Задания

Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R= 4 м, задается уравнением an = А + Bt + Ct2 (А = 1 м/с2, В = 6 м/с3, С = 9 м/с4). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t2 = 5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t1 = 1 с.

Дано
R= 4 м an = А + Bt + Ct2 А = 1 м/с2 В = 6 м/с3 С = 9 м/с4 t2 = 5 с t1 = 1 с.
aτ=? S=? a=?

Решение. Нормальное ускорение есть , где v ― скорость тела. Следовательно, скорость тела можно найти как

Тангенциальное ускорение есть первая производная скорости по времени: .

Полное ускорение .

Путь вычисляется интегралом:

Подставив значение t1=1, вычислим:

,

Подставив значение t2=5, вычислим

Ответ: S=85 м, ,

Груз массой 100 кг привязан к свободно свисающему концу веревки, намотанной на лебедку, находящуюся на крыше здания. Груз начинает падать, причем веревка натягивается в тот момент, когда груз пролем. После этого при помощи лебедки движение груза тормозится. Какую минимальную длину веревки необходимо смотать с барабана лебедки до полной остановки груза, если прочность веревки на разрыв 1800 Н?

Дано
m= 100 кг h = 12 м F=1800H
l=?

Решение. Груз пролетел некоторое время t в свободном полёте, под действием ускорения g, набрав скорость v:

, таким образом, скорость равна

Теперь эту скорость надо погасить так, чтобы не разорвать верёвку.

По второму закону Ньютона F=ma-mg, то есть, это ускорение а (или меньше) должно быть у груза, чтобы он затормозился и не порвал верёвку.

Таким образом, , таким образом, , откуда

Проверим размерность:

Вычислим:

Ответ: 14,3 м.

16. Человек, стоящий на неподвижной тележке, бросает вперед в горизонтальном направлении камень массой 2 кг. Тележка с человеком покатилась назад, и в первый момент после бросания ее скорость была равна 0,1 м/с. Вес тележки с человеком равен 100 кг. Найти кинетическую энергию брошенного камня через 0,5 с после начала его движения. Сопротивлением воздуха при полете камня пренебречь.

Дано
m= 2 кг U =0,1 м/с М=100 кг t=0,5 c
K=?

Решение. По закону сохранения импульса можно найти горизонтальную скорость камня в момент бросания:

MU=mυx, откуда

Эта компонента скорости не будет изменяться со временем, так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха

Однако камень будет не только лететь в горизонтальном направлении, но и падать на землю, его вертикальная скорость будет увеличиваться по закону

, следовательно, квадрат полной скорости есть

Тогда кинетическая энергия будет

Проверим размерность:

Вычислим:

Ответ: K = 49 Дж.

Баллистический маятник ― это маятник для определения скорости снаряда. Принцип его действия заключается в том, что снаряд, скорость которого следует измерить, ударяется в тело маятника (рис.12). Если известны условия удара и массы снаряда и маятника, то по углу отклонения маятника β можно вычислить скорость v снаряда до удара. Показать, как это сделать для следующих различных случаев: 1)-снаряд после удара застревает в маятнике; 2) снаряд отскакивает после удара со скоростью V назад; 3) снаряд падает вниз, потеряв свою скорость. Масса маятника М, кг, и масса снаряда m, кг, известны; маятник можно рассматривать как математический длины l.

Решение. Попав в маятник, пуля передаёт ему часть кинетической энергии и импульса. Кончик маятника приобретает некоторую скорость U и соответствующую кинетическую энергию, которая потом переходит в потенциальную , где h ― высота, которую можно определить из геометрических соображений: , следовательно, скорость, полученная маятником, связана с углом отклонения так:

Скорость U найдём из закона сохранения импульса, который соблюдается как при упругом, так и при неупругом столкновении.

Пусть снаряд после удара застрял в маятнике. Тогда закон сохранения импульса выглядит как mv=(M+m)U, т. е., , откуда, конечно, . Заметим, что ― можно выразить через половинный аргумент, т. е., .

Пусть снаряд отскочил со скоростью υ’ назад, и эту скорость можно измерить. Тогда закон сохранения импульса будет

, и тогда , и тогда

, откуда

В третьем случае, когда он после столкновения упал на пол, получается , откуда , и тогда , откуда

Шар массой 5 кг и радиусом 10 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр согласно уравнению φ(t)=A+Bt2+Ct3, где В=2 рад/с2, С=-0,5 рад/с3. По какому закону меняется момент сил, действующих на шар? Определите момент сил в момент времени 3 секунды

Дано
m=5 кг r= 0,1 м φ(t)=A+Bt2+Ct3 В=2 рад/с2 С=-0,5 рад/с3 t=3 c
M=? M(t)=?

Решение. Основное уравнение динамики для вращательного движения есть M=Jε, где ε ― угловое ускорение

,

J ― момент инерции, для шара он равен

Таким образом, искомый момент

Проверим размерность:

Вычислим:

Ответ: , М=-0,1 Н·м

Человек стоит на горизонтальной платформе и ловит рукой мяч массой m = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью v = 9,6 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси вращения платформы. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться платформа с человеком, поймавшим мяч? Суммарный момент инерции платформы и человека J=6 кг·м2.

Дано
m=0,4 кг r= 0,8 м υ=9,6 м/с J=6 кг·м2
ω =?

Решение. Используем здесь закон сохранения углового момента. Угловой момент летящего мяча можно выразить как L1=mυr, а угловой момент завертевшейся платформы ― L2=Jω

Таким образом, mυr= Jω, откуда

Проверим размерность:

Вычислим:

Ответ: 0,51 рад/с.

На какой угол надо отклонить однородный стержень, подвешенный на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня, чтобы нижний конец стержня при прохождении им положения равновесия имел скорость 5 м/с? Длина стержня 1 м

Дано
l=1 м υ=5 м/с
α =?

Решение. Используем здесь закон сохранения механической энергии. Пусть потенциальная энергия стержня, отведённого и поднявшегося на некоторую высоту h, превращается в кинетическую:

, где высота h ― это высота поднятия центра масс:

, центр масс находится на половине длины стержня

Момент инерции не является главным, т. к. точка подвеса не проходит через центр тяжести. В таком случае его надо вычислить по теореме Гюйгенса-Штейнера: , здесь ― главный момент инерции такого стержня.

Получаем или , так как υ=ωr

Таким образом, , откуда

Проверим размерность:

Вычислим: , арккосинус этого значения есть 81,39°

Ответ: 81°22'.