброгасителями на основе общей теории оболочек; решение нелинейных задач пластического формоизменения оболочек вращения применительно к задачам изготовления артифицированных ХПМ; исследование устойчивости артифицированных ХПМ; сравнение теоретических и экспериментальных результатов.

Научная новизна работы заключается в следующих основных результатах, полученных автором:

1. Оценены погрешности упрощенной теории конструктивно-анизотропных цилиндрических оболочек в задачах устойчивости и собственных колебаний.

2. Реализованы эффективные аналитические решения задач вынужденных колебаний цилиндрической конструктивно-ортотропной оболочки и алгоритмы построения амплитудно-частотных характеристик, учитывающие рассеяние энергии и демпфирование колебаний виброизолированными массами.

3. Разработана математическая модель больших деформаций физически-нелинейных оболочек вращения, учитывающая большие перемещения и углы поворота и обжатие нормали. На её основе получены аналитические решения и условия пластической формовки сферического купола из пластины.

4. Построено аналитическое решение задачи пластической формовки куполообразной оболочки в классе эллипсоидов вращения. Определена степень влияния артификации на геометрию оболочки. Получено согласование теории и эксперимента.

5. Выполнено исследование устойчивости артифицированных хлопающих предохранительных мембран, дан анализ результатов теории и эксперимента.

Практическая значимость работы состоит в возможности использования разработанных моделей, методов и реализованных комплексов программ в анализе виброактивности и эффективности демпфирования широко применяемых подкрепленных цилиндрических оболочек; в возможности приложения моделей и найденных решений пластической формовки артифицированных оболочек для создания предохранительных мембранных устройств высокой точности срабатывания.

Достоверность результатов обеспечивается: сравнением вариантов общей и упрощенной теорий конструктивно-ортотропных оболочек, согласующихся в областях их применимости; совпадением резонансных частот вынужденных колебаний с результатами решений задач на собственные колебания; применением методов нелинейной теории деформаций и пластичности к решению задач имитационного моделирования технологии изготовления артифицированных хлопающих мембран; согласованием теоретических и экспериментальных результатов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на VII-X Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2001–2006г. г.), III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (г. Ростов–на–Дону – Азов, 2004г.), 11-й Международной конференции «Математические модели физических процессов» (г. Таганрог, 2005г.), на Международной научно-технической конференции «Математические модели для имитации физических процессов» (ММА-2006, г. Таганрог), на семинарах отдела тонкостенных конструкций НИИ механики и прикладной математики и кафедры теории упругости Южного федерального университета.

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 14 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы 136 страниц, включая список литературы из 158 наименований, 48 рисунков, 9 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации. Характеризуется широта применения оболочек в технике, вклад ведущих ученых-механиков в развитие теории оболочек, многообразие моделей оболочек со сложными конструктивными свойствами. Дается обзор ключевых публикаций, связанных с тематикой диссертации, характеризуется структура работы. Отмечается, что линейная теория оболочек, сформированная в своей основе А. Лявом и Г. Киргофом, получила развитие в трудах , , и ряда других ученых. Основы геометрически-нелинейной теории и методов решения нелинейных задач заложены в трудах И. Г Бубнова и . Значительный вклад в этой области внесли Валишвили Н. В., , В. В Новожилов, Л. Донелл, , Э. Рейсснер и другие. Существенный вклад в развитие теории и методов расчета прочности, устойчивости и динамики слоистых и подкрепленных оболочек и пластин внесли , , , , М. Барух, И. Зингер, М. Стейн и другие. Активное применение и эффективное развитие численно-аналитических методов, алгоритмов и программного обеспечения выполнялись в работах , , в работах украинской школы , в Институте механики и прикладной математики им. Воровича  федерального университета.

В главе (разделе) 1 представлены уравнения для исследования колебаний и устойчивости конструктивно-анизотропных оболочек. Уравнения записаны в ортогональных криволинейных координатах. Рассматриваются тонкие оболочки на основе гипотез Кирхгофа-Лява. В качестве исходных взяты уравнения квадратичного приближения. Уравнения для гармонических колебаний и устойчивости конструктивно-анизотропных оболочек вращения в окрестности осесимметричного статического напряженно-деформированного состояния следуют из квадратичной теории на основе разбиения состояния на две составляющие и соответствующей линеаризации. Выполнено отделение окружной координаты посредством рядов, осуществлен переход к безразмерным величинам. Сформирована разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений и краевые условия. Представлены геометрически-нелинейные уравнения осесимметричной деформации.

Глава 2 посвящена исследованиям устойчивости, собственных и вынужденных колебаний интегрально подкрепленных цилиндрических оболочек. В этом случае при построении уравнений колебаний и устойчивости оболочек применяется схема конструктивной ортотропии.

Подкрепленным оболочкам присущи эффекты, связанные с влиянием величины и знака эксцентриситетов подкрепляющих ребер. Этот эффект был обнаружен Ван-дер-Нейтом и подтвержден в ряде теоретических и экспериментальных работ.

Задачи устойчивости для подкрепленных цилиндрических оболочек рассмотрены в подразделе 2.1 диссертации в аспектах анализа применимости одного из вариантов упрощенной теории. Он широко применялся в работах и др. [*Устойчивость оболочек / , , и др. – Харьков: Изд–во Харьковского ун–та, 19с.]. В этом подходе для цилиндрических оболочек, теряющих устойчивость по неосесимметричным формам, наряду с предположениями общей теории оболочек (гипотез Кирхгофа) приняты две дополнительные гипотезы: а) нерастяжимость нейтральных слоев при изгибе конструкции в окружном направлении; б) отсутствие сдвигов в срединной поверхности обшивки. Применяемые дополнительные гипотезы позволяют понижать вдвое порядок разрешающих уравнений и получать компактные формулы для критических нагрузок.

Сравнение выполнено для регулярно подкрепленных тонкостенных круговых цилиндрических оболочек c входными параметрами из работы [*] при безмоментном докритическом состоянии. Рассмотрено шарнирное опирание торцов (условия Навье), нагрузки осевого сжатия и внешнего бокового равномерного давления.

Условиям свободного опирания соответствуют следующие формы выпучивания: un=unkcos(mx), vn=vnksin(mx), wn=wnksin(mx), где m=kpR/L, k=1, 2, 3,...; R – радиус срединной поверхности обшивки оболочки, L – длина оболочки. При использовании общей теории задача приводится к системе однородных линейных алгебраических уравнений относительно x1=unk, x2=vnk, x3=wnk:

a11.x1 + a12.x2 + a13.x3=0, a21.x1 + (a22 + e*.p).x2 + (a23+ e*.n. p).x3=0,

a31.x1+ (a32 + e*.n. p).x2 + [a33 + e*.(n2.p+m2.T)].x1= 0, (1)

где:

a11 = -(B11m2+B33n2), a12 = mn[B12+B33+e*(A12+A33)],

a13 = {B12+e*[A11m2+n2(A12+2A33)]}, aij=aji,

a22 = - m2[B33+e*(2A33+D33)]-n2[B22+e*(2A22+D22)],

a23 = - n[B22+e*(m2A12+n2A22)]-e*n{2m2(A33+e*D33)+[A22+e*(m2D12+n2D22)]},

a33 = - B22-2e*(A12m2+A22n2)-2(e*mn)2(2D33+D12)-

-e*2(D11m4+D22n4); i, j = 1, 2,

Система симметрична и имеет нетривиальное решение при обращении в нуль ее определителя. Это дает характеристические уравнения относительно параметров нагрузки. При T=0 из него следует решение для критических значений внешнего бокового давления. При раскрытии определителя квадратичные члены относительно p приводятся к нулю в силу симметрии матрицы системы. В результате для критического давления получается формула: po = C/Kp, где C = -a11a22a33+a122a33+a11a232++a132a22-2a12a13a23, Kp = [a11a33-a132+2n(a12a13-a11a23)+n2(a11a22-a122)]. Для критических нагрузок осевого сжатия формула имеет вид: To=C/KT, где: KT = e*m2(a122-a11a22). Величины po и To минимизируются по m и n.

Выяснено, что погрешность приближенных формул зависит от типа нагрузки. Для внешнего бокового давления она составляет около 3%. Для нагрузки осевого сжатия формулы приближенной теории имеют сравнительно большую погрешность (10..20%).

В подразделе 2.2. выполнены сравнения результатов расчетов собственных (свободных) колебаний по общей и упрощенной моделям. Поиск частот свободных колебаний сводится к задачам на собственные значения. В общей теории задача сводится к поиску корней бикубического уравнения при учете нормальных и тангенциальных сил инерции (kt=1):

, (3)

где aij определены формулами (2); W=wR/c, c={E/[r(1-n2)]}1/2. При kt=0, что имеет место в упрощенном подходе [*], уравнение линейно относительно квадрата частотного параметра.

Сравнение приближенной теории с общей по наименьшим собственным частотам дает расхождение около 12% без учета тангенциальной инерции и около 20% с их учетом в общей теории.

Разложением амплитуд перемещений по собственным формам колебаний строились решения задач о вынужденных колебаниях. Этот подход, реализованный подразделе 2.3, позволяет аналитически строить амплитудно-частотные характеристики.

В качестве вынуждающей колебания нагрузки рассмотрен вариант нагрузки, равномерно распределенной по локальной площадке, которая ограничена парами координатных линий. Решения для компонент перемещений представляются двойными рядами по продольной и окружной координатам, коэффициенты которых зависят от параметра частоты W=wR*/c*:

u(x, q, W)=u10(W)cos(mx)+ukn(W)cos(mx) cos(nq),

v(x, q, W)=vkn(W)sin(mx) sin(nq),

w(x, q, W)=w10(W)sin(mx)+wkn(W)sin(mx) cos(nq). (4)

Коэффициенты разложений являются решениями линейной алгебраической системы B(W)×u(W)=q, где:

u(W)=, q=, =+r1W2×, (5)

– единичная матрица, =||aij|| – квадратная матрица, элементы которой вычисляются через коэффициенты жесткостей оболочки и волновые параметры по формулам (2). Соответствующее решение системы записывается в аналитической форме:

ukn(W)º,

vkn(W)º,

wkn(W)º; (6)

uk0(W)º, wk0(W)º, (7)

k = 1,…,M, n = 1,…,N;

где:

, , ,

, , ,

, , ; (8)

Det(k, n,W) = b11(k, n,W)× b22(k, n,W)× b33(k, n,W)-b11(k, n,W)× b23(k, n)× b32(k, n) -

–b21(k, n)×bb12(k, n)× b33(k, n,W)+b21(k, n)×b13(k, n)×b32(k, n)+

+ b31(k, n)×b12(k, n)b23(k, n)–b31(k, n)×b13(k, n)×b22(k, n,W). (9)

Det(k, n,W) – определитель матрицы ; Det0(k, W)= Det (k,0,W).

Здесь компоненты матрицы рассматриваются как функции волновых чисел в соответствии с (1).

Реализация данного решения в программе позволяет эффективно строить амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) как функции частоты, а также легко идентифицировать соответствующие резонансные формы колебаний. Для оболочек длиной L=p на рис.1 показано влияние коэффициента потерь h на АЧХ входных податливостей – амплитуд нормального перемещения под силой. Сравнивая АЧХ для h=0.015, 0.03 и 0.05, можно видеть оседание пиков амплитуды с ростом внутренних потерь.

В подразделе 2.4 работы представлены также решения задач вынужденных колебаний в аспектах их демпфирования. Это направление актуально в ряде отраслей современной техники, в частности, в строительстве, транспортном и энергетическом машиностроении, приборостроении.

Рис.1

Выведены пять вариантов переходных функций для вибрационной силы, действующей через систему масс с упруговязкими связями. Сравнение рассмотренных вариантов виброзащиты наглядно демонстрируется с помощью характеристики эффективности Э=10·lg(wп/wн). Эффективность измеряется в относительных единицах – децибелах. Ординаты Э выше нуля определяют положительный эффект виброгашения, ниже – отрицательный. Сводный график эффективности представлен на рис.2.

Рис.2

Номера кривых соответствуют номерам вариантов: 1 – эффективность вибродемпфирования (ЭВД) жестко прикрепленной массы; 2 – ЭВД виброизолированной массы; 3 – ЭВД динамического гасителя колебаний; 4 – ЭВД двухкаскадной виброизоляции; 5 – ЭВД виброизолированной массы с ДГК.

Видно, что вариант 3 эффективен для подавления конкретных резонансных частот. В относительно широких диапазонах частот наиболее эффективны варианты 2, 4, 5. При этом вариант 5 предпочтителен для переходных режимов, поскольку не проявляет виброактивности на собственных (парциальных) резонансных частотах присоединенной системы.

Глава 3 работы посвящена вопросам нелинейного деформирования и пластической формовки оболочек. Строятся математические модели обеспечения эффективной формы оболочек вращения под воздействием осесимметричных нагрузок. По-существу решается задача имитационного моделирования технологии изготовления методом пластической формовки куполообразной оболочки, имеющей заданную критическую нагрузку потери устойчивости от внешнего гидростатического давления. В теоретическом и прикладном аспектах эти задачи актуальны, интересны и практически значимы для класса хлопающих предохранительных мембран (ХПМ).

В настоящее время для прогнозирования критических нагрузок применяются преимущественно экспериментальные методы неразрушающего контроля. Наиболее удобен здесь метод анализа кривых нагружения «давление-перемещение» для аппаратной экстраполяции критических нагрузок.

В Отделе тонкостенных конструкций (ОТК) НИИМ и ПМ разработаны способы получения мембран, удовлетворяющие жестким требованиям к точности и стабильности срабатывания. Они основаны на применении концепции и технологий артификации. Термин «артификация» (от artificial (англ.) - искусственный) в техническом смысле подразумевает изготовление и доводку хлопающих предохранительных мембран (ХПМ) с целью повышения точности давления срабатывания и его стабильности в процессе эксплуатации. С теоретической точки зрения с позиций чувствительности оболочек к начальным технологическим несовершенствам артификацию можно трактовать как искусственно вносимые «несовершенства», которые перекрывают влияние случайных и стабилизуют критическую нагрузку и форму потери устойчивости.

Применение для решения этой задачи численого алгоритма на основе метода пристрелки в сочетании с итерационным процессом оказалось затруднительным. В диссертации удалось построить аналитические решения задачи формовки артифицированных оболочек. Практическая значимость проведенных исследований состоит в применимости построенных решений к задачам, как этапа формовки, так и этапа определения критической нагрузки методами математического моделирования. Поскольку математические модели реализованы в безразмерном виде, это позволяет проводить параметрические исследования по выбору геометрических параметров мембран, материалов, давлений вытяжки, уровней артифицирующих нагрузок с последующим переносом результатов на натуру по критериям подобия.

В подразделе 3.1 работы представлены уравнения для моделирования больших осесимметричных деформаций изотропных оболочек вращения. Дано обобщение кинематики конечных деформаций с большими перемещениями и углами поворота Э. Рейсснера на случай больших относительных удлинений с учетом поперечного обжатия.

=(e1+z), =[Fo¢-(1+e3)F¢]/ao, e1=(w¢sinF+u¢cosF)/ao+cos(F-Fo)-1;

=(e2+z), e2=u/ro, =[sinFo-(1+e3)sinF]/ro; g=go/(1+e1)+ze3¢/[ao(1+e1)],

go=(w¢cosF-u¢sinF)/ao-sin(F-Fo). (10)

Здесь: Fo и F - углы наклона материальной нормали к оси вращения до и после деформирования; k1 и k2 характеристики изменения главных кривизн; δk=1+ek, k=1, 2, 3. Для пластинки в исходном состоянии угол наклона нормали к оси симметрии Fo=0. Угол поперечного сдвига g полагается малым и далее зануляется.

В выражении виртуальной работы внутренних сил для исключения явного присутствия поперечного обжатия применено условие несжимаемости, что дает:

, (11)

Здесь введены обобщенные усилия:

, . (12)

Уравнения равновесия в усилиях и моментах и краевые условия следуют из принципа виртуальных перемещений:

, ,

; (13)

, (14)

, ,

, . (15)

Здесь и имеют смысл внутренних усилий, ориентированных, соответственно, вертикально (вдоль оси симметрии) и горизонтально (по радиусу цилиндрической системы координат).

Для задания свойств материала привлекается степенная аппроксимация физической зависимости s() между интенсивностью напряжений s и интенсивностью истинных (логарифмических) деформаций . Константы аппроксимации определяются через координаты двух точек диаграммы: (sТ, eТ) и (sВ, eВ). При переходе к безразмерным величинам в разрешающих уравнениях диаграмма переводится на единичную плоскость. Основные нелинейные физические соотношения получены на основе определяющих уравнений Дэвиса-Надаи (ДН), связывающих напряжения и логарифмические относительные удлинения. Выполнено также построение определяющих соотношений на основе обобщения полулинейного материала. Уточненные варианты соотношений учитывают наведенную пластической деформацией неоднородность свойств материала по толщине оболочки.

В общем случае уравнения моделируют формоизменения оболочек вращения. Важный для приложений вариант деформации круглой пластины, представленный в подразделе 3.2, имеет вид (в безразмерной форме):

; ; ;

; ; ; (16)

где:

(17)

В самом простом случае определяющие соотношения типа ДН в безразмерной форме для вытяжки пластинки имеют вид:

, , (18)

, , (19)

где:

, , j=1, 2; ks=sВ/E*;

, , ,

, , . (20)

Здесь: - исходная толщина пластинки, - секущий модуль.

Уравнения применены для построения аналитического решения задачи формовки сферического купола в подразделе 3.3. Решение построено полуобратным методом и базируется на адекватной аппроксимации распределения толщины по меридиану. Вид этой зависимости установлен на основании анализа физических экспериментов по процессу формовки и проведения вычислительных экспериментов. В частности, на основе этого решения получена формула зависимости утонения вершины купола от высоты подъема , по которой можно оценить предельную высоту вытяжки. Формула имеет вид:

(21)

где: , . (22)

График зависимости (21) показан на рис.3. Предельная высота подъема, при которой толщина в апексе обращается в нуль, составляет 0.74. По-существу это чисто геометрическая оценка, основанная на сохранении объемов исходной пластинки и получаемого купола. Экспериментальный результат работы, в которой вытяжка доводилась до разрыва, соответствует величине 0.76.

Рис.3

Более общее аналитическое решение задачи формовки артифицированной хлопающей мембраны сфероидальной формы изложено в подразделе 3.4. В процедуре построения решений для сферического и эллипсоидального куполов активно используется условие несжимаемости (УН). Его применение для оболочки в целом позволяет получить распределение поперечной деформации e3. Применение УН к лагранжево-эквивалентным произвольным частям купола и исходной пластинки дает функциональное уравнение для радиальных перемещений. В его решении задействуется быстро сходящийся итерационный процесс, из которого определяется e2. Локальное применение УН дает e1, а также внутренние усилия и моменты. Таким образом, метрика формируемой оболочки оказывается параметрически определенной, зависящей от эксцентриситета меридиана эллипсоидальной оболочки.

При известных функциях деформаций можно проинтегрировать уравнения равновесия. Из первого, второго, четвертого и пятого уравнений (16) следуют величины:

, ; (23)

, . (24)

где:

; ,

, , . (25)

Перемещение обращается в нуль на краевом контуре (при x=1), а близко к нулю там же. Величины и являются константами интегрирования. При этом имеет смысл сосредоточенной в вершине силы, управляющей артификацией, а - погонная сила радиального направления на контуре, имеющая смысл реакции краевого закрепления.

Из третьего уравнения системы (16) определяется давление формовки купола заданной высоты . Это можно сделать двумя способами: дифференциальным и интегральным. Поскольку геометрия получаемой оболочки параметрически известна, то через ее кривизны и полученные выражения относительных удлинений можно определить моменты и их производные. Это первый подход, который дает:

, (26)

где:

. (27)

Вывод выражения (24) на константу управляется параметрами , , ex. Во втором способе третье уравнение интегрируется, что дает возможность ввести еще одну константу интегрирования, имеющую смысл изгибающего момента на контуре.

, (28)

где:

; ,

, ,

, , (29)

- третья константа интегрирования (краевой изгибающий момент).

Этот способ методически лучше и дает несколько более сглаженную функцию , близкую к константе. Однако расчет по формуле (28) требует больше времени, поскольку связан с двойным вычислением интегралов. Существенное ускорение счета здесь достигается использованием сплайн-аппроксимаций для интегралов (25), (29). В целом, оба способа приводят практически к одинаковым результатам.

Для этих решений в подразделе 3.5 выполнено сравнение теории и экспериментальных данных по пластической формовке артифицированных мембран. Изготовление и испытание мембран выполнено на установке, разработанной в ОТК НИИМ и ПМ ЮФУ. Установка позволяет выполнять как изготовление ХПМ, так и прогнозирование их давлений срабатывания неразрушающими методами, а также проводить разрушающие испытания.

Для сравнения брались два реальных варианта мембран, изготавливаемых для предохранительных мембранных устройств систем защиты реакторов на быстрых нейтронах. Материал мембран - нержавеющая сталь 12Х18Н9. Использовалась кривая нагружения для близкого материала 12Х18Н10Т, свойства которого определены продавливанием пластинки сквозь круглое отверстие: E=0.21×106МПа, n=0.3; s0,2=360МПа, e0,2=s0,2/E=0. sВ=720МПа, eВ=0.615. Константы степенной аппроксимации: h=0.1 С=762.445МПа.

В варианте 1 толщина заготовки (пластины) ho=h1=0.28..0.3мм. Радиус пластинки на контуре защемления кольцевыми фланцами – 100 мм. Номинальная высота подъема 35…36мм. Давление вытяжки (формовки) pф=1.59МПа (15.6ати). Уровень артифицирующей силы P0=6.87н (0.7кгс). Номинальное критическое значение оболочки pкр=0.255МПа (2.5ати). В варианте 2 толщина заготовки-пластины ho=h2=0.38..0.4мм. Радиус пластинки на контуре защемления кольцевыми фланцами – 100мм. Номинальная высота подъема 35…36мм. Давление вытяжки (формовки) pф=2.4МПа (23.5ати). Уровень артифицирующей силы P0=10.1н (1.03кгс). Номинальное критическое значение оболочки pкр=0.432МПа (4.4ати).

При задании в расчетах таких же уровней артифицирующих нагрузок, что и в экспериментах, давления формовки по формулам (26), (28) согласуется с экспериментальными с точностью 2..3%. При этом геометрия сегмента соответствует приплюснутому сфероиду с эксцентриситетом ex=0.12 и отношением полуосей ke =(1-ex2) = 0.993. Безразмерные значения, которые принимают константы интегрирования для оболочки варианта 2:  = 0.096, = 0.9, = 0.032.

Таким образом, при вытяжке оболочки из пластинки применяемое технологическое артифицирующее воздействие приводит к слегка сплюснутому сфероиду с полуосями, различающимися в пределах одного процента.

Представим далее еще некоторые результаты расчетов для оболочки типа 2. На рис.4 изображены графики 1 и 2 двух вариантов начального приближения, соответствующих параболам, с независимыми переменными типа радиальной координаты и угла наклона нормали к оси симметрии. Приближения применялись для решения функционального уравнения, из которого определяется радиальное перемещение . Кривая 3 отвечает первому приближению, кривая 4 – второму приближению, которое практически совпадает с точным решением. Процесс быстро сходится.

Рис.4

Рис.5 показывает распределения трех компонент относительных удлинений по радиусу как функций нормированной лагранжевой координаты x.

Рис.5

В зоне купола до x=0.8 тангенциальные деформации e1 и e2 мало различаются, т. е. деформированное состояние достаточно близко к однородному в центральной части. В краевой зоне удлинения e1 и e2 заметно расходятся. Наибольших значений удлинения достигают в вершине купола и составляют 12% для e1, e2 и –20% для e3 при заданной относительной высоте подъема = 0.35. Величина e3 характеризует утонение оболочки в процессе вытяжки. Очевидна существенная переменность толщины получаемой оболочки от исходного значения hp пластинчатой заготовки до 0.8×hp в вершине купола.

Анализ изгибающих моментов показывает наличие значительного краевого эффекта. На рис.6 показано распределение момента по радиальной координате x. В центральной части до x=0.6 состояние близко к безмоментному, но резко меняется краевой зоне. Краевой эффект можно объяснить не только моментной реакцией краевого пластического шарнира. Он связан также с переменностью свойств материала. Свойства меняются от упругого состояния непосредственно на защемленном контуре, где ei»0, до состояния с развитой интенсивностью деформаций. Наличие резко выраженного краевого эффекта является причиной численной неустойчивости задач Коши, к которым сводится краевая задача в алгоритме метода пристрелки.

Рис.6

Сравнение вариантов учета и неучета логарифмичности относительных удлинений в интенсивности деформаций показывает, что расхождение достигает 6% в зоне максимума (в вершине купола). Соответствующее распределение относительной погрешности, в том числе, для главных относительных удлинений, показано на рис.7.

Рис.7

В теоретическом решении геометрические параметры оболочки и формирующие силовые воздействия (уровень давления и артифицирующая сила) задаются сразу. При реальном физическом процессе формовки они изменяются во времени. Поскольку в теоретической модели используется степенная аппроксимация, то нагружение должно быть близким к простому (теорема ). Т. е. возрастание давления и сосредоточенной силы в вершине должно осуществляться пропорционально.

В реально используемой технологии сила прикладывается не сразу и постепенно, а ступенчато на завершающем участке вытяжки. Однако теория и эксперимент хорошо согласуются, хотя нагружение непропорциональное. Это можно объяснить тем, что главным формообразующим фактором является давление среды, а артифицирующая сила лишь корректирует форму. Эта коррекция не очень значима для задачи пластической вытяжки, которая контролируется по давлению и высоте подъема купола. Однако, как показывает анализ устойчивости, получаемые при этом несколько разные кривизны в зоне вершины купола оказываются существенными для критической нагрузки.

В главе 4 представлено решение задачи устойчивости хлопающих мембран. Форма мембраны должна обеспечивать заданную критическую нагрузку внешнего давления и начальную осесимметричную форму потери устойчивости. Теоретический смысл артификации состоит в том, чтобы уйти от бифуркационной формы потери устойчивости, на которую сильно влияют случайные несовершенства, к предельной нагрузке потери устойчивости по осесимметричной форме. Плавное приближение кривой нагружения к предельной точке позволяет наиболее простым способом прогнозировать критическую нагрузку по тангенсу угла наклона касательной.

Пробные расчеты в задаче устойчивости вначале выполнялись методом пристрелки для вариантов уравнений Э. Рейсснера и . Потом основным был принят метод ортогональной прогонки в сочетании с итерационным процессом, который оказался намного эффективней. В этом методе использовались уравнения . Соответствующая разрешающая система уравнений в безразмерной форме и итерационный процесс имеют вид:

(30)

=[] (31)

= =

=; (32)

=,

=

=, =,

=, =0.5e*,

=k1(x)-, = (33)

=[] (34)

= =0.5,

=0.5e*, (35)

Здесь: (30) - основные функции; (31) – разрешающая система с правыми частями, в которых выделены линейные и нелинейные слагаемые (33). Вектор нагрузки (32) соответствует внешнему равномерному давлению. Система для итерационного процесса записана в (34), где квазилинеаризация нелинейных членов выполняется в соответствии с (35). На нулевом этапе решается чисто линейная задача. В вершине оболочки применялся прием «вырезания особенности» с краевыми условиями свободного края на контуре малого отверстия порядка 10-2..10-3 от длины интервала интегрирования. На опорном контуре ставились условия жесткого защемления.

Несмотря на то, что математическое моделирование этапа формовки показало вполне приемлемое согласование с результатами экспериментов, использование полученной теоретически геометрии оболочки в задаче устойчивости вначале не дало хорошего согласования с номиналами заданных критических нагрузок. Как показали вычислительные эксперименты, характер приложения артифицирующей силы в реальности приводит к большему выполаживанию центральной зоны оболочки, чем в теоретической модели.

На рис.8 показана форма прогиба сфероидальной оболочки в докритическом состоянии нагружения. Здесь отсутствует явная тенденция к появлению вмятины в окрестности вершины, которая инициирует начало потери устойчивости в центре оболочки. Это связано с весьма медленным и плавным изменением кривизны меридиана эллипсоидальной оболочки от контура до вершины. Причем в зоне вершины главные кривизны сравниваются, как у сферической оболочки. Поэтому нет локализации наибольших прогибов в окрестности вершины.

Рис.8

Были выполнены численные эксперименты по подбору зоны коррекции формы и кривизны в этой зоне. Совпадение с экспериментом было получено уменьшением безразмерной кривизны с 0.62 до 0.5 в зоне 14% от длины интервала. В этом варианте имеется явная тенденция развития больших прогибов в центральной части оболочки, рис.9. Здесь показана также сходимость итерационного процесса при 92%-ном уровне нагрузки от критической. Кривая 0 соответствует линейной задаче, далее необходимо 5..6 итераций. При меньших нагрузках число итераций уменьшается.

Рис.10 показывает выход расчетной кривой нагружения () на номинал критической нагрузки реальной хлопающей мембраны варианта 2. Расхождение составляет не более 1.5%.

Сравнение теоретической кривой нагружения с экспериментальной, получаемой при аппаратном прогнозировании критической нагрузки, показало сходство вида кривых и величин максимального прогиба. Имеющаяся некоторая специфика экспериментальной кривой на начальном участке нагружения связана с просадкой мембраны на краевом «буртике» - узкой зоне контурного перегиба пластинки в купол.

Рис.9

Рис.10

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Дана оценка упрощенной теории конструктивно-ортотропных цилиндрических оболочек на основе сравнения с общей теорией Кирхгофа-Лява в задачах устойчивости и собственных колебаний.

2. На основе аналитического решения задачи вынужденных колебаний подкрепленной цилиндрической оболочки реализованы алгоритмы, эффективные для построения амплитудно-частотных характеристик с учетом рассеяния энергии и демпфирования колебаний виброизолированными массами. Дана сравнительная оценка эффективности вариантов виброгашения.

3. Развита математическая модель больших деформаций оболочек вращения, учитывающая большие перемещения, углы поворота, обжатие нормали и физическую нелинейность материала. На основе соотношений Дэвиса-Надаи и обобщенного полулинейного материала для тел построены определяющие физические соотношения для оболочек, в том числе, учитывающие наведенную пластической деформацией неоднородность свойств материала по толщине.

4. Построено аналитическое решение и определены условия пластического формоизменения пластинки в сферический купол. Решение обобщено в задаче пластической формовки сфероидальной оболочки. Определена степень влияния на геометрию оболочки технологического артифицирующего воздействия. Получено согласование теории и эксперимента.

5. Выполнено исследование устойчивости артифицированных хлопающих предохранительных мембран. На основе решения задачи пластической формовки в сочетании с локальной коррекцией формы центральной зоны оболочки получено согласование теории и эксперимента по критическим нагрузкам.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. , , Юдин устойчивости подкрепленных оболочек // Изв. Вузов. Сев.–Кавк. регион. Естественные науки. 2001. №4. С.71-77.

2. , , Юдин подкрепленных цилиндрических оболочек // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естественные науки. 2002. №1. С.45-49.

3. , Пономарев упрощенной и общей теорий в задачах устойчивости подкрепленных цилиндрических оболочек // Современ. пробл. мех. сплош. среды. Тр. VII Междунар. конф., посвящ. памяти акад. . Т.2. Ростов н/Д: Изд-во . 2002. С.185-190.

4. , Пономарев модели для подкрепленных оболочек вращения в задачах на собственные значения // Матем. моделир., выч. мех. и геофизика. Тр. I шк.-сем. - Ростов н/Д: Изд-во РГУ. 2002. С.173-175.

5. , , О спектре собственных частот колебаний подкрепленных цилиндрических оболочек // Современ. пробл. мех. сплош. среды. Тр. VIII Междунар. конф. Ростов-на-Дону: Изд-во "Новая книга", 2002. Т.2. С.212-216.

6. , , Пономарев колебания подкрепленной цилиндрической оболочки // Труды III–й Всеросс. конф. по теории упругости с Международн. участием.. Ростов–на–Дону: «Новая книга», 2004. С.433–436.

7. А, , Юдин вариантов вибродемпфирования оболочки // Труды III-й Всеросс. конф. по теории упругости с междунар. участием. Ростов-на-Дону: «Новая книга», 2004. С.429–432.

8. Юдин спектры вынужденных колебаний подкрепленных оболочек // Тр. аспирантов и соиск. Ростовского госун-та. Т.10. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского ун-та, 2004. С.51-53.

9. , , Музыка моделирование в задачах для оболочек средствами интегрированного пакета // Матем. модели физич. процессов. Сб. науч. трудов 11-й Междунар. конф. Т.1. Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2005. С.213-217.

10. Юдин формовки оболочки вращения при конечных деформациях // Соврем. пробл. мех. спл. среды. Тр. IX Междунар. конф. Т.2. Ростов–на–Дону: Изд-во , 2005. С.228–231.

11. , Юдин пластической формовки сферического купола из круглой пластинки // Матем. модели и алгор. для имитац. физич. процессов. М–лы Междунар. науч.–технич. конф. Т1. Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2006. С.212–215.

12. Юдин формоизменение оболочек вращения // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Т.12. Ростов-на-Дону: «ТерраПринт», 2006. С.38-40.

13. , Юдин пластической формовки артифицированной хлопающей мембраны // Соврем. пробл. мех. сплош. среды. Тр. Х м/нар. конф. Ростов-на-Дону: МП "Книга". 2006. Т.1. С.290-294.

14. , Юдин сфероидальных оболочек переменной толщины // Соврем. пробл. мех. сплош. среды. Тр. Х м/нар. конф. Т.1. Ростов–на–Дону: МП "Книга". 2006. С.295–299.

УПЛ ЮФУ. Зак.140. Т.1

Ростов н/Д, пр. Стачки, 200/1