Анизотропийная частотная теорема для дескрипторных систем

УДК 517.997+681.51

МГТУ им. , Москва

АНИЗОТРОПИЙНАЯ ЧАСТОТНАЯ ТЕОРЕМА

ДЛЯ ДЕСКРИПТОРНЫХ СИСТЕМ

В данной работе найдены условия ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы положительным числом при заданном уровне средней анизотропии. Полученные условия сформулированы в виде частотной теоремы. Приведен численный пример.

Введение

Математические модели объектов управления не всегда могут быть описаны только дифференциальными или разностными уравнениями, они могут содержать также алгебраические уравнения. Такие системы, называемые дифференциально-алгебраическими или алгебро-разностными, описывают больше объектов и существенно отличаются от обыкновенных систем. В иностранной литературе такие системы называют также дескрипторными, т. е. описательными. Смысл введения понятия "дескрипторные системы" заключается в том, что переменные состояния имеют физический (описательный) смысл. Из-за наличия алгебраических связей между переменными состояния, модель приобретает свойства, не характерные для обыкновенных систем, что требует разработки математического аппарата, обобщающего теории, разработанные для обыкновенных систем. Очевидно, что обобщение методов, развитых для обыкновенных систем, на дескрипторные системы позволит охватить большее число объектов управления.

Реальные объекты управления подвергаются влиянию случайных внешних возмущений. Задача подавления таких возмущений является одной из основных задач теории управления. В теории понижения влияния внешних возмущений с помощью линейно-квадратичных гауссовских регуляторов в качестве случайных возмущений рассматривается белый шум. Однако шумы, действующие на реальные объекты, являются "окрашенными", поэтому регуляторы, разрабатываемые для систем управления в предположении о том, что на них действует белый шум, не являются достаточно эффективными. В основе теории синтеза -регуляторов, понижающих влияние внешних возмущений, лежит предположение о том, что внешнее возмущение является интегрируемым (суммируемым) с квадратом. Недостатком этой теории является то, что -регулятор проявляет излишний консерватизм, если внешнее возмущение представляет собой некоррелированный или слабо коррелированный случайный сигнал.

Введение понятия средней анизотропии случайной последовательности [3], [4], [7] позволило описать внешние возмущения как коррелированные случайные шумы, ограниченные неким положительным числом, называемым уровнем средней анизотропии. Мерой усиления системой случайных возмущений является анизотропийная норма, которая в терминах вход-выходных сигналов определяется как отношение мощностной нормы выхода к мощностной норме входа.

С точки зрения теории управления представляется интересным нахождение условий, при которых мера усиления системой возмущенного коррелированного сигнала с известным уровнем средней анизотропии меньше заданного положительного числа. Для обыкновенных систем такая задача решена в [6].

Предлагаемый доклад посвящен нахождению и проверке условий ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы.

Основные сведения и постановка задачи

Дескрипторная система дискретного времени задана системой уравнений:

где – вектор состояния, – входной сигнал, – вектор наблюдения. Матрица , . Более подробно в [1], [2], [5].

Дадим основные определения теории дескрипторных систем:

Определение 1. Пара называется регулярной, если существует такое число , что .

Регулярность пары является необходимым и достаточным условием существования и единственности ее решения. Следующая лемма [5] дает эквивалентные необходимые и достаточные условия регулярности системы (1):

Лемма 1. Пара является регулярной тогда и только тогда, когда существуют такие две невырожденные матрицы и , что

где , а матрица - нильпотент, т. е. матрица, для которой выполнены условия , причем минимальный , при котором , называется индексом нильпотента .

Пара называется первой эквивалентной формой (в различной литературе можно встретить также термины центральная каноническая форма или каноническая форма Вейерштрасса) пары .

Определение 2. Система (1) называется

1.  причинной, если ее решение при начальных условиях зависит только и ;

2.  устойчивой, если , где – обобщенный спектральный радиус пары ;

3.  допустимой, если пара является регулярной, а система (1) – причинной и устойчивой.

Будем рассматривать допустимые дескрипторные системы. Под передаточной функцией системы (1) будем понимать комплекснозначную функцию, определяемую выражением

(2)

Пусть на вход системы подается стационарная последовательность гауссовских случайных векторов с ограниченной средней анизотропией, т. е. производится из -мерного гауссовского белого шума с нулевым средним и единичной ковариационной матрицей неизвестным устойчивым формирующим фильтром

Для дальнейшего изложения материала потребуется определить основные понятия анизотропийного анализа такие, как анизотропия случайного вектора, средняя анизотропия последовательности и анизотропийная норма системы. Более подробно в [1], [2].

Составим из элементов на интервале времени случайный вектор все конечномерные вероятностные распределения которого абсолютно непрерывны.

Определение 3. Анизотропией случайного вектора называют

,

где – дифференциальная энтропия, а – плотность распределения вероятности -мерного вектора относительно -мерной лебеговой меры.

Определение 4. Средняя анизотропия последовательности определяется выражением

Средняя анизотропия стационарной гауссовской случайной последовательности может быть посчитана по формуле:

Она характеризует "цветность" сигнала, в данном случае это отличие от гауссовского белого шума.

Пусть – выход линейной стационарной системы, .

Определение 8. Для заданного a-анизотропийная норма системы P определяется как

т. е. как наибольший коэффициент усиления (отношение среднеквадратических значений выхода Y и входного возмущения W) по отношению к классу формирующих фильтров

Таким образом, a-анизотропийная норма характеризует робастность системы P по отношению к случайному возмущению W, неточность знания статистических свойств которого описывается параметром a.

Итак, задача состоит в следующем: для заданной системы P, уровня средней анизотропии входного возмущения и числа проверить выполнение условия .

Прежде, чем сформулировать частотную теорему для дескрипторных систем, рассмотрим результат, полученный для обыкновенных систем [6].

Модель дискретной линейной стационарной системы имеет вид:

(6)

Теорема 1. [6] Пусть – система с реализацией в пространстве состояний (6), где . а-Анизотропийная норма системы строго ограничена заданным значением , т. е.

тогда, и только тогда, когда существует , такое что неравенство

выполняется для матрицы , поставленной в соответствие со стабилизирующим решением алгебраического уравнения Риккати

Полученный результат

Предполагая, что для системы (1) справедливо следующее ранговое условие:

сформулируем полученные условия ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы в виде частотной теоремы.

Теорема 2. Пусть – допустимая система с реализацией в пространстве состояний (1), где . Для известных скалярных величин и а-анизотропийная норма системы ограничена сверху числом , т. е.

,

если существует стабилизирующее решение обобщенного алгебраического уравнения Риккати

(7)

такое, что

(8)

а удовлетворяет неравенству

(9)

Численный пример.

Воспользуемся условиями теоремы 2 для проверки ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы.

Пусть

Система является допустимой, т. е. -норма передаточной функции равна 5,0492. Для выполнения условий теоремы 2 при заданном уровне анизотропии а и значении параметр q должен удовлетворять условию , где , а для матрицы должно быть справедливо неравенство (8). При точное значение анизотропийной нормы системы равно 2,7644.

Т а б л и ц а 1

Результаты проверки условий

	2,80	2,77	2,75
	[0, 0,0392)
Q	0,0341	0,0362	0.0016i+0.0378

Как видно из таблицы 1, условия выполняются при . При не удовлетворяется требование как для q, так и для . Таким образом, условия теоремы 2 могут быть использованы для вычисления анизотропийной нормы системы с наперед заданной точностью.

Заключение

Были получены условия, проверяя которые, можно судить о значении анизотропийной нормы допустимой дескрипторной системы. Условия заключаются в проверке существования стабилизирующего решения обобщенного алгебраического уравнения Риккати и проверки выполнения неравенства специального вида. Заметим, что при E=I полученные условия совпадают с условиями частотной теоремы для обыкновенных систем, сформулированной в [6]. Данные условия могут быть использованы для вычисления точного значения анизотропийной нормы дескрипторной системы, а также при синтезе анизотропийных субоптимальных регуляторов.

Работа проводилась при поддержке гранта РФФИ

ЛИТЕРАТУРА

1.  , . Вычисление анизотропийной нормы дескрипторной системы // АиТ. 2010. № 6. c. 51–63

2.  Белов анизотропийных регляторов для дескрипторных систем: Дис. …к. ф.-м. н. Москва. 2011. –90 с.

3.  , Клоеден П. Анизотропийный анализ робастного качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном временном интервале // АиT, 2006, 8. c. 92 – 111

4.  , , В. Анизотропия сигналов и энтропия линейных стационарных систем // Докл. А. Н. 1995. Т. 342, 5, с. 583 – 585

5.  Dai L. Singular Control Systems, Lecture Notes in Control and Information Sciences, New York, Springer-Verlag, 1989

6.  Kurdyukov A. P., Maximov E. A., and Tchaikovsky M. M. Anisotropy-based bounded real lemma // Proc. 19th Int. Symp. of Mathematical Theory of Networks and Systems. Budapest. Hungary. 2010. p. 2391–2397

7.  Vladimirov I. G., Kurdjukov A. P., and Semyonov A. V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time-invariant systems // Proc. 13th IFAC World Congress, San-Francisco, CA, 1996. p. 179­−184

Текст доклада согласован с научным руководителем.

Научный руководитель: д. т.н., профессор, зав. лаб. № 1 ИПУ РАН им.