Домашнее задание по дисциплине «Эконометрика» (стр. 12 )

5. Наряду с интервальным оцениванием линейной функции регрессии иногда представляет интерес построение доверительных интервалов для параметров этой функции, т. е. условного математического ожидания

,

в частности для и Можно показать, что, если случайная составляющая , характеризующая отклонение от функции регрессии, распределена по нормальному закону, то статистика

распределена по нормальному закону, а если в выражении

заменить ее оценкой ,то статистика

имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Поэтому интервальная оценка параметра на уровне значимости имеет вид:

.

С помощью этой формулы найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра :

или ,

т. е. с надежностью 0,95 при изменении мощности пласта на 1 м суточная выработка будет изменяться на величину, заключенную в интервале от 0,537 до 1,495 (т).

При построении доверительного интервала для параметра исходят из того, что статистика

имеет распределение с степенями свободы. Поэтому интервальная оценка дляна уровне значимости имеет вид:

.

С учетом соотношения возьмем из таблицы распределения , и по этой формуле найдем 95%-ный интервал для параметра :

или .

Таким образом, с надежностью 0,95 дисперсия возмущений заключена в пределах от 0,598 до 4,81, а их стандартное отклонение – от 0,773 до 2,19 (т).

6. Оценить значимость уравнения по на уровне можно двумя способами: а) с помощью таблиц распределения и б) с помощью таблиц распределения.

Способ а) основан на основной теореме дисперсионного анализа о том, что общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней равна сумме квадратов , обусловленной регрессией, и остаточной сумме квадратов , характеризующей влияние неучтенных факторов, т. е.

.

С учетом рассчитанных ранее сумм , вычислим необходимые суммы квадратов:

;

;

.

Уравнение регрессии значимо на уровне , если фактически наблюдаемое значение статистики

,

где табличное значение критерия Фишера-Снедекора, определенное на уровне значимости при и степенях свободы. Рассчитаем по этой формуле статистику:

.

Уравнение регрессии значимо, так как в соответствии с таблицей распределения , а .

Способ б) основан на том, что значимость уравнения линейной парной регрессии может быть проверена путем оценки значимости коэффициента регрессии, который имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Уравнение парной линейной регрессии или коэффициент значимы на уровне (иначе – гипотеза о равенстве параметра нулю, т. е. , отвергается), если фактически наблюдаемое значение статистики

больше критического (по абсолютной величине), т. е. . С учетом и рассчитанных ранее выражений и вычисляем:

.

По таблицам распределения находим . Так как , то коэффициент регрессии , а значит, и уравнение парной линейной регрессии по значимы.

7. Одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии (или, как говорят, мерой качества подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям ), характеристикой прогностической силы анализируемой регрессионной модели является коэффициент детерминации, определяемый по формуле:

.

Величина показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной.

Так как , то . Чем ближе к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии. Если , то эмпирические точки лежат на линии регрессии и между переменными и существует линейная функциональная зависимость. Если , то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных, и линия регрессии параллельна оси абсцисс.

Зная и , вычисляем .

Коэффициент детерминации можно определить из соотношения , где коэффициент корреляции :

.

Сведем все рассчитанные показателя в таблицу:

Наименование показателя	Результат расчета
Выборочное среднее переменной
Выборочное среднее переменной
Выборочная дисперсия переменной
Выборочная ковариация
Уравнение регрессии по
Коэффициент корреляции между переменными X и Y
Условное математическое ожидание
95%-ные доверительные интервалы	для
для индивидуального значения
для коэффициента регрессии
для стандартного отклонения
Оценка значимости уравнения по на уровне	с помощью распределения	уравнение значимо
с помощью распределения	уравнение значимо
Коэффициент детерминации

3. Результаты расчета

Результаты расчета представить в виде таблицы:

Наименование показателя	Результат расчета
Выборочное среднее переменной
Выборочное среднее переменной
Выборочная дисперсия переменной
Выборочная ковариация
Уравнение регрессии по
Коэффициент корреляции между переменными X и Y
Условное математическое ожидание
95%-ные доверительные интервалы	для
для индивидуального значения
для коэффициента регрессии
для стандартного отклонения
Оценка значимости уравнения по на уровне	с помощью распределения
с помощью распределения
Коэффициент детерминации

ОТВЕТЫ

на домашнее задание

Уравнение регрессии по ― : b1 = 1,016.

Коэффициент корреляции между и ― R = 0,866.

статистика ― F = 24,045.

статистика ― t = 4,902.

95%-ный интервал для параметра β1 регрессионной модели ― 0,538 ≤ β1 ≤ 1,4

Номер варианта	1	2	3	4	5	6	7	8
	1,1	9,9	1,3	9,7	1,5	9,5	1,7	9,3
	-3,030	-27,266	-3,580	-26,715	-4,131	-26,164	-4,682	-25,613
	10,3400	93,0600	12,2200	91,1800	14,1000	89,3000	15,9800	87,4200
	7,4800	67,3200	8,8400	65,9600	10,2000	64,6000	11,5600	63,2400
	1,81120	16,30080	2,14051	15,97149	2,46982	15,64218	2,79913	15,31287
	2,12540	19,12862	2,51184	18,74218	2,89828	18,35574	3,28471	17,96931
	3,280	265,716	4,582	255,088	6,100	244,678	7,835	234,484
	4,517	365,904	6,309	351,269	8,400	336,933	10,789	322,896
	5,9148	53,2328	6,9902	52,1574	8,0656	51,0820	9,1410	50,0066
	4,81141	43,30273	5,68622	42,42793	6,56102	41,55312	7,43582	40,67832
	7,01809	63,16284	8,29411	61,88683	9,57013	60,61081	10,84615	59,33479
	3,09196	27,82764	3,65413	27,26547	4,21631	26,70329	4,77848	26,14112
	8,73755	78,63793	10,32619	77,04929	11,91484	75,46064	13,50348	73,87200

Номер варианта	9	10	11	12	13	14	15	16
	1,9	9,1	2,1	8,9	2,3	8,7	2,5	8,5
	-5,233	-25,062	-5,784	-24,511	-6,334	-23,961	-6,885	-23,410
	17,8600	85,5400	19,7400	83,6600	21,6200	81,7800	23,5000	79,9000
	12,9200	61,8800	14,2800	60,5200	15,6400	59,1600	17,0000	57,8000
	3,12844	14,98356	3,45774	14,65425	3,78705	14,32494	4,11636	13,99563
	3,67115	17,58287	4,05759	17,19643	4,44402	16,81000	4,83046	16,42356
	9,787	224,507	11,956	214,747	14,342	205,204	16,944	195,878
	13,477	309,157	16,464	295,717	19,749	282,576	23,333	269,733
	10,2164	48,9311	11,2918	47,8557	12,3672	46,7803	13,4426	45,7049
	8,31062	39,80352	9,18543	38,92872	10,06023	38,05391	10,93503	37,17911
	12,12216	58,05878	13,39818	56,78276	14,67420	55,50674	15,95021	54,23073
	5,34066	25,57894	5,90283	25,01677	6,46501	24,45459	7,02718	23,89242
	15,09213	72,28335	16,68077	70,69471	18,26942	69,10606	19,85806	67,51742

Номер варианта	17	18	19	20	21	22	23	24
	2,7	8,3	2,9	8,1	3,1	7,9	3,3	7,7
	-7,436	-22,859	-7,987	-22,308	-8,538	-21,757	-9,089	-21,207
	25,3800	78,0200	27,2600	76,1400	29,1400	74,2600	31,0200	72,3800
	18,3600	56,4400	19,7200	55,0800	21,0800	53,7200	22,4400	52,3600
	4,44567	13,66633	4,77498	13,33702	5,10429	13,00771	5,43360	12,67840
	5,21690	16,03712	5,60333	15,65069	5,98977	15,26425	6,37621	14,87781
	19,764	186,768	22,800	177,876	26,054	169,200	29,524	160,742
	27,216	257,189	31,397	244,944	35,877	232,997	40,656	221,349
	14,5180	44,6295	15,5934	43,5541	16,6689	42,4787	17,7443	41,4033
	11,80984	36,30431	12,68464	35,42951	13,55944	34,55470	14,43424	33,67990
	17,22623	52,95471	18,50225	51,67869	19,77826	50,40267	21,05428	49,12666
	7,58936	23,33025	8,15153	22,76807	8,71371	22,20590	9,27588	21,64372
	21,44671	65,92877	23,03535	64,34013	24,62400	62,75148	26,21264	61,16284

Номер варианта	25	26	27	28	29	30	31	32
	3,5	7,5	3,7	7,3	3,9	7,1	4,1	6,9
	-9,639	-20,656	-10,190	-20,105	-10,741	-19,554	-11,292	-19,003
	32,9000	70,5000	34,7800	68,6200	36,6600	66,7400	38,5400	64,8600
	23,8000	51,0000	25,1600	49,6400	26,5200	48,2800	27,8800	46,9200
	5,76291	12,34909	6,09222	12,01978	6,42153	11,69047	6,75084	11,36116
	6,76264	14,49138	7,14908	14,10494	7,53552	13,71850	7,92195	13,33207
	33,211	152,500	37,115	144,475	41,236	136,667	45,574	129,076
	45,733	210,000	51,109	198,949	56,784	188,197	62,757	177,744
	18,8197	40,3279	19,8951	39,2525	20,9705	38,1770	22,0459	37,1016
	15,30905	32,80510	16,18385	31,93030	17,05865	31,05549	17,93345	30,18069
	22,33030	47,85064	23,60632	46,57462	24,88233	45,29861	26,15835	44,02259
	9,83806	21,08155	10,40023	20,51937	10,96240	19,95720	11,52458	19,39502
	27,80129	59,57419	29,38993	57,98555	30,97858	56,39690	32,56722	54,80826

Номер варианта	33	34	35	36	37	38	39	40
	4,3	6,7	4,5	6,5	4,7	6,3	4,9	6,1
	-11,843	-18,452	-12,393	-17,902	-12,944	-17,351	-13,495	-16,800
	40,4200	62,9800	42,3000	61,1000	44,1800	59,2200	46,0600	57,3400
	29,2400	45,5600	30,6000	44,2000	31,9600	42,8400	33,3200	41,4800
	7,08014	11,03185	7,40945	10,70254	7,73876	10,37323	8,06807	10,04393
	8,30839	12,94563	8,69483	12,55919	9,08126	12,17276	9,46770	11,78632
	50,128	121,702	54,900	114,544	59,888	107,604	65,094	100,880
	69,029	167,589	75,600	157,733	82,469	148,176	89,637	138,917
	23,1213	36,0262	24,1967	34,9508	25,2721	33,8754	26,3475	32,8000
	18,80826	29,30589	19,68306	28,43108	20,55786	27,55628	21,43266	26,68148
	27,43437	42,74657	28,71038	41,47055	29,98640	40,19454	31,26242	38,91852
	12,08675	18,83285	12,64893	18,27067	13,21110	17,70850	13,77328	17,14632
	34,15587	53,21961	35,74451	51,63097	37,33316	50,04232	38,92180	48,45368

Номер варианта	41	42	43	44	45	46	47	48
	5,1	5,9	5,3	5,7	5,5	1,2	9,8	1,4
	-14,046	-16,249	-14,597	-15,698	-15,148	-3,305	-26,990	-3,856
	47,9400	55,4600	49,8200	53,5800	51,7000	11,2800	92,1200	13,1600
	34,6800	40,1200	36,0400	38,7600	37,4000	8,1600	66,6400	9,5200
	8,39738	9,71462	8,72669	9,38531	9,05600	1,97585	16,13614	2,30516
	9,85414	11,39988	10,24057	11,01345	10,62701	2,31862	18,93540	2,70506
	70,516	94,374	76,155	88,084	82,011	3,904	260,375	5,314
	97,104	129,957	104,869	121,296	112,933	5,376	358,549	7,317
	27,4230	31,7246	28,4984	30,6492	29,5738	6,4525	52,6951	7,5279
	22,30747	25,80668	23,18227	24,93187	24,05707	5,24882	42,86533	6,12362
	32,53844	37,64250	33,81445	36,36649	35,09047	7,65610	62,52484	8,93212
	14,33545	16,58415	14,89763	16,02198	15,45980	3,37305	27,54655	3,93522
	40,51045	46,86503	42,09909	45,27638	43,68774	9,53187	77,84361	11,12052