Вопросы

1.Функции комплексного переменного.

2.Основные элементарные функции комплексного переменного.

3. Аналитическая функция.

4. Производная ф-ии комплексного переменного.

5. Дифференцируемость функции. Условие Коши-Римана.

6. Связь м/д аналитическими и гармоническими функциями.

7. Интегрирование функции комплексного переменного.

8. Интегральная теорема Коши.

9. Формула Ньютона-Лейбница.

10. Ряды Лорена.

11.Основная теорема о вычетах.

12. Вычисление вычетов функции. Применение вычетов к вычислению интеграла.

13. Нахождение изображения ф-ии.

14. Таблица изображений основных элементарных ф-ий.

15. Отыскание оригинала по изображению.

16. Свертка ф-ии.

17. Изображения производных и интеграла от оригинала.

18. Теорема о дифф. изобраения.

19. Теорема о дифф. оригинала.

20. Теорема об интегрировании интеграла.

21. Теорема об интегрировании изображения.

22. Применение операционного исчисления.

23. Решение задачи Коши для линейных и дифф. у-ний.

24. Решение с/с дифф. у-ний с применение операционного исчесления.

25. Решение интегральных ур-ний.

1.Функции комплексного переменного.

Если каждому числу zЄD по некоторому правилу поставлено в соответствие некоторое число ωЄЕ то говорят что на множестве определена однозначная ф-ия комплексного переменного ω=f(z) отображающая множество D в множество Е. Ф-ию ω=f(z) можно зап в виде u+iυ=f(x+iy), f(x+iy)=u(x;y)+iυ(x;y), u=u(x;y)=Ref(z), υ=υ(x;y)=Imf(z), (x;y) ЄDФ-ию u(x;y) при этом называют действительной частью ф-ии f(z) а υ(x;y)-мнимой.

2.Основные элементарные функции комплексного переменного.

Определим основные элементарные ф-ии комплексного переменного z=x+iy.Показательная ф-ия ω=еz определяется ф-лой ω=еz=еx(cosy+isiny) cв-ва пок ф-ии: еz1еz2= еz1+z2

еz1еz2= еx1еx2(cos(y1+y2)+isin(y1+y2))= еx1+x2(cos(y1+y2)+isin(y1+y2))=еx1+x2+i(y1+y2)=еz1+z2.Логарифмическая ф-ия:ω=Lnz=u+iυ=lnr+i(φ+2kп)=ln|z|+i(argz+2kп); lnz=ln|z|+iargz.Степенная ф-ия: ω=zn ω= zn rn (cosnφ+isinnφ) ф-ия ω=zn-однозначная. Тригонометрическая ф-ия:триг ф-ия комплексного аргумента z=x+iy определяются равенствами sinz=eiz-e-iz/2i, cosz= eiz+e-iz/2,tgz=sinz/cosz, ctgz=cosz/sinz.Гиперболические ф-ии.Эти ф-ии определяются рав-ми shz= ez - e-z/2,chz= ez+e-z/2,thz= shz/chz, cthz= chz/shz.

3. Аналитическая функция.

Функция f(z) называется аналитической в точке z, если она дифф-ма в некоторой окресности этой точки. Функция f(z) называется аналитической в области D, если она дифф-ма в каждой точке zÎD. Точки в плоскости z, функция f(z) аналитична, называются правильными, а если не аналитична, то точки будут особыми. Пусть ф-я w=f(z) аналитична в т. z. lim∆z®0 ∆w/∆z=f ‘(z)Þ ∆w/∆z=f ‘(z)+a, где a®0 при ∆z®0. w=f(z).

4. Производная ф-ии комплексного переменного.

Пусть w=f(z) определена в некоторой окресности в т. z. Тогда lim∆z®0∆w/∆z= lim∆z®0 f(z+∆z)-f(z)/ ∆z= f ‘(z). Если он существует, называется производной функции f(z) в точке z, а ф-ия называется дифф-мой.

5. Дифференцируемость функции. Условие Коши-Римана.

w=f(z) D-область. Определение: Если существует конечный предел отношения, ∆z→0, то этот предел называется производной функцией f ‘(х) в т. z0. f ‘(х)=lim∆z→0 ∆w/z=lim∆z→0 f(z+∆z)-f(z)/ ∆z. Отсюда w=f(z) называется дифф. в т. z=z0. Теорема: Для того чтобы функция f(z)= U(x, y)+iV(x, y) была дифф. в т z0=x0+iy0 необходимо: 1) U(x, y),V(x, y) были дифф. в т. (x0,y0); 2) чтобы в этой т. выполнялось ∂u/∂x=∂v/∂y; ∂u/∂y=-∂v/∂x - это условие Коши-Римана. Определение1: Функция называется аналитической в областе, если она дифф-ма в каждой т. этой области. Определение2: Функция называется аналитической в точке z0,если функция дифф. не только в данной т., но и в ее окрестности.

6. Связь м/д аналитическими и гармоническими функциями.

Если функция f(z)= U’(x, y)+iV(x, y) аналитическая в D, то функции U (x, y), V(x, y) явл-ся гармоническими, выполняется ур-е Лапласа: ∂2u/∂x2+∂2u/∂y2=0, ∂2v/∂x2+∂2v/∂y2=0, Если функция U (x, y), V(x, y) явл-ся произвольно выбранными гармоническими, то функции U (x, y), V(x, y) не будет аналитической, тогда условие Коши-Римана не выполняется. Условие Коши-Римана позволяет определить не известную функцию по ее двум частным производным: M(x, y)dx+N(x, y)dy=0Þ ¶M/¶y≡¶N/¶x; x0òx M(x, y)dx+ y0òy N(x, y)dy=0

7. Интегрирование функции комплексного переменного.

Пусть в области D в плоскости z заданна непрерывная функция: w=f(z)= U(x, y)+iV(x, y) и L кусочно-гладкая направленная кривая Î D. òL f(z)dz= åf(xk)∆zk; xk-произвольна точка дуги. Lk=(zk-1;zk). При произвольном разделение дуги на L частей: z0, z1,z2…zn; ∆zk =zk - zk-1; òL f(z)dz=òL U(x, y)dx-V(x, y)dy+iòL V(x, y)dx+U(x, y)dy; x=x(t), y=y(t); a£t£b; z= x(t)+i y(t)Þ òL f(z)dz=aòb f[z(t)]z’(t)dt

8. Интегральная теорема Коши.

Теорема для односвязной области: Пусть z функция в односвязной области D, когда LÎDÞ∫L f(z)dz=0. Теорема для многосвязной области: Пусть f(z) функция в многосвязной области D. ∫L f(z)dz=∫L1f(z)dz+∫L2 f(z)dz+…+∫Ln f(z)dz. Пример для двухсвязной: ∫L1f(z)dz=∫L2 f(z)dz, где L1,L2- производные контуры области D. z1òz2 f(z)dz= F(z) z1½z2 = F(z2)-F(z1)=F’(z)=f(z). Интегральная формула Коши: 1)f(z0)=1/2ПiòL f(z)/z-z0 dzÞòL f(z)/z-z0 dz=2Пi f(z)÷z=z0; 2) f(n)(z0)=n!/2ПiòL f(z)/(z-z0)n+1dzÞ òL f(z)/(z-z0)n+1dz =2Пi/n! f(z)÷z=0.

9. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция F(z)=z0òz f(z)dz есть первообразная функция для f(z).Þ z0òz f(z)dz=F(z)+C. F(z0)+C=0.ÞС=-F(z0). Получается: z0òz f(z)dz=F(z)-F(z0)-Формула Ньютона-Лейбница.

10. Ряды Лорена.

Пусть f(z) однозначная и аналитичная функция в кольце: f(z)=…+A-3/(z-a)3+A-2/(z-a)2+A-1/z-a+A0+A1(z-a)+A2(z-a)2+A3(z-a)3+…-называется рядом Лорена. Ряд A-3/(z-a)3+A-2/(z-a)2+A-1/z-a называется главной частью ряда Лорена, а ряд A0+A1(z-a)+A2(z-a)2+A3(z-a)3

11.Основная теорема о вычетах.

Пусть а полюс n-го порядка ф-ии f(z), вычет ф-ии f(z) относительно ее полюсе n-ного порядка вычисляется: res f(z)=1/(n-1)! Limz®a dn-1[(z-a)nf(z)]/dzn-1; residue - вычет. Если а полюс первого порядка res f(z)=limz®a(z-a)f(z). Пусть ф-я j(z),y(z) регулярны точка z=a. j(a)¹0, y(a) имеет 1 порядок, при вычете ф-ии f(z)= j(z)/y(z); resa f(z)= j(z)/y(z). Кроме конечного числа изолированных особых точек а1,а2,an полюсов, то заданному контуру содержащему внутри себя этой точки и лежащей в области D. òg f(z)dz=2Пi å res f(z)- это теорема вычетов. Частный случай: Пусть f(z) аналитическая ф-я f области D. Число аÎD и f(a)¹0ÞF(z)=f(z)/z-a. Найдем вычет ф-ии: resa F(z)= limz®a (z-a)F(z)=limz®a(z-a) f(z)/z-a= limz®a f(z)=f(a)Þ òg f(z)dz=2Пi f(a); f(a)=1/2Пi òg f(z)dz-формула Коши

12. Вычисление вычетов функции. Применение вычетов к вычислению интеграла.

Пусть а полюс n-го порядка ф-ии f(z), вычет ф-ии f(z) относительно ее полюсе n-ного порядка вычисляется: res f(z)=1/(n-1)! Limz®a dn-1[(z-a)nf(z)]/dzn-1; residue - вычет. Если а полюс первого порядка res f(z)=limz®a(z-a)f(z). Пусть ф-я j(z),y(z) регулярны точка z=a. j(a)¹0, y(a) имеет 1 порядок, при вычете ф-ии f(z)= j(z)/y(z); resa f(z)= j(z)/y(z). Кроме конечного числа изолированных особых точек а1,а2,an полюсов, то заданному контуру содержащему внутри себя этой точки и лежащей в области D. òg f(z)dz=2Пi å res f(z)- это теорема вычетов. Частный случай: Пусть f(z) аналитическая ф-я f области D. Число аÎD и f(a)¹0ÞF(z)=f(z)/z-a. Найдем вычет ф-ии: resa F(z)= limz®a (z-a)F(z)=limz®a(z-a) f(z)/z-a= limz®a f(z)=f(a)Þ òg f(z)dz=2Пi f(a); f(a)=1/2Пi òg f(z)dz-формула Коши.

13. Нахождение изображения ф-ии.

Определение: ф-ия f(t) св-ва: 1) f(t)=0, t<0; 2) ½f(t)½< Mesot t>0; 3) на конечном [AB] в полуоси ot ф-ии f(t) удовлетворяет условие Дирихле: a) f(t) ограниченна либо непрерывна. б) имеет некоторое число точек разрыва. в)имеет конечное число экстремумов. P=a+bi, где rep= a³s1³s2>s0. При.Þ 0ò¥ e-pt f(t)dt является от 0ò¥ e-pt f(t)dt=f(p)- это интеграл Лапласа, а аргумент р определяемый им называется преобразованием Лапласа. f(p)¸>f(t). f(t0)=f(t0-0)+f(t0+0)/2. t0¹0; t0=0; f(0)=1. При соблюдение этих условий м/д оригиналом и изображением облад. следующие св-ва: 1) Соответствие взаимодействия однозначна. 2)Линейной комбинацией конечного множества оригиналов в качестве изображения отвечает соответствующая линейная комбинация их изображения.

14. Таблица изображений основных элементарных ф-ий.

· f(z)=1 f‾(p)=1/p · f(z)=tn/n! f‾(p)=1/pn+1

· f(z)=eat f‾(p)=1/p-a · f(z)=cosbt f‾(p)=p/p2+b2

· f(z)=sinbt f‾(p)=b/p2+b2 · f(z)=eatcosbt f‾(p)=p-a/(p-a)2+b2

· f(z)=eatsinbt f‾(p)=b/(p-a)2+b2 · f(z)= tn/n! eat f‾(p)=1/(p-a)n+1

· f(z)=tcosbt f‾(p)=p2-b2/(p2+b2)2 · f(z)=tsinbt f‾(p)=2pb/(p2+b2)2

· f(z)=cht f‾(p)=p/p2-1 · f(z)=sht f‾(p)=1/p2+1

15. Отыскание оригинала по изображению.

I(p)= U(p)/V(p); U(p),V(p)- где многочлены. Эта формула для нахождения оригинала для дробно-рациональной ф-ии. Если изображение искомой функции может быть разложена в степенной ряд по степеням 1/р: I(p)=a0/p+a1/p2+a2/p3+…+an/pn+1-Ряд сходится. R=limn®µ½an+1/an½¹µ Þ f(t)=a0+a1t/1!+a2t2/2!+a3t3/3!+…+antn/n!-ряд сходится для всех значений t

16. Свертка ф-ии.

Свертка двух путей f1(t), f2(t) называется ф-я F(t)=0òt f1(t-t) f2(t)dt. Интеграл определяющий свертку не меняет своего значения от перестановки функции f1 и f2, свертка двух путей симметрична относительно свертываемость функции изображение свертки двух оригиналов и изображений = произведению их изображений. Теорема свертываемости: f‾1(p)®f1(t), f‾2(p)®f2(t), то 0òt f1(t-t) f2(t)dt<¸f‾1(p) f‾2(p); F(t)<¸ f‾1(p) f‾2(p).

17. Изображения производных и интеграла от оригинала.

Пусть оригиналом от F(t) дифф. n-раз до n-го порядка в свою очередь явл. оригиналами, тогда справедлива теорема дифф. оригинала. Если f‾(p)¸>f(t); f(k)(p)¸>pkf(p)- {pk-1 f(p)+pk-2 f ’(p)+…+pk-n fn-1(p)}. f(t)<¸ f‾(p); f ’(t)<¸p f‾(p)-f(0); f¢¢(t)<¸ p2f‾(p)-pf(0)-f ‘(0); f¢¢¢(t)<¸p3f‾(p)-p2f(0)-pf ‘(0)-f ‘‘(0); fⅣ(t)<¸ f¢¢¢(t)<¸p4f‾(p)-p3f(0)-p2f ‘(0)-pf ‘‘(0)-f ‘’’(0). Для всех оригиналов справедлива теорема интегралов: f‾(p)¸>f(t); f‾(p)/р¸>0òtf(t)dt. Отсюда изображение и интеграл получается из изображения f(t) при помощи выполнения алгебраических операций. eat, sinbt, cosbt алгебраические ф-ии от р.

18. Теорема о дифф. изобраения.

Изображением оригинала f(t) называется ф-я F(p) комплексного переменного p=s+is, определяемая интегралом: F(p)=0ò¥ f(t)e-ptdt. Теорема: для всякого оригинала f(t) изображение F(p) существует в полуплоскости Rep=s>s0, где s0-показатель роста ф-ии f(t). Если F(p) явл-ся изображением ф-ии f(t), то limp®¥F(p)=0.

19. Теорема о дифф. оригинала.

Пусть оригиналом от F(t) дифф. n-раз до n-го порядка в свою очередь явл. оригиналами, тогда справедлива теорема дифф. оригинала. Если f‾(p)¸>f(t); f(k)(p)¸>pkf(p)- {pk-1 f(p)+pk-2 f ’(p)+…+pk-n fn-1(p)}. f(t)<¸ f‾(p); f ’(t)<¸p f‾(p)-f(0); f¢¢(t)<¸ p2f‾(p)-pf(0)-f ‘(0); f¢¢¢(t)<¸p3f‾(p)-p2f(0)-pf ‘(0)-f ‘‘(0); fⅣ(t)<¸ f¢¢¢(t)<¸p4f‾(p)-p3f(0)-p2f ‘(0)-pf ‘‘(0)-f ‘’’(0).

20. Теорема об интегрировании интеграла.

Для всех оригиналов справедлива теорема интегралов: f‾(p)¸>f(t); f‾(p)/р¸>0òtf(t)dt. Отсюда изображение и интеграл получается из изображения f(t) при помощи выполнения алгебраических операций. eat, sinbt, cosbt алгебраические ф-ии от р это дает возможность многии операции математического анализа и решение дифф. интегрального у-нии свести к выполнению алгебраических действий над изображениями искомых ф-ций.

21. Теорема об интегрировании изображения.

Если f(t)<¸F(p) и интеграл pòµF(r)dr сходится, то pòµF(r)dr¸>f(t)/t; интегрирование изображения от p до ¥ соответствует деление его оригинала на t. pòµF(r)dr= pòµ (pòµf(t)e-ptdt)dr= pòµ (pòµ e-ptdr)f(t)dt = pòµ (1/te-pt p½µ) f(t)dt= pòµ f(t)/te-pt dt ¸>f(t)/t.

22. Применение операционного исчисления.

Применение к решению некоторых дифф. и интегральных у-нии, если дано линейное дифф. уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами y(n)+a+ y(n-1)+a2y(n-2)+…+any(n-m). Правая часть которого явл. оригиналом, то и решение этого оригинала удовлетворяющая произведению начального усл. вида: y(0)=y0; y’(p)=y0; y(n-1)(0)=y0n-1. Решение задачи Коши поставленный для этого у-я поставленные служит оригиналом обозначеного этого решения ч/з y(t) находим изображение левой части исходного дифф. уравнения и приравнивая его изображение функции f(t) приходим к изображающему у-ю которое всегда явл. линейным алгебраическим ур-ем.

23. Решение задачи Коши для линейных и дифф. у-ний.

Пусть требуется найти решение линейного дифф. ур-я: y(n)+a1y(n-1) +…+any=f(t). Начальные условия: : y(0)=с0; y’(p)=с1,…, y(n-1)(0)=yn-1. Пусть y(t)<¸Y(p)=Y и F(p)¸>f(t)=F;Þ перейдем в у-и от оригинала к изображениям: (pnY-pn-1c0-pn-2c1-…- cn-1)+a1(pn-1Y-pn-2c0-…- cn-2)+…+an-1(pY-c0)+anY=F.-это операторное у-е. От Y: Y(pn+a1pn-1+…+ an-1p+ an)=F+c0 (pn-1+ a1pn-2+…+an-2)+…+cn-1ÞY(p)=F(p)+Rn-1(p)/Qn(p)-это отераторное решение дифф. у-я.

24. Решение с/с дифф. у-ний с применение операционного исчесления.

Также как и Решение задачи Коши для линейных и дифф. у-ний. Пример: {x’=y-z, y’=x+y, z’=x+z; где x(0)=1, y(0)=2, z(0)=3. Решение: Пусть x=x(t)<¸X(p)=X; y=y(t)<¸Y(p)=Y; z=z(t)<¸Z(p)=Z. Находим: x’<¸pX-1; y’<¸pY-2; z’<¸pZ-3;С/с примет вид: {pX-Y+Z=1, X-(p-1)Y=-2, X+(1-p)Z=-3. Решаем с/с: X(p)=p-2/p(p-1), Y(p)=2p2-p-2/p(p-1)2, Z(p)=3p2-2p-2/p(p-1)2. Переходим от изображения к оригеналам: X(p)=p-2/p(p-1)=2p-2-p/ p(p-1)=2(p-1)/ p(p-1)-p/ p(p-1)=2/p-1/p-1¸>2-et=x(t); Y(p)=2p2-p-2/p(p-1)2 =-2/p+4/p-1-1/( p-1)2¸>-2+4et-tet=y(t); Z(p)=3p2-2p-2/p(p-1)2=-2/p+5/p-1-1/( p-1)2¸>-2+5et-tet=z(t).

25. Решение интегральных ур-ний.