Течения газа, обусловленные малыми возмущениями равновесия

Течения газа, обусловленные малыми возмущениями равновесия.

В классическом руководстве по динамике вязкого газа [n1] используется система дифференциальных уравнений Навье-Стокса, для замыкания которой применяется уравнение Клайперона [n2], являющееся уравнением состояния идеального или совершенного газа. В последнее время возрос интерес к изучению динамики реальных газов особенно в околокритическом состоянии [n3], где в качестве уравнения состояния выбрано уравнение Ван-дер-Ваальса, которое, как отмечено в [n2], недостаточно строго описывает связь между термодинамическими параметрами. Более точно такую связь определяют уравнения состояния, основанные на использовании вириальных коэффициентов [n4]. Выбор конкретного уравнения состояния влияет на вид уравнения баланса энергии, что в той или иной степени затрудняет аналитические исследования. Задание уравнения состояния, например, в виде неявной функции [n10], позволяет в достаточно общей форме изучать такие явления как скорость звука в газах, адиабатические градиенты термодинамических параметров, которые играют значительную роль в условиях возникновения в газах конвекции Рэлея-Бенара [n5], а также позволяет построить аналитические решения линеаризованных уравнений, описывающих малые возмущения механического равновесия.

Уравнение состояния.

Будем рассматривать движение газа, уравнение состояния которого определено соотношением

,

где - давление, - плотность, - температура. Здесь и далее наклонным шрифтом изображаются размерные величины, а прямым шрифтом – безразмерные. Пусть, по крайней мере, при неотрицательных значениях термодинамических параметров функция определена и непрерывна, а ее частные производные по термодинамическим параметрам существуют и непрерывны. При этих предположениях уравнение состояния локально разрешимо относительно выбранного аргумента , всюду, кроме совокупностей термодинамических параметров, определяемых равенствами

,

где символу предписываются значения . Так, при , можно говорить, что уравнение состояния задает давление как неявную функцию плотности и температуры. Указанные выше совокупности значений давления, плотности и температуры соответственно будем называть множеством критических точек уравнения состояния.

Так в случае совершенного газа , где - газовая постоянная, имеем

.

Здесь множество критических точек определяется соотношениями

,

.

Для газа Ван-дер-Ваальса , - константы газа Ван-дер-Ваальса, имеем

.

В этом случае множество критических точек имеет вид

,

.

Видно, что при , критические линии, связывающие давление и температуру с плотностью, имеют максимумы соответственно , и , при . Критическую точку будем называть термодинамической критической точкой. Отметим, что согласно [n2] соотношение , интерпретируется как линия разделения фаз.

В дальнейшем для определенности будем считать, что выполняются условия

,

которые будем называть условиями надкритичности, а соответствующую область изменения термодинамических параметров – областью надкритичности.

Существенным будем считать подмножество критических точек, порождаемых равенством

.

Система уравнений динамики газа.

Построим уравнение баланса энергии, соответствующее выбранному уравнению состояния. Из первого начала термодинамики следует, что

.

Здесь и обозначают соответственно внутреннюю энергию газа и подводимую теплоту, а - время; , - оператор Гамильтона [n6]. Полагая известной зависимость , согласно [n2] имеем

, ,

где - теплоемкость при постоянном объеме; далее предполагается, что = const. Из принципа Фурье (см., например, [n1]) при постоянном коэффициенте теплопроводности вытекает, что

.

Так как при сделанных предположениях о разрешимости уравнения состояния , то, учитывая изложенное выше, уравнение баланса энергии будет иметь вид

.

Уравнения движения Навье-Стокса и уравнение неразрывности будем рассматривать соответственно в виде

,

.

Здесь - координатные орты, определяющие соответственно направления осей , - скорость, - постоянное ускорение силы тяжести, = const – динамический коэффициент вязкости.

Таким образом, приведенные дифференциальные уравнения в частных производных и выбранное уравнение состояния определяют замкнутую систему уравнений динамики газа с постоянными физическими свойствами в постоянном гравитационном поле.

Изэнтропическое движение.

В предельном случае при , а, следовательно, и [n7], получим систему уравнений изэнтропической динамики газа, включающую кроме уравнения состояния и уравнения неразрывности соответственно уравнение изэнтропического баланса энергии и уравнения движения Эйлера

,

.

С учетом соотношения

,

являющегося результатом дифференцирования уравнения состояния, и уравнения изэнтропического баланса энергии запишем уравнение адиабаты в виде

.

В силу условий надкритичности правая часть приведенного выше обыкновенного дифференциального уравнения строго положительна, что дает возможность ввести обозначение

и записать уравнение адиабаты в виде

.

Изэнтропическое равновесие. Адиабатические градиенты.

Полагая в системе уравнений изэнтропической динамики газа , получим систему уравнений изэнтропического равновесия газа

,

интегрирование которой на адиабате позволяет получить распределения давления и плотности , а, следовательно, и распределение температуры , удовлетворяющие начальным условиям , , , и реализующие равновесие газа. Эти распределения будем называть адиабатическими, а их градиенты адиабатическими градиентами. Следовательно, адиабатические градиенты давления, плотности и температуры соответственно имеют вид

,

,

.

Так, например, для совершенного газа имеем

Адиабаты совершенного газа и газа Ван-дер-Ваальса и соответствующие адиабатические градиенты температуры достаточно подробно рассмотрены в [n5].

Скорость распространения малых возмущений в неограниченной среде.

Пусть теперь в системе уравнений изэнтропической динамики газа , и учитывается лишь направление, определяемое осью , то есть рассмотрим одномерную систему дифференциальных уравнений, определяющую изэнтропическое движение газа в невесомости

,

.

В этом случае изэнтропическое равновесие газа определяется следующими адиабатическими распределениями давления, плотности и температуры

.

Линеаризация приведенной выше системы уравнений при малых возмущениях скорости и термодинамических параметров в изэнтропическом равновесии, обозначенных соответственно через , приводит к волновой системе уравнений

,

,

где - значение функции в точках . Дифференцируя первое уравнение этой системы по времени, а второе - по координате, и исключая смешанную производную от возмущения давления, получим дисперсионное уравнение [n8],

.

Сделав замену переменных , преобразуем дисперсионное уравнение к виду . Решение этого уравнения определяется соотношением

,

где - произвольные функции, интерпретируемые как волны, распространяющиеся по оси со скоростью , называемой адиабатической скоростью звука [n1]. Из уравнения адиабаты следует, что при изэнтропическом движении коэффициент пропорциональности между дифференциалами давления и плотности равен квадрату скорости распространения малых возмущений или квадрату скорости звука. Таким образом, скорость звука определяется формулой

,

где частные производные от функции , задающей уравнение состояния, определяются в точках . В частности, в критических точках скорость звука задается соотношением

,

которое следует понимать как предел при переходе из области надкритичности.

Так, для совершенного газа

.

В случае газа Ван-дер-Ваальса имеем

,

,

так как [n2],

.

Чтобы сопоставить скорость звука в термодинамической критической точке газа Ван-дер-Ваальса со скоростью звука в совершенном газе при температуре рассмотрим отношение этих скоростей, полагая, что теплоемкости обоих газов одинаковы,

.

Для одноатомных газов, например, гелия (),, и

.

Для трехатомных газов, например, углекислого газа (),, и

.

Для многоатомных газов, например, шестифтористой серы (),, и

.

Видно, что скорость звука в термодинамической критической точке газа Ван-дер-Ваальса весьма значительна и для «молекулярнолегких» газов мало отличается от скорости звука в совершенном газе.

Распространение малых возмущений в ограниченной замкнутой области.

Предположим теперь, что при одномерном изэнтропическом движении в невесомости газ заключен в ограниченной замкнутой области

.

Выбрав для определенности в качестве масштаба скорости скорость звука , а в качестве масштабов длины и времени соответственно величины и , рассмотрим на отрезке , безразмерное дисперсионное уравнение

,

где - число Струхала [n1]. Границы области будем считать непроницаемыми, то есть будем предполагать, что

.

В этом случае при малых возмущениях изэнтропического равновесия нетривиальные решения дисперсионного уравнения будем искать, разделяя переменные во времени и пространстве, в виде

.

Подстановка выбранного вида возмущений скорости в безразмерное дисперсионное уравнение приводит к основному соотношению

.

Здесь штрихами обозначено дифференцирование функций по соответствующим переменным. Полагая известным отношение

,

где - действительное число, для функции получим обыкновенное дифференциальное уравнение

.

Далее имеем

,

где - произвольные постоянные. Из граничных условий и предположения о нетривиальности искомых решений вытекает, что , и, следовательно,

,

откуда

.

и

,

где - произвольные постоянные.

Таким образом,

.

Наконец

.

Возвращаясь к размерным переменным, будем иметь

.

Далее из волновой системы получим

.

Из уравнения адиабаты следует, что

.

Уравнение состояния приводит к соотношению

.

Видно, что возмущения температуры соответствуют условиям теплоизоляции.

Полагая, что в начальный момент времени , возмущения термодинамических параметров отсутствуют, придем к системе собственных функций

,

,

,

,

где – произвольные постоянные. Видно, что согласно [n9], скорость распространения возмущений равна , то есть равна скорости звука.

Такая система собственных функций позволяет аналитически исследовать эволюции скорости и термодинамических параметров при произвольных начальных распределениях скорости.

Безразмерные уравнения.

Возвратимся к системе уравнений динамики газа с постоянными физическими свойствами в постоянном гравитационном поле. Будем считать, что газ заключен в прямоугольном параллелепипеде со сторонами с твердыми непроницаемыми гранями. Будем также предполагать, что ускорение силы тяжести направлено противоположно оси , выбранной, для определенности правой [n6], системы координат, причем одна из вершин параллелепипеда является началом координат, а сам параллелепипед расположен в положительном октанте этой системы координат (см. Рис.1).

Рис. 1. Область, заполненная газом.

Введем безразмерные переменные

,

где символу , обозначающему размерную переменную, предписываются значения

,

а изображает масштаб соответствующей переменной. Для простоты будем считать, что

, и .

Обозначая , и дифференцируя это соотношение частным образом по соответствующим безразмерным термодинамическим параметрам, получим

.

Подставив теперь указанные выше связи размерных и безразмерных переменных в систему уравнений динамики газа, придем к безразмерной системе уравнений состояния, баланса энергии, движения и неразрывности соответственно в виде

,

,

,

.

Отметим, что приведенная система уравнений, согласно предположениям, описывает движение газа в параллелепипеде с безразмерными сторонами . Здесь введены следующие безразмерные комплексы.

- число Струхала.

- число Маха, - скорость звука при масштабных термодинамических параметрах .

- показатель адиабаты. В частности, адиабаты газа Ван-дер-Ваальса приведены в [n5].

, - число Рейнольдса. Параметр позволяет сопоставить влияние трения при скоростях диффузионных процессов с влиянием трения, возникающего при движении со звуковыми скоростями в среде с масштабной плотностью в масштабном объеме.

, - число Фруда. Параметр соотносит потенциальную энергию пробной массы при заданном тяготении на уровне масштабной высоты с кинетической энергией, которую приобретает эта масса, двигаясь со скоростью звука.

- коэффициент, характеризующий уклонение выбранного масштаба давления от давления совершенного газа при выбранных масштабах плотности и температуры.

- коэффициент, характеризующий уклонение квадрата скорости звука в совершенном газе при выбранном масштабе температуры от квадрата скорости звука исследуемого газа при масштабных термодинамических параметрах.

- число Прандтля. Формально, согласно [n7] , однако на практике параметр указывает отклонение этого отношения от единицы.

Так, рассмотренные ранее адиабатические градиенты давления, плотности и температуры в безразмерном виде соответственно выражаются соотношениями

,

,

.

Напомним, что здесь частные производные от функции , задающей уравнение состояния, вычисляются на адиабатических распределениях термодинамических параметров . Например, для совершенного газа, полагая , имеем

.

Механическое равновесие.

Пусть теперь в направлении оси задано линейное распределение температуры,

,

где обозначает температуру в центре области, заполненной газом (средняя температура), а величина определяет разность температур между верхней и нижней гранями (стенками) параллелепипеда. Найдем такие распределения давления и плотности , при которых газ внутри области сохраняет состояние покоя, то есть имеют место равенства

.

Распределения будем называть механическим равновесием газа. При механическом равновесии из системы уравнений динамики газа следует, что

,

откуда получаем обыкновенное дифференциальное уравнение относительно

.

Это уравнение является следствием разрешимости уравнения состояния относительно давления и дифференциального соотношения

.

При строгой надкритичности, то есть при условии , интегрирование уравнения для должно производиться с учетом условия сохранения массы

.

В случае если искомое распределение плотности и заданное распределение температуры в некоторой точке своей области определения достигают соответственно критических значений термодинамических параметров, то в этой точке должно удовлетворяться алгебраическое уравнение

.

Решения этого уравнения, вообще говоря, могут требовать дополнительных ограничений, как на параметры , так и на положение самой точки на отрезке .

В качестве примера рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение для определения плотности при механическом равновесии в совершенном газе. Полагая для определенности, что при строгой надкритичности , сделаем преобразование переменных . При , имеем

.

Линеаризованное равновесие.

Далее рассмотрим в направлении оси линейные распределения давления и плотности

,

где и обозначают средние значения давления и плотности в области, заполненной газом, а числа и - разности давлений и плотностей соответственно между верхней и нижней границами области. Предположим, что величины и , а также достаточно малы, то есть

.

Подставив распределения в уравнение для определения плотности при механическом равновесии, а также в дифференциальное следствие уравнения состояния, и удержав лишь члены первого порядка малости, получим систему линейных алгебраических уравнений

,

,

где частные производные от функции вычислены при средних значениях термодинамических параметров. Разрешая эту систему относительно , будем иметь

,

.

Совокупность функций назовем приближенным линейным равновесием (см., также [n5]) или линеаризованным равновесием газа. Видно, что линеаризованное равновесие определяется лишь средними значениями термодинамических параметров, сосредоточенными в центре области, заполненной газом, а также перепадом плотности между верхней и нижней стенками области и значением параметра .

Например, для совершенного газа при , имеем

,

.

В частности, при , .

Для газа Ван-дер-Ваальса при ,

,

.

При , имеем .

Возмущение линеаризованного равновесия.

Предположим, что в безразмерной системе уравнений динамики газа величина достаточно мала, то есть

,

и для определенности масштабы длины, времени скорости и давления выбраны так, что

.

Пусть теперь линеаризованное равновесие подвергается малым возмущениям

,

где - вектор возмущений скорости. Подставив возмущенное линеаризованное равновесие

,

в безразмерную систему уравнений динамики газа и удержав члены одинакового порядка малости, будем иметь систему уравнений в частных производных для возмущений в виде

,

,

,

.

Полученную систему уравнений назовем возмущенной системой уравнений динамики газа, а соответствующие уравнения этой системы будем называть возмущенными уравнениями состояния, баланса энергии, движения и неразрывности. Из возмущенных уравнений баланса энергии и движения следует, что в зависимости от соотношения порядков величин и различаются следующие случаи.

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Однородная среда в невесомости.

В первом случае, когда параметры и пренебрежимо малы по сравнению с величиной , будем считать, что возмущенные уравнения баланса энергии, движения и неразрывности имеют вид

,

,

.

Эти уравнения вместе с возмущенным уравнением состояния определяют малые изменения линеаризованного равновесия, в частности, когда газ с однородным распределением термодинамических параметров в области находится в невесомости.

Применив к возмущенному уравнению движения оператор Гамильтона, и использовав возмущенное уравнение неразрывности, получим уравнение

,

связывающее возмущение давления с возмущением плотности. Исключая из этого уравнения возмущение давления с помощью следствия воздействия на возмущенное уравнение состояния оператора Лапласа , и дифференцируя по времени полученный результат, придем к соотношению

.

Подставив в это соотношение следствие возмущенного уравнения баланса энергии в виде

,

где

,

получим дисперсионное (см., например, [n8]) дифференциальное уравнение в частных производных относительно возмущения температуры

.

Здесь

,

,

,

,

.

Видно, что при строгой надкритичности в центре области, заполненной газом, имеют место неравенства

.

Будем искать решения дисперсионного уравнения в виде

,

где

.

Подстановка указанного вида нетривиальных возмущений температуры в дисперсионное уравнение приводит к основному соотношению

.

Свободные теплоизолированные границы.

Проведем разделение переменных в основном соотношении, задавая волновые свойства газа в виде

.

Здесь символу предписывается принимать значения , а являются действительными числами. Общие решения приведенных выше обыкновенных однородных дифференциальных уравнений второго порядка представляются функциями

,

где - соответствующие произвольные постоянные. Для определения функции такой способ разделения переменных приводит к однородному обыкновенному дифференциальному уравнению третьего порядка

, .

Согласно выбранному представлению возмущений температуры соответствующие возмущения плотности, давления и скорости будем искать в виде

,

,

,

,

,

где

.

При этом из возмущенного уравнения баланса энергии для определения функции имеем неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Из возмущенного уравнения состояния следует, что функция имеет вид

.

Для определения функции из возмущенных уравнений движения получим неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Из предположения о том, что газ находится в ограниченной замкнутой области с твердыми непроницаемыми стенками, следует, что для функций должны выполняться граничные условия

,

которые являются граничными условиями теплоизоляции, отвечающими свободным граничным условиям (условиям непротекания) для соответствующих проекций возмущений скорости. Сопоставляя эти граничные условия с приведенными ранее общими решениями, придем к соотношениям

,

откуда следует, что

,

а функции имеют вид

,

где - произвольные постоянные.

Возвращаясь к дифференциальному уравнению, определяющему функцию , запишем соответствующее характеристическое уравнение

.

При , число перемен знака в ряду коэффициентов этого характеристического уравнения с учетом приведенных ранее свойств коэффициентов дисперсионного уравнения равно нулю, то есть все действительные корни уравнения отрицательны (правило Декарта, см., например, [n11]).

Замена переменных

,

позволяет получить приведенное характеристическое уравнение

,

где

,

,

с дискриминантом

.

При , все корни приведенного уравнения действительны, а, следовательно, все корни характеристического уравнения отрицательны, то есть возмущения скорости и термодинамических параметров имеют характер затухающих стоячих волн. В частности, если , функция имеет вид

,

где - отрицательные решения характеристического уравнения, а - произвольные постоянные.

При , приведенное уравнение имеет единственный действительный корень, и общее решение для обыкновенного дифференциального уравнения, определяющего функцию , может быть записано в виде

.

Здесь - отрицательный корень характеристического уравнения, а , его комплексные корни. Таким образом, в этом случае возмущения скорости и термодинамических параметров представляют собой совокупность затухающих стоячих волн и бегущих волн, изменение амплитуды которых зависит от знака действительной части комплексных решений характеристического уравнения. Возмущения, отвечающие условию , будем называть устойчивыми, а возмущения для которых - неустойчивыми.

Выясним условия затухания колебаний, присутствующих в приведенном выше общем решении. Пусть обозначает действительный корень приведенного характеристического уравнения, а - его комплексно-сопряженные корни. По формуле Кардана [n11]

;

.

Согласно проведенной ранее замене переменных имеем

.

Так как для затухания колебаний необходимо условие , то должно выполняться соотношение

,

откуда с учетом предыдущего неравенства, будем иметь условие устойчивости возмущений

.

Литература.

n1. Лойцянский жидкости и газа. М.: Наука, 1987, 840 с.

n2. и Кикоин физика. М.: Гос. Изд. Физ-мат. лит-ры, 1963, 500 с.

n3. B. Zappoli, A. Durand-Daubin. Heat and Mass Transport in a Near Supercritical Fluid., Phys. Fluid. 6, № 5, 1994, .

n4. Анисимов явления в жидкостях и жидких кристаллах. М.: Наука, 1987, 272 с.

n5. , , . Об условиях возникновения конвекции Рэлея-Бенара и теплообмене в околокритической среде. Изв. РАН, МЖГ №5, 2007, 30-46.

n6. . Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.-Л.: ГОНТИ, 1938, 456 с.

n7. . Общий курс физики. Т 2. М.: Наука, 1975, 552 с.

n8. , . Статистическая гидромеханика. Часть 1. М.: Наука, 1965, 640 с.

n9. Д. Джанколи. Физика. Т 1. М.: Мир, 1989, 653 с.

n10. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1969, 607 с.

n11. и . Справочник по математике. М.: Наука, 1967, 608 с.