Методы решения задач: техника вычисления производных

Федеральное агентство по образованию

___________________________________

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ»

_______________________________________

Методы решения задач: техника вычисления производных.

Методические указания

к решению задач

Санкт-Петербург

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2009

УДК 517

Методы решения задач: техника вычисления производных: Методические указания к решению задач / Сост.: , , . СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 20с.

Содержат определения, формулировки основных теорем и примеры решения задач различными методами по теме «Производная функции».

Предназначены для студентов-заочников всех специальностей.

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2009

Настоящее издание призвано помочь студентам-заочникам младших курсов самостоятельно научиться решать задачи по теме «Производная функции». Освоение этого раздела математического анализа на первый взгляд не вызывает затруднения у студентов. Но без четкого овладения именно техникой дифференцирования и понятием производной практически невозможно дальнейшее продвижение в освоении курса математического анализа. Поэтому первая часть методических указаний посвящена подробному обсуждению понятия «производная функции» и основных правил дифференцирования. Во второй части указаний рассматривается применения производной к решению ряда наиболее часто встречающихся задач.

Данные методические указания, хоть и содержат теоретический материал, не призваны служить полной заменой учебника по теме «Производная функции», поэтому составители рекомендуют параллельно работать с учебным пособием «Конспект лекций по высшей математике» [1].

2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

1.1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.

Пусть функция определена в интервале (a;b) и непрерывна в точке , и пусть . В окрестности точки выбирается произвольная точка x. Тогда разность называется приращением аргумента в точке . А разность – приращением функции. На рисунке рассмотрим секущую, проведенную через точки M и N. Угол называется углом наклона секущей, а ее угловым коэффициентом.

Из прямоугольного треугольника MPN . Если точка N будет стремиться к M вдоль данной линии, то есть , то секущая MN в пределе перейдет в касательную l , а угол наклона секущей – , в угол наклона касательной – .

Определение:

Производной функции в точке называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, т. е .

Геометрический смысл производной.

Из рассуждений, приведенных выше видно, что производная функции при равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке , т. е .

Физический смысл производной.

Если – закон прямолинейного движения точки, то – скорость этого движения в момент времени t.

Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной.

Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением:

Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, определяет силу тока:

В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OX, напряженность и потенциал связаны соотношением:

Если отношение при имеет предел справа (или слева), то он называется производной справа (соответственно производной слева). Такие пределы называются односторонними производными. Односторонние производные в точке обозначаются соответственно :

– производная слева;

– производная справа.

Очевидно функция, определенная в некоторой окрестности точки , имеет производную тогда и только тогда, когда односторонние производные существуют и равны между собой, причем .

Если для некоторого значения x выполняется одно из условий

, то говорят, что в точке x существует бесконечная производная, равная соответственно .

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Пример 1.1. Пользуясь определением производной найти производную функции .

Решение: Зададим аргументу данной функции приращение . Тогда приращение функции . Воспользуемся определением производной:

.

Ответ: .

1.2. Техника дифференцирования основных элементарных функций.

В первом пункте данных методических указаний был разобран пример, показывающий технику нахождения производной с помощью определения. Процесс этот достаточно трудоемкий и поэтому в дальнейшем будут использоваться найденные ранее формулы производных основных элементарных функций. Эти формулы представлены таблицей, которую также необходимо знать наизусть. Для удобства в таблице, кроме производных элементарных функций представлены и производные сложных функций.

Таблица производных:

x	1
arctgx		arctg( f (x))
arcсtgx		arcctg(f(x))

1.3. Основные правила дифференцирования.

Для того чтобы дифференцировать функции, обычно встречающиеся на практике, пользуются рядом простых и важных формул, которые обязательно знать наизусть.

Правила дифференцирования:

Пусть и – дифференцируемые функции. Тогда верны следующие формулы:

1.  , если c – постоянная величина (константа).

2.  (1.1)

Пример 1.2. Найти производную .

Решение: Пользуясь таблицей производных и правилом (1.1) находим:

3.  (1.2)

Пример 1.3. Найти производную функции .

Решение. Так как по правилу (1.2) производная от суммы функций равна сумме производных от каждой функции, то можем записать: .

Продифференцируем выражения, стоящие в скобках, пользуясь таблицей производных.

,

,

, так как 6 – константа,

,

.

В итоге получим:

.

.

Пример 1.4. Найти производную функции .

Решение. Так как по правилу (1.2) производная от суммы функций равна сумме производных от каждой функции, то можем записать:

.

Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности, для удобства записав функции в виде степени с дробным показателем.

.

.

.

.

В итоге получим:

.

4.  (1.3)

Пример 1.5. Найти производную функции .

Решение. Воспользуемся правилом (1.3) для дифференцирования произведения двух функций.

.

.

5.  (1.4)

Пример 1.6. Найти производную функции .

Решение. Воспользуемся правилом (1.4) для дифференцирования частного двух функций.

.

В итоге:

.

6.  Если , а то функция называется сложной функцией и, если обе функции дифференцируемы, то дифференцируема и сложная функция, а ее производную можно найти по формуле:
(1.5)

Таким образом, производная сложной функции равна производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной. Коротко можно сказать так: производная сложной функции равна произведению производных всех ее составляющих.

Пример 1.7. Найти производную функции .

Эту функцию можно рассматривать как сложную функцию, составленную из кубической функции и квадратичной . Тогда по правилу (1.5) производная сложной функции находится следующим образом:

.

Вспомним, что функция – промежуточная и введена нами для удобства нахождения производной от сложной функции, теперь нам надо вернуться обратно, подставив вместо этой промежуточной функции ее выражение: .

.

В дальнейшем промежуточная функция явно вводиться в решение не будет, но надо иметь в виду, что мысленно мы ее обязательно обозначаем.

Пример 1.8. Найти производную функции .

Решение: Для того, чтобы найти производную данной функции надо воспользоваться правилом (1.5), так как эта функция является сложной.

Промежуточной функцией в данном примере будет функция

.

.

Пример 1.9. Найти производную функции .

Решение: В данном случае промежуточная функция – степенная, применяя таблицу производных, получаем:

.

.

Пример 1.10. Найти производную функции .

Решение: И в данной сложной функции промежуточная функция тоже степенная:

.

.

Пример 1.11. Найти производную функции .

Решение: Данная сложная функция состоит из двух промежуточных функций. Дифференцируем, применяя правило (1.5).

.

.

2.4. Дифференцирование показательно – степенной функции.

Для того, чтобы найти производную показательно – степенной функции , где f(x) и g(x) – дифференцируемые функции от х, ее удобно предварительно прологарифмировать.

, тогда . [воспользуемся свойствами логарифма и запишем] . [теперь найдем производные от обеих частей равенства.]

.[для нахождения производной правой части воспользуемся правилом (1.3), а для левой части – правилом дифференцирования сложной функции (1.5)].

. [выразим из данного равенства ]

.

Запоминать такую громоздкую формулу нет необходимости, так как правильнее, при необходимости найти производную показательно – степенной функции, каждый раз применять данный прием.

Пример 1.12. Найти производную функции .

Решение. Прологарифмируем обе части равенства:

. [воспользуемся свойствами логарифма]

. [найдем производные от обеих частей равенства]

. [выразим из данного равенства ]

Пример 1.13. Найти производную функции .

Решение. Прологарифмируем обе части равенства:

.

. [найдем производные от обеих частей равенства]

.

.

.

2.5. Дифференцирование неявно заданных функций и функций,
заданных параметрически.

Если зависимость между x и y задана в форме уравнения F(x, y)=0, то говорят, что функция задана неявно. В этом случае для нахождения производных и следует продифференцировать уравнение F(x, y)=0 по x, считая y функцией от x , или по y , считая x функцией от y и выразить из полученного уравнения производную или .

Пример 1.3. Найдите производную функции, заданной неявно .

Решение. Продифференцируем исходное уравнение, считая y функцией от x . Дифференцируя левую часть уравнения, необходимо воспользоваться правилом (1.5), а правую – правилом (1.3).

. [выразим из данного равенства ]

.

.

.

Пример 1.14. Найдите производную заданной неявно функции .

Решение. Продифференцируем исходное уравнение, считая y функцией от x. Второе слагаемое в уравнения является сложной функцией, первое - произведением двух функций, одна из которых – экспонента сама является сложной. Поэтому продифференцируем каждое слагаемое отдельно, а потом запишем производную всей функции целиком.

.

В итоге получаем:

. [раскрываем скобки и группируем слагаемые, содержащие производную ]

. [выражаем из получившегося уравнения ]

.

.

1.6. Производные высших порядков.

Производной второго порядка, или второй производной, функции называется производная от ее производной (которую называют первой производной).

Обозначения второй производной:

.

Механический смысл второй производной.

Если – закон прямолинейного движения точки, то – ускорение этого движения в момент времени x.

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и более высоких порядков:

.

Производная n –ого порядка обозначается и так: .

Если функция задана параметрически: , то ее вторая производная определяется формулой:

.

Пример 1.15. Найти для функции .

Решение. Для того, чтобы вычислить значение третьей производной функции в точке , необходимо найти первую и вторую производные этой функции.

.

.

. [Подставляем в найденное выражение третьей производной значение ]

.

Ответ: {-6}.

Пример 1.16. Найти вторую производную функции, заданной параметрически: .

Решение. Найдем первую и вторую производные для функций .

.

.

Воспользуемся формулой, приведенной выше:

[воспользуемся тождеством, ] .

Ответ: .

3. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

2.1. Дифференциал функции.

Пусть функция , определенная в некотором промежутке имеет производную в точке x.

.

Тогда можно записать , где при

Следовательно:

, где – бесконечно малая высшего порядка по сравнению с .

Определение: Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. или .

Вычислим: . Следовательно

(2.1)

Пример 2.1. Найти дифференциал данной функции:

a) ,

b)

Решение: Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

a) ;

b)

.

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение .

Действительно на рисунке PN это приращение функции, а PT это приращение по касательной, или дифференциал.

Отметим, что может быть ,или – это зависит от направления выпуклости функции. тогда когда , т. е функция равна постоянной.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

2.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Формулу можно записать так: и при достаточно малых значениях приращение функции может быть заменено ее дифференциалом с как угодно малой относительной ошибкой:

или , откуда

(2.2)

Это приближенное равенство применяется для приближенных вычислений, так как вычисление дифференциала функции значительно проще, чем вычисление ее приращения.

Пример 2.2. Вычислить приближенное значение .

Решение: Пусть есть частное значение функции при . Пусть , тогда

,

,

.

Подставляя найденные значения в формулу (2.2) получаем:

.

Ответ: 0,77.

2.3. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

Уравнение касательной к линии в точке имеет вид . (2.3)

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если , то уравнение нормали к линии в точке запишется так:

. (2.4)

Если в точке производная функции бесконечна, то есть , или не существует, то касательная в таком случае параллельна оси OY.

Угол между двумя пересекающимися кривыми и определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения по формуле:

. (2.5)

Пример 2.3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной функции в этой точке. Найдем производную данной функции: .

Найдем значение производной в точке :

.

Ответ: 2.

Пример 2.4. Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью OX.

Решение. Тангенс угла между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью OX это значение производной этой функции в данной точке. Найдем производную функции .

.

. Значит . Следовательно угол между касательной к графику функции и осью OX равен или .

Ответ: .

Пример 2.5. Записать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Решение. Найдем производную заданной функции и ее значение в данной точке:

.

.

Найдем значение заданной функции в точке :

.

По формуле (2.3) запишем уравнение касательной:

.

Пример 2.6. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке, где .

Решение: Подставляя в уравнение параболы заданную абсциссу касания , найдем ее ординату: .

Для определения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции и ее значение при .

.Подставляя найденные значения в уравнения (2.3) и (2.4) запишем уравнения касательной и нормали:

– уравнение касательной;

– уравнение нормали.

Пример 2.7. Найти угол, под которым пересекаются прямая и парабола .

Решение: Для того, что бы найти точку в которой пересекаются кривые надо совместно решить уравнения параболы и прямой:

. Подставляем найденные значения в систему: . Следовательно, прямая и парабола пересекаются в двух точках: .

Далее находим угловые коэффициенты касательных к прямой и параболе:

;

.

Подставляя в найденные производные координаты точек пересечения, получаем угловые коэффициенты касательных:

.

.

Согласно формуле (2.5) получим:

. .

. .

Ответ: , .

2.4. Правило Лопиталя – Бернулли.

При исследовании функций может появиться необходимость нахождения предела дроби , числитель и знаменатель которой при стремятся к нулю или бесконечности. Для нахождения таких пределов бывает удобно воспользоваться следующим правилом:

Теорема. Если функции и дифференцируемы в окрестности точки , обе или обращаются в нуль в этой точке, или стремятся к бесконечности и существует предел отношения при , тогда существует предел отношения самих функций, равный предел отношения производных.

.

Замечание 1. Теорема верна и в том случае, когда функции и не определены в точке , но или .

Замечание 2. Теорема верна и в случае , т. е. когда или

Другими словами правило Лопиталя – Бернулли применяется для раскрытия неопределенностей типа и .

С помощью тождественных преобразований к основному виду и можно свести неопределенности других видов, таких как .

При выполнении соответствующих условий правило Лопиталя – Бернулли можно применять несколько раз.

Пример 2.8. Найти .

Решение. Найдем значения функций, стоящих в числителе и знаменателе при :

.

.

Так как обе функции дифференцируемы в окрестности точки , то применим правило Лопиталя – Бернулли.

[Подставим в получившиеся в числителе и знаменателе функции , ] = –1.

Ответ: {–1}.

Пример 2.9. Найти .

Решение. Найдем значения функций, стоящих в числителе и знаменателе при :

.

.

Так как обе функции дифференцируемы в окрестности точки , то применим правило Лопиталя – Бернулли.

; [ Подставим в получившиеся в числителе и знаменателе функции , ]. Так как неопределенность сохранилась, и функции получившиеся в числителе и знаменателе опять удовлетворяют условиям теоремы (2.1), то можно применить правило Лопиталя – Бернулли еще раз.

.

Ответ: {2}.

Пример 2.10. Вычислить .

Решение. Проверкой убеждаемся, что функции, стоящие в числителе и в знаменателе обращаются в нуль при . Так ак они обе непрерывно дифференцируемы, то применяем правило Лопиталя – Бернулли:

.

Ответ: .

2.5. Формула Тейлора.

Одной из важнейших формул математического анализа несомненно является формула Тейлора, которая широко применяется и как инструмент теоретического исследования и как средство решения многих практических задач.

Формула Тейлора позволяет приближенно представить произвольную функцию в виде многочлена и вместе с тем позволяет оценить возникающую при этом погрешность , которая может быть сделана сколь угодно малой.

Вычисление значений функции при этом сводится к вычислению значений многочлена, что можно сделать, производя только простейшие арифметические действия.

Теорема Тейлора. Функция , дифференцируемая раз в некотором интервале, содержащем точку , может быть представлена в виде суммы многочлена n-ой степени и остаточного члена , а именно:

, где – остаточный член в форме Пеано, бесконечно малая величина по сравнению с .

Напомним, что операция факториал определяется следующим образом:

;

;

;

0!=1

Если , то формула принимает вид:

и называется формулой Маклорена, однако для многих функций она неприменима, так как сами функции или их производные не существуют при (например:Ф ).

Напомним, что частный случай замены функции многочленом был уже рассмотрен в п (1.5), где рассматривалось применение дифференциала к приближенным вычислениям. Именно там функция заменялась многочленом первой степени, т. е линейной функцией. Однако эти результаты носят очень ограниченный характер, так как не дают возможность оценивать точность такой замены.

Остаточный член в формуле Тейлора можно записывать и в других формах, например Коши или Лагранжа. И выбор формы его записи обычно диктуется условиями конкретной задачи.

Пример 2.10. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Вычислим значение данной функции и ее производных при :

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций.

Список литературы

1. Письменный лекций по высшей математике: В 2 ч. М.: Айрис Пресс, 2006. Ч. 1.

2. Методы вычисления пределов: Методические указания к решению задач / Сост.: , . СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008.

Содержание

1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.. 3

1.1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. 3

1.2. Техника дифференцирования основных элементарных функций. 5

1.3. Основные правила дифференцирования. 6

1.4. Дифференцирование показательно – степенной функции. 11

1.5. Дифференцирование неявно заданных функций и функций, заданных параметрически. 12

1.6. Производные высших порядков. 13

2. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.. 15

2.1. Дифференциал функции. 15

2.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. 16

2.3. Уравнения касательной и нормали к графику функции. 17

2.4. Правило Лопиталя – Бернулли. 20

2.5. Формула Тейлора. 22

Список литературы.. 25

Редактор

__________________________________________________________________

Подписано в печать Формат 60´84 1/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Печ. л. 2.0.

Гарнитура «Times». Тираж 250 экз. Заказ

__________________________________________________________________

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

С.-Петербург, Проф. Попова, 5