Системы поддержки принятия решений в образовании «Законы Бернулли, Пуассона, Маркова-Пойа»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет»

Факультет информационных систем и технологий

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

Пояснительная записка

к КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ на тему

«Разработка электронного обучающего модуля»

по дисциплине

СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

В ОБРАЗОВАНИИ

«Законы Бернулли, Пуассона, Маркова-Пойа»

СТУДЕНТА ГИП-104

			Подпись, дата	Расшифровка подписи
		ВЫПОЛНИЛ:
		студент		/ /
		Модуль сдан в библиотеку кафедры ПМ и ВТ
		Модуль размещен на портале ФИСТ
		ПРОВЕРИЛ:
		ОЦЕНКА		/ /

Самара 2007 г.

Оглавление

Введение
1	Текст изучаемого раздела
2	Конспект лекции для автора курсового проекта как для преподавателя
3	Презентация для лекции
4	Сценарий имитационного или мультимедиа-компонента учебного назначения
5	Тест для контроля усвоения учебного материала
6	Заключение
Библиографический список

Введение

Информационное общество кардинальным образом изменяет образовательную систему. Обучение все более приобретает дистанционный характер и распространяется в различных формах на всю жизнь человека. Даже в рамках традиционного очного обучения его технология существенно изменяется. Все большее значение начинает приобретать так называемое смешанное обучение, гибко сочетающее преимущества очной и дистанционной формы. Как указывают разработчики одной из наиболее развитых отечественных систем дистанционного обучения «Прометей» (Московский университет экономики, статистики и информатики), суть смешанной формы заключается в том, что образовательные Интернет-технологии используются в качестве поддержки традиционного очного образования. Студенты получают доступ к системе дистанционного обучения (СДО) университета, в которой находится весь учебный материал, встроена система тестирования, есть доступ к различным онлайн библиотекам и источникам. В смешанной форме обучения часть занятий может проводиться онлайн, некоторые контрольные мероприятия могут проводиться онлайн, а также могут использоваться возможности СДО для групповых коммуникаций при выполнении различных заданий, исследований и групповых проектов.

Их использование позволяет:

· оживляет материал и позволяет студенту «общаться» с ним;

· даёт больше интерактивности и стимулирует активное обучение;

· наглядно демонстрирует некоторые идеи, которые трудно объяснить на лекциях или просто в тексте;

· позволяет заглянуть внутрь изучаемых процессов посредством различных симуляций;

· развивает навыки самостоятельного обучения и самоконтроля ;

· позволяет студентам попробовать невозможные, опасные или дорогие сценарии и ситуации, такие как параллельные миры, радиационное оборудование и прочее.

Специалист по направлению «Информационные системы и технологии» должен уметь разрабатывать электронные обучающие модули различного назначения. Это вызвано тем, что где бы он ни трудился, ему предстоит непрерывно осваивать новые информационные системы и технологии и обеспечивать их применение сотрудниками соответствующих организаций, а это потребует их обучения. Если он сумеет организовать обучение наиболее эффективно, с использованием информационных технологий, это обязательно будет высоко оценено его начальством и скажется на карьерном росте.

Данная работа должна включать следующие разделы:

1)  текст изучаемого раздела для включения в методическое пособие для студентов;

Этот компонент должен содержать изложение учебного материала в виде печатного текста как в обычном типографском учебнике, допускающем цветные иллюстрации. Ясно, что легко было бы включить в него гипертекст, анимации, проверку усвоения материала, однако опыт показал, что все эти средства, как ни странно, на практике не приводят к повышению эффективности обучения на этапе первоначального изучения материала.

2)  конспект лекции для автора курсового проекта как для преподавателя;

Лектор не должен ограничиться лишь сообщением потоку учебного материала. Его задача – добиться, чтобы как можно большее число студентов, по крайней мере, наиболее сильные из них, почти полностью освоили материал. Следовательно, нужно включить в свою лекцию весь арсенал разработанных электронных обучающих ресурсов.

3)  презентацию для лекции;

Все студенты хорошо умеют создавать презентации, однако не все созданные ими презентации являются хорошими, т. е. в наибольшей степень способствуют достижению цели, для которой создаются. Разрабатывая презентацию для лекции, целесообразно придерживаться следующих рекомендаций.

4)  сценарий имитационного или мультимедиа-компонента учебного назначения для использования на лекции, или в лабораторной работе, или при самостоятельном изучении материала студентом и имитационный или мультимедиа-компонент учебного назначения с применением математического моделирования, графики, мультимедиа и т. п.;

Важнейшим и наиболее трудоемким компонентом электронного обучающего модуля является компьютерная программа, которая использует возможности программирования для повышения уровня усвоения обучаемым наиболее сложных элементов учебного материала. Для нее нужно выбрать наиболее сложную для понимания часть учебного материала и предусмотреть возможность многократного использования программы: на лекции, при самостоятельной работе студента, хорошо бы еще и в лабораторной работе.

5)  тест для контроля усвоения учебного материала;

В курсовом проекте от студента не требуется программной реализации теста, необходимо лишь разработать тестовый материал, т. е. вопросы теста с правильными ответами.

Текст изучаемого раздела

Схема Бернулли

Схемой Бернулли называется последовательность независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в одном испытании происходит с вероятностью , а неудача — с вероятностью .

Под независимостью в совокупности испытаний понимается независимость в совокупности любых событий, относящихся к разным испытаниям. В испытаниях схемы Бернулли, когда с одним испытанием можно связать только два взаимоисключающих события, независимость в совокупности испытаний означает, что при любом независимы в совокупности события успех в первом испытанииуспех в -ом испытании. Эти события принадлежат одному и тому же пространству элементарных исходов, полученному декартовым произведением бесконечного числа двухэлементных множеств :

Здесь буквами «у» и «н» обозначены успешный и неудачный результаты испытаний соответственно.

Обозначим через число успехов, случившихся в испытаниях схемы Бернулли. Эта величина может принимать целые значения от нуля до в зависимости от результата испытаний. Например, если все испытаний завершились неудачей, то величина равна нулю.

Теорема (формула Бернулли). Для любого имеет место равенство:

Доказательство. Событие означает, что в испытаниях схемы Бернулли произошло ровно успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию элементарных исходов:

когда первые испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна . Другие благоприятствующие событию элементарные исходы отличаются лишь расположением успехов на местах. Есть ровно способов расположить успехов на местах. Поэтому событие состоит из элементарных исходов, вероятность каждого из которых также равна

Распределение Пуассона

Случайная величина , которая принимает только целые неотрицательные значения, имеет закон распределения Пуассона с параметром , если

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины соответственно равны:

.

Случайную величину, подчиненную распределению Пуассона, обычно интерпретируют, как вероятность возникновения событий за некоторый интервал времени длины . Число появления событий на интервале времени длины подчинено распределению Пуассона, если события возникают так, что

независимы количества событий, произошедших на непересекающихся интервалах; если на некотором интервале времени длины произошло одно событие, то условная вероятность появления другого события на этом же интервале стремиться к 0 при ; вероятность появления события за малый интервал времени пропорциональна величине .

Распределение Пуассона позволяет аппроксимировать биномиальное распределение. При большом и малом справедливо соотношение:

,

где . Это приближение применяется при .

В качестве свойства распределения следует отметить, что сумма независимых случайных величин, каждая из которых имеет распределение Пуассона, распределена по закону Пуассона. Если независимые случайные величины, распределенные по закону Пуассона с параметрами соответственно, то случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром .

Функция вероятности Функция распределения

Пример. Составим ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

р(Х=0) = 1·(0,2)5 = 0,00032;

р(Х=1) = 5·0,8·(0,2)4 = 0,0064; р(Х=2) = 10·(0,8)2·(0,2)3 = 0,0512; р(Х=3) = 10·(0,8)3·(0,2)2 = 0,2048; р(Х=4) = 5·(0,8)4·0,2 = 0,4096; р(Х=5) = 1·(0,8)5 = 0,32768. Таким образом, ряд распределения имеет вид:

х	0	1	2	3	4	5
р	0.00032	0.0064	0.0512	0.2048	0.4096	0.32728

Распределение Маркова-Пойа.

Это распределение является обобщением одновременно и биномиального и гипергеометрического распределений и возникает оно в следующей урновой схеме. Рассмотрим следующий эксперимент. Из урны, содержащей первоначально a1 белых и a2 = a - a1 черных шаров, выбирается наугад (т. е. равновероятно) один шар, фиксируется его цвет и шар возвращается в урну с одновременным добавлением с новых шаров того же цвета. Затем из урны (содержащей теперь а + с шаров) снова производится случайное извлечение одного шара и повторяется тот же процесс. Здесь с может быть любым целым числом и, в частности, при с = 0 (новые шары не добавляются), мы имеем случайный выбор с возвращением, а при с = -1 (извлеченный шар в урну не возвращается) – схему случайного выбора без возвращения. При с > 0 эта схема выбора обладает эффектом последействия 6 если извлекается шар какого-то цвета, то шанс (вероятность) извлечь шар такого же цвета при следующем испытании возрастает.

Пусть обозначает число белых шаров, наблюдавшихся при n извлечениях. Распределение вероятностей этой случайной величины называется распределением Маркова-Пойа (обозначается L() = МП(n; a1, a2, c)) и имеет вид

 

Если воспользоваться биномиальными коэффициентами и учесть, что любого действительного а и натурального х

  и  ,

то формулу при с ≠ 0 (тогда числитель и знаменатель можно разделить на cn) можно записать также в любой из следующих двух форм:

 

Подчеркнем, что при с = 0 мы получаем биномиальное распределение Bi(n, p), (для схемы выбора с возвращением), а из второго представления при с = -1 – гипергеометрическое распределение H(a1, a2, n) (для схемы выбора без возвращения), так что распределение Маркова-Пойа включает в себя как частные случаи оба эти распределения.

Если L() = МП(n; a1, a2, c), то среднее и дисперсия имеют вид

  и   

Конспект лекции для автора курсового проекта как для преподавателя

Здравствуйте, сегодня на занятиях мы рассмотрим законы распределения:

Схема Бернулли

Схемой Бернулли называется последовательность независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в одном испытании происходит с вероятностью , а неудача — с вероятностью .

Под независимостью в совокупности испытаний понимается независимость в совокупности любых событий, относящихся к разным испытаниям.

Здесь буквами «у» и «н» обозначены успешный и неудачный результаты испытаний соответственно.

Теорема (формула Бернулли). Для любого имеет место равенство:

Доказательство. Событие означает, что в испытаниях схемы Бернулли произошло ровно успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию элементарных исходов:

когда первые испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна . Другие благоприятствующие событию элементарные исходы отличаются лишь расположением успехов на местах. Есть ровно способов расположить успехов на местах. Поэтому событие состоит из элементарных исходов, вероятность каждого из которых также равна

Распределение Пуассона

Случайная величина , которая принимает только целые неотрицательные значения, имеет закон распределения Пуассона с параметром , если

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины соответственно равны:

.

Распределение Пуассона позволяет аппроксимировать биномиальное распределение. При большом и малом справедливо соотношение:

,

где . Это приближение применяется при .

В качестве свойства распределения следует отметить, что сумма независимых случайных величин, каждая из которых имеет распределение Пуассона, распределена по закону Пуассона. Если независимые случайные величины, распределенные по закону Пуассона с параметрами соответственно, то случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром .

Функция вероятности Функция распределения

Пример. Составим ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

р(Х=0) = 1·(0,2)5 = 0,00032;

р(Х=1) = 5·0,8·(0,2)4 = 0,0064; р(Х=2) = 10·(0,8)2·(0,2)3 = 0,0512; р(Х=3) = 10·(0,8)3·(0,2)2 = 0,2048; р(Х=4) = 5·(0,8)4·0,2 = 0,4096; р(Х=5) = 1·(0,8)5 = 0,32768. Таким образом, ряд распределения имеет вид:

х	0	1	2	3	4	5
р	0.00032	0.0064	0.0512	0.2048	0.4096	0.32728

Распределение Маркова-Пойа.

Пусть обозначает число белых шаров, наблюдавшихся при n извлечениях. Распределение вероятностей этой случайной величины называется распределением Маркова-Пойа (обозначается L() = МП(n; a1, a2, c)) и имеет вид

 

Если воспользоваться биномиальными коэффициентами и учесть, что любого действительного а и натурального х

  и  ,

то формулу при с ≠ 0 (тогда числитель и знаменатель можно разделить на cn) можно записать также в любой из следующих двух форм:

 

Подчеркнем, что при с = 0 мы получаем биномиальное распределение Bi(n, p), (для схемы выбора с возвращением), а из второго представления при с = -1 – гипергеометрическое распределение H(a1, a2, n) (для схемы выбора без возвращения), так что распределение Маркова-Пойа включает в себя как частные случаи оба эти распределения.

Если L() = МП(n; a1, a2, c), то среднее и дисперсия имеют вид

  и   

Комментарии

1. Для обеспечения лучшего понимания материала использованы такие средства как примеры решения, таблицы, презентация к лекции и обучающее программное средство.

2. Использование электронных ресурсов для обучающего процесса позволяет повысить наглядность излагаемого материала, сократить время на объяснения, а также способствует лучшему усвоению материала.

3. Презентация способствует лучшему пониманию данного материала на лекции вследствие того что материал предоставляется в простой и наглядной форме с выделением основных и самых значимых частей лекции.

4. Используемая компьютерная программа способствует лучшему пониманию данного материала на лекции из-за того что она позволяет учащемуся в режиме взаимодействия с интерфейсом программы легче воспринять предлагаемый материал и соответственно быстрее его освоить.

5. Использование на лекции фрагментов теста позволяет учащимся записать, а впоследствии повторить пройденный материал и служить подсказкой для ответа.

Презентация для лекции

Сценарий имитационного или мультимедиа-компонента учебного назначения

Имитационная модель бросания 2-х игральных костей.

Программа рассчитывает с какой вероятностью выпадет сумма показателей игральных костей. Демонстрирует возможные комбинации выпадения игральных костей

Тест для контроля усвоения учебного материала

1. Схемой Бернулли называется:

1. последовательность независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода.

2.  последовательность зависимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода.

3.  последовательность независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможен один исход.

Ответ: 1

2. С какой вероятностью происходит успех в одном испытании

1.

2.

Ответ: 1

3.

1. Распределение Пуассона

2. Схема Бернулли

3. Распределение Маркова-Пойа

Ответ: 2

4.  Построить графики функций распределения для распределения Пуассона, биномиального и геометрического распределения

5.  С какой вероятностью происходит неудача в одном испытании

1.

2.

Ответ: 2

6.  Распределение Маркова-Пойа и имеет вид

1.

2.

Ответ: 1

7. Если L() = МП(n; a1, a2, c), то среднее и дисперсия имеют вид

1.

2.

Ответ: 2

8. Среди 2000 человек приблизительно 16 левшей. Какова вероятность того, что среди сотни наугад выбранных человек окажется хотя бы один левша

Заключение

Разработка электронного обучающего модуля является очень трудоемкой, но в то же время очень важной и востребованной деятельностью.

В наше время обучение все более приобретает дистанционный характер. А для того чтобы дистанционной обучение могло функционировать в полной мере, необходимо огромное количество обработанных с помощью специалистов в области информационных систем и технологий материалов.

Поэтому специалист по направлению «Информационные системы и технологии» должен уметь разрабатывать электронные обучающие модули различного назначения. Это также вызвано и тем, что где бы он ни трудился, ему предстоит непрерывно осваивать новые информационные системы и технологии и обеспечивать их применение сотрудниками соответствующих организаций, а это потребует их обучения. Если он сумеет организовать обучение наиболее эффективно, с использованием информационных технологий, это обязательно будет высоко оценено его начальством и скажется на карьерном росте.

Библиографический список

1	Пиявский поддержки принятия решений в образовании: Учебное пособие / , СГАСУ. – Самара, 2005 – 216 с.
2	Информационные системы и технологии в образовании: Методические указания к курсовому проектированию «Разработка электронного обучающего модуля» / составитель ; Самарск. гос. арх.-строит. ун-т. - Самара, 20с.
3	, Об урновой схеме Маркова Пойа: от 1917г. до наших дней. Обозрение прикл. и промышл. матем., 1996, т. 3, в. 4, с. 484 511.