Задания

Вариант 24.

Задание 1: .Найти производные

а)

Решение.

Правила дифференцирования
1) производная суммы (разности):

2) производная произведения:

3) производная частного:

4) производная сложной функции равна произведению производных:

, ,

Воспользуемся правилами 1), 3), 4):

б)

Решение.

Воспользуемся правилами 4):

в)

Решение.

Воспользуемся правилами 1), 3), 4):

г)

Решение.

Воспользуемся правилами 1), 4):

д)

Решение.

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, то есть

Отсюда

е)

Решение.

Задание 2: .Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически:

Решение.

,

,

Следовательно:

,

.

Задание 3: .Найти производную от функции:

Решение.

Задание № 4. Составить уравнение касательной к данной кривой в точке с абсциссой

Решение.

Для того чтобы записать уравнения касательной, необходимо определить значения функции и ее производной в заданной точке :

,

,

Исходя из геометрического смысла производной, уравнение касательной к графику дифференцируемой функции в точке , где , имеет вид: .

,

,

,

,

,

– касательная к данной кривой .

Задание № 5. Найти дифференциал .

Решение.

.

Задание № 6. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

, ,

Решение.

Имеем: , и будем трактовать число , как малое отклонение на , от «круглого» значения .

Поскольку

то значение дифференциала в точке равно:

Значение функции в точке равно: .

Тогда:

Задание № 7. Вычислить по правилу Лопиталя.

а)

Решение.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций при причем

б)

Решение.

Проэкспонеанциируем :

Найдем, используя правило Лопиталя:

Следовательно: