Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет математики
Программа дисциплины Динамические системы и эргодическая теория
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
Авторы программы:
, д. ф.-м. н., *****@
, к. ф.-м. н., *****@***ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 201_ г.
Председатель
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2013 г.
Ученый секретарь _____________________
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
2 Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
Программа разработана в соответствии с:
· ГОС ВПО;
· Образовательной программой 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
· Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, специализации Математика, утвержденным в 2012 г
3 Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Динамические системы и эргодическая теория» являются освоение основных понятий и усвоение ключевых результатов, относящихся к различным разделам теории динамических систем и эргодической теории: теории гиперболических систем, изучении перекладываний отрезков и сходных систем, асимптотик эргодических интегралов, символической динамики, эргодической теории групповых действий.
4 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
· Знать основные понятия и результаты вышеуказанных разделов теории динамических систем и эргодической теории (гиперболическое множество, перекладывание отрезков, поток переноса на плоской поверхности, символическое кодирование, детерминантные меры и др.)
· Уметь решать различные конкретные задачи, относящиеся к этим разделам теории динамических систем и эргодической теории
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция | Код по ФГОС/ НИУ | Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата) | Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции |
умение формулировать результат | ПК-3 | Правильно воспроизводит чужие результаты, правильно формулирует собственные результаты | Формируется при работе на семинарах (обсуждение решённых задач домашних заданий с преподавателем) |
умение строго доказать утверждение | ПК-4 | Воспроизводит доказательства стандартных результатов, излагавшиеся на лекциях Решает задачи на анализ доказательств утверждений курса и на доказательство утверждений, близких к утверждениям курса | Формируется при работе на семинарах (обсуждение решённых задач домашних заданий с преподавателем) |
умение грамотно пользоваться языком предметной области | ПК-7 | Знает и свободно использует наименования основных понятий и результатов, относящихся к изучаемым в курсе разделам теории динамических систем и эргодической теории, может привести определения и формулировки этих понятий и результатов | Формируется в ходе прослушивания лекций и последующего продумывания изложенных результатов в ходе самостоятельной работы, а также при решении задач домашних заданий и их обсуждении с преподавателем |
знание корректных постановок классических задач | ПК-9 | Знает постановки классических задач, относящихся к изучаемым в курсе разделам теории динамических систем и эргодической теории | Формируется в ходе прослушивания лекций и последующего продумывания изложенных результатов в ходе самостоятельной работы, а также при решении задач домашних заданий и их обсуждении с преподавателем |
выделение главных смысловых аспектов в доказательствах | ПК-16 | Умеет выделить основные шаги в доказательствах основных результатов курса, указать их взаимосвязи, объяснить исходя из доказательства необходимость тех или иных условий в формулировках результатов | Формируется при изучении лекционного курса и последующем самостоятельном продумывании доказательств и при решении задач на анализ доказательств на семинарах и в домашних заданиях. |
5 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Для обучающихся по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, специализации «Математика» настоящая дисциплина является дисциплиной по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
· Математический анализ
· Динамические системы
· Дополнительные главы динамических систем
· Введение в теорию вероятностей
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:
· уверенное использование базовых понятий математического анализа: предел, производная, интеграл, равномерная и поточечная сходимость; знание их основных свойств; решение основных типов задач, связанных с этими объектами;
· знакомство с понятиями меры на множестве, интеграла Лебега, пространств Lp
· знание основных понятий и результатов теории вероятностей (случайная величина, функция и плотность распределения, математическое ожидание, дисперсия, виды сходимости случайных величин, закон больших чисел, центральная предельная теорема)
· знание базовых понятий теории динамических систем и эргодической теории (поток на фазовом пространстве, теорема Пуанкаре о возвращении, инвариантные меры, эргодичность)
6 Тематический план учебной дисциплины
№ | Название раздела | Всего часов | Аудиторные часы | Самостоятельная работа | ||
Лекции | Семинары | Практические занятия | ||||
1 | Ортогональные полиномиальные ансамбли | 34 | 6 | 8 | — | 20 |
2 | Унитарно-инвариантные эргодические | 33 | 8 | 6 | — | 19 |
3 | Перекладывания отрезков и потоки на плоских поверхностях | 36 | 8 | 8 | — | 20 |
4 | Детерминантные точечные случайные | 361) 322) | 8 | 81) 42) | — | 20 |
5 | Асимптотика эргодических интегралов3) | 411) 02) | 101) 02) | 101) 02) | — | 211) 02) |
Итого часов: | 1801) | 401) | 401) | 0 | 1001) |
Примечания
1) для студентов 3-го года обучения направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
2) для студентов 4-го года обучения направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
3) тема не входит в программу дисциплины для студентов 4-го года обучения
7 Формы контроля знаний студентов
Тип контроля | Форма контроля | 1 год | Кафедра | Параметры | |||
1 | 2 | 3 | 4 | ||||
Текущий | Контрольная работа | — | — | 6 | 4 | Письменные работы, | |
Промежуточный | Зачет | — | — | V | Письменная работа, | ||
Итоговый | Экзамен | — | — | V | Письменная работа |
7.1 Критерии оценки знаний, навыков
Текущий контроль проводится в форме письменных контрольных работ на неделе перед зачётом в первом модуле и на неделе перед экзаменом во втором модуле. При написании указанных работ разрешается пользование конспектами лекций и справочной литературой. Работа состоит из 3—4 задач, охватывающих все изученные к моменту контрольной темы курса. Оценка выставляется из расчёта 3 балла за каждую решённую задачу. При составлении варианта работы возможно указание другого числа баллов за некоторые задачи. Дробные баллы округляются в пользу студента.
При решении задач контрольной работы студент должен продемонстрировать уверенное владение основными понятиями и теоремами курса, методами решения задач.
Промежуточный контроль — зачёт в 3-м модуле — проводится в форме письменной работы. При написании указанной работы разрешается пользование конспектами лекций и справочной литературой. Работа состоит из 5—6 задач, охватывающих все изученные в третьем модуле темы курса. Оценка Озачет выставляется из расчёта 2,5 балла за каждую решённую задачу. При составлении варианта возможно указание другого числа баллов за некоторые задачи. Дробные баллы округляются в пользу студента.
При решении задач на зачёте студент должен продемонстрировать уверенное владение основными понятиями и теоремами курса и методами решения задач, изученными в 3-м модуле.
От зачёта освобождаются (с выставлением оценок «8», «9», «10») студенты, показавшие высокие результаты на контрольной работе и активно работавшие в течение модуля (сдававшие домашние задания и решавшие задачи у доски).
Итоговый контроль — экзамен в 4-м модуле — проводится в форме письменной работы. При его написании разрешается пользование конспектами лекций и справочной литературой. Работа состоит из 7 задач и теоретических вопросов, охватывающих все темы курса. Каждое задание оценивается в 2 очка. Оценка за экзамен вычисляется по формуле Oэкзамен = S – 3, где S —число очков за решённые задачи (дробные баллы округляются в пользу студента). Указанная оценка заменяется на 10 или 1 в случае, если величина Oэкзамен оказывается, соответственно, больше 10 или меньше 1.
Для получения положительной оценки на экзамене студент должен продемонстрировать усвоение основных понятий и теорем курса, знакомство с методами решения задач.
От экзамена освобождаются (с выставлением оценок «8», «9», «10») студенты, показавшие высокие результаты на контрольных работах и активно работавшие в течение семестра (сдававшие домашние задания и решавшие задачи у доски).
7.2 Порядок формирования оценок по дисциплине
3 модуль
Накопленная оценка в третьем модуле выставляется исходя из работы студента на семинарах и выполненных им домашних заданий: учитываются решения студентом задач у доски на семинарах, а также решения задач домашних заданий, сдаваемых студентом преподавателю (учебному ассистенту) в устной или письменной форме на семинарах. Каждая задача домашних заданий оценивается в 1 очко, решение задачи у доски — в 1,5 очка.
Оценка за аудиторную работу выставляется по формуле Оаудиторная = N/(0,75Nmax), где N — число набранных студентом очков, Nmax — максимальное число очков, которое возможно набрать за решение задач домашних заданий. Округление производится в пользу студента. Если вычисленная по формуле оценка выходит за границы диапазона 1…10, она заменяется ближайшей границей этого диапазона.
Порядок формирования оценки Отекцщий 3 за текущий контроль (письменную контрольную работу) указан в разделе 5.1.
Накопленная оценка за работу в первом модуле вычисляется по формуле
Онакопленная 3= 0,4 Оаудиторная 3 + 0,6 Отекцщий 3
Порядок формирования оценки за зачёт указан в разделе 6.1.
Промежуточная оценка за третий модуль равна
Опромежуточная 3 = 0,5 Онакопленная 3 + 0,5 Озачет
Округление производится до ближайшего целого, 0,5 балла округляется вверх.
4 модуль
Аудиторная работа в четвёртом модуле оценивается так же, как и в третьем.
В связи с тем, что студенты 4-го года обучения заканчивают обучение ранее, для них не проводится третья контрольная работа и оценка Отекцщий 4 равна оценке за вторую контрольную работу. Для студентов третьего года обучения оценка Отекцщий 4 вычисляется по формуле
Отекущий 4 = 0,5 Ок/р 2 + 0,5 Ок/р 3,
где Ок/р 2 и Ок/р 3 — оценки за вторую и третью контрольные работы. Округление производится до ближайшего целого, 0,5 балла округляется вверх.
Накопленная оценка за работу в четвёртом модуле вычисляется по формуле
Онакопленная 4 = 0,4 Оаудиторная 4 + 0,6 Отекцщий 4
Округление производится до ближайшего целого, 0,5 балла округляется вверх.
Итоговая накопленная оценка вычисляется по формуле
Онакопл. итог = (Опромежуточная 3 + Онакопленная 4) : 2
Округление производится до ближайшего целого, 0,5 балла округляется вверх.
Порядок формирования оценки за экзамен указан в разделе 5.1.
Результирующая оценка по дисциплине выставляется по формуле
Орезульт =0,7 Онакопл. итог + 0,3·Оэкзамен
Округление производится до ближайшего целого, 0,5 балла округляется вверх.
Результирующая оценка выставляется в диплом.
Студенту не предоставляется возможность повысить на зачёте или экзамене оценки за аудиторную работу.
Оценка за текущий контроль может быть повышена следующим образом. Если студент сдал экзаменационную (зачётную) работу не менее чем за 15 минут до окончания отведённого времени, он имеет право выбрать одну из не решённых им (решённых неверно) задач контрольной работы и получить задачу на ту же тему, решение которой он должен сдать до окончания времени, отведённого на экзамен. Очки за эту задачу добавляются к очкам, набранным на контрольной работе, и оценка за контрольную работу пересчитывается исходя из этой новой суммы очков по формуле, приведённой в разделе 6.1.
8 Содержание дисциплины
Раздел 1. Классические ортогональные полиномиальные ансамбли
Общее число часов по разделу:
лекции — 6 ч., семинары — 8 ч., самостоятельная работа — 20 ч.
Литература по разделу: [1]
Тема 1. Примеры: многочлены Чебышёва, Якоби, Лежандра, Лагерра, Эрмита
лекции — 2 ч., семинары — 3 ч., самостоятельная работа — 7 ч.
Тема 2. Рекуррентные соотношения, ядра Кристоффеля—Дарбу, формула Родрига, задача Штурма— Лиувилля
лекции — 2 ч., семинары — 3 ч., самостоятельная работа — 7 ч.
Тема 3. Асимптотические свойства классических ортогональных многочленов
лекции — 2 ч., семинары — 2 ч., самостоятельная работа — 6 ч.
Раздел 2. Унитарно-инвариантные эргодические меры
Общее число часов по разделу:
лекции — 8 ч., семинары — 6 ч., самостоятельная работа — 19 ч.
Литература по разделу: [3], [4]
Тема 4. Сферические представления
лекции — 2 ч., семинары — 2 ч., самостоятельная работа — 7 ч.
Тема 5. Тотально положительные функции
лекции — 2 ч., семинары — 2 ч., самостоятельная работа — 7 ч.
Тема 6. Теорема Пикрелла
лекции — 4 ч., семинары — 2 ч., самостоятельная работа — 5 ч.
Раздел 3. Перекладывания отрезков и потоки на плоских поверхностях
Общее число часов по разделу:
лекции — 8 ч., семинары — 8 ч., самостоятельная работа — 20 ч.
Литература по разделу: [6], [8]
Тема 4. Перекладывания отрезков. Индукция Рози—Вича
лекции — 3 ч., семинары — 3 ч., самостоятельная работа — 7 ч.
Тема 5. Плоские поверхности и потоки переноса
лекции — 2 ч., семинары — 3 ч., самостоятельная работа — 7 ч.
Тема 6. Зашнурованные прямоугольники Вича
лекции — 3 ч., семинары — 2 ч., самостоятельная работа — 6 ч.
Раздел 4. Детерминантные точечные случайные поля
Общее число часов по разделу:
лекции — 8 ч., семинары — 8 ч. (4 ч. для студентов 4-го года обучения),
самостоятельная работа — 20 ч.
Литература по разделу: [2], [5]
Тема 7. Конфигурации и меры
лекции — 2 ч., семинары — 2 ч., самостоятельная работа — 7 ч.
Тема 8. Теорема Макки-Сошникова
лекции — 3 ч., семинары — 2 ч., самостоятельная работа — 6 ч.
Тема 9. Бесконечные детерминантные меры
лекции — 3 ч., семинары — 4 ч. (0 ч.), самостоятельная работа — 7 ч.
Раздел 5. Асимптотика эргодических интегралов
(только для студентов 3-го года обучения)
Общее число часов по разделу:
лекции — 10 ч., семинары — 10 ч., самостоятельная работа — 21 ч.
Литература по разделу: [7], [9]
Тема 10. Символическое кодирование для потоков на плоских поверхностях
лекции — 2 ч., семинары — 3 ч., самостоятельная работа — 5 ч.
Тема 11. Асимптотические слоения на марковском компакте
лекции — 2 ч., семинары — 2 ч., самостоятельная работа — 5 ч.
Тема 12. Гёльдеровские коциклы
лекции — 2 ч., семинары — 3 ч., самостоятельная работа — 6 ч.
Тема 6. Асимптотика эргодических интегралов
лекции — 4 ч., семинары — 2 ч., самостоятельная работа — 5 ч.
9 Образовательные технологии
При работе на семинарах основную роль играет т. н. «система листков» — выдаваемых студентам домашних заданий («листков»), сдача которых происходит в форме индивидуального обсуждения решённых задач с преподавателем. При этом преподаватель имеет возможность варьировать глубину и стиль обсуждения, давая более сильным студентам возможность получить дополнительные знания по дисциплине, а менее сильным — хорошее понимание базовой части курса.
9.1 Методические рекомендации преподавателю
нет
9.2 Методические указания студентам
нет
10 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
10.1 Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы заданий для письменных контрольных работ.
1. Пусть весовая функция w(x) чётна, а отрезок (a, b) симметричен (т. е. a = –b), и пусть Pn(x) — ортогональные полиномы относительно этого веса. Докажите, что Pn(x) нечётен при нечётном n и чётен при чётном n.
2. Докажите, что перекладывание трёх отрезков (с неприводимой подстановкой) либо сопряжено с поворотом окружности, либо является отображением первого возвращения на некоторый отрезок для некоторого поворота окружности.
10.2 Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
1. Постройте граф Рози для перекладываний четырёх отрезков.
2. Какие последовательности отображаются в одну точку для рассмотренного в курсе символического кодирования аффинного автоморфизма Аносова тора?
3. Докажите, что почти любому бесконечному пути в графе Рози отвечает единственного перекладывание отрезков.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовый учебник
нет
11.2 Основная литература
[1] Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.
[2] . Детерминантные случайные точечные поля, УМН, 55:5(3, с. 107–160.
[3] . Унитарные представления бесконечных классических групп. Дисс. … докт. физ.-мат. наук, М., 1989. http://www. *****/upload/userpage/52/Olshanski_thesis. pdf
[4] Ergodic unitarily invariant measures on the space of infinite Hermitian matrices, in Contemporary Mathematical Physics. F. A. Berezin's memorial volume, American Mathematical Society Translations, Series 2, Vol. , 137-175.
[5] A. I. Bufetov. Infinite determinantal measures. arXiv: 1207.6793 http://arxiv. org/abs/1207.6793
[6] M. Viana. Dynamics of interval exchange maps and Teichmuller flows. (manuscript), http://w3.impa. br/~viana/out/ietf. pdf
[7] A. I. Bufetov. Finitely-additive measures on the asymptotic foliations of a Markov compactum. arXiv: 0902.3301 http://arxiv. org/abs/0902.3303
11.3 Дополнительная литература
[8] A. Zorich. Finite Gauss measure on the space of interval exchange transformations. Lyapunov exponents. Annales de l’Institut Fourier, 46:2 (1996), 325-370.
[9] , . Существование и единственность меры с максимальной энтропией для потока Тейхмюллера на пространстве модулей абелевых дифференциалов. Матем. сб. 202:7 (2011), 3-42.
11.4 Справочники, словари, энциклопедии
Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. . М.: Сов. энциклопедия, 1988.
Также рекомендуется использование онлайн-энциклопедии Wikipedia на английском и русском языках (http://en. wikipedia. org, http://ru. wikipedia. org).
11.5 Программные средства
не предусмотрены
11.6 Дистанционная поддержка дисциплины
не предусмотрена
12 Материально-техническое обеспечение дисциплины
не используется
