Уравнение

Решение:

Скорость – это производная от координаты по времени

Для первой точки

Для второй точки

Ускорение – это производная от скорости по времени

Для первой точки

Для второй точки

Как видим ускорения от времени не зависят от времени

Поскольку коэффициенты то приходим к выводу, что ускорения точек не сравняются никогда (при любом )

Дано

Решение:

Средняя скорость определяется как (1)

Учитывая, что , (1) можно переписать как

(2)

За условием задачи (3).

Если - это треть пути, значит он составляет половину оставшегося пути

(4)

Отсюда время движения первой трети пути (5)

Подставим (5) и (4) в (2), учитывая (3)

сократим это выражение на

Дано

Решение:

Угловая скорость – это производная от угла поворота по времени

(1)

Тогда нормальное ускорение в некоторый момент времени

а с учетом полученного выражения для угловой скорости (1)

найдем значение ускорения в указанный момент

Угловое ускорение – это производная от угловой скорости по времени

Тогда тангенциальное ускорение

В указанный момент времени значение ускорения

Как видно из рисунка полное ускорение связано с нормальным ускорением соотношением

подставим сюда выражение для тангенциального ускорения и нормального ускорения

Получим перепишем это равенство в виде отсюда момент времени

Подставим это значение времени в уравнение угла поворота

Искомый угол поворота рад

Дано

Решение

Угловая скорость – это производная от угла поворота по времени

(1)

В указанный момент угловая скорость равна

Линейная скорость точек обода

Угловое ускорение – это производная от угловой скорости по времени

Значение этого ускорения

нормальное ускорение в указанный момент времени

Тогда тангенциальное ускорение

В указанный момент времени значение ускорения

Дано

Решение

Выберем координатные оси как показано на рисунке. Укажем действующие на тело силы

Второй закон Ньютона в проекции на ось ОХ примет вид

(1)

Сила трения

Из равенства проекций сил на ось ОУ:

следует, что

подставим в первую формулу (1)

Отсюда ускорение

Вместе с тем ускорение по определению равно

Прировняем оба последних равенства

Получим отсюда искомая скорость

дано

Решение

за законом сохранения импульса или если массой пули пренебречь по отношению с массой мешка

откуда скорость мешка после удара пули равна

Кинетическая энергия тела (с учетом полученной скорости) в этот момент пойдет на придание потенциальной энергии телу

В силу закона сохранения энергии

откуда высота поднятия мешка

Утраченная кинетическая энергия

Искомая доля утраченной энергии

что соответствует 99,85%

Дано

Решение:

Определим сначала положение центра масс. Выберем горизонтальную координатную ось ОХ (мнимую) такую, что ее начало координаты совпадает с меньшим шариком. Тогда ее координата центра масс равна

поскольку как уже замечалось и очевидно то,

(1)

Момент инерции системы тел равен сумме моментов инерции каждого

подставим сюда (1)

Получим

Решение

Используем для решения закон сохранения момента импульса

(1)

Начальный момент инерции состоит из момента инерции диска и момента инерции человека

(2)

Конечный момент инерции состоит только из момента инерции диска и измененного момента инерции человека

(3)

Подставим (3) , (2) в (1)

Получим

отсюда искомое отношение

разделим числитель и знаменатель дроби на выражение

получим поскольку за условием то

угловая скорость возросла в 1,43 раза.

Дано

Решение:

Произведенная работа равна приобретенной маховиком кинетической энергии

Подставим сюда выражение для момента инерции маховика и угловую скорость, представленную через частоту оборотов

Получим

Дано

Решение

Начальная кинетическая энергия вращающегося шара

При увеличенной угловой скорости кинетическая энергия будет равна

Выполненная работа равна увеличению кинетической энергии

Подставим сюда угловую скорость, представленную через частоту оборотов и момент инерции шара

Получим

Учтем также, что масса шарика через плотность равна подставим ее в предыдущее равенство

Получим

Дано

Решение

Из закона Гука находим величину растяжения стержня.

(1)

Потенциальная энергия равна работе по растяжению

При малом растяжении работа равна

Зависимость приложенной силы от растяжения стержня за тем же законом Гука

подставим в предыдущую формулу

Получим

Проинтегрируем подставим сюда растяжение из (1)

Получим

Дано

Решение

Из закона Гука находим величину растяжения стержня.

(1)

Потенциальная энергия равна работе по растяжению

При малом растяжении работа равна

Зависимость приложенной силы от растяжения стержня за тем же законом Гука

подставим в предыдущую формулу

Получим

Проинтегрируем подставим сюда растяжение из (1)

Получим

Учтем что приложенная сила равна силе тяжести на груз и площадь сечения стержня

Дано

Решение

Средняя квадратичная скорость молекул

Если пылинки считать молекулами то их скорость

Отношение скоростей

Дано

Решение

Из уравнения состояния газа

Подставим сюда массу газа, выраженную через плотность

Получим отсюда тогда искомая плотность

Дано

Решение:

Поскольку в условии не сказано конкретно соотношение газов, то примем это отношение как в воздухе: 20% кислорода и 80% азота

Уравнение состояния газа

За условием

Имеем перепишем полученное равенство в виде

Выражение справа от знака равенства и есть искомая плотность

Дано

Решение

Внутренняя энергия этого газа

отсюда температура

Поскольку на вращательное движение двухатомной молекулы приходится 2 степени свободы, то кинетическая энергия одной молекулы

подставим сюда температуру с предыдущей формулы

Получим

Дано

Решение:

Молярная теплоемкость при постоянном объеме

Отсюда количество степеней свободы

- то есть газ двухатомный (это неудивительно для кислорода)

Поскольку

Найдем значение удельной теплоемкости

Молярная теплоемкость при постоянном давлении

Удельная теплоемкость

Дано

Решение

Молярная масса указанного газа

(1)

Из соотношения находим

То есть газ двухатомный

Поскольку

Аналогично для теплоемкости при постоянном объеме

Поскольку

Дано

Решение:

Работа газа при очень маленьком изменении объема

Из уравнения Менделеева-Клапейрона зависимость давления от объема

подставим его в предыдущую формулу и проинтегрируем

За условием =3

Поэтому

Дано

Решение:
начальное состояние запишем как

отсюда начальный объем

Аналогично конечный объем

Работа газа равна с учетом первых двух формул

(1)

Изменение внутренней энергии

Если сравнить это равенство с (1), то можно прийти к выводу

За первым законом термодинамики количество полученного газом тепла

Дано

Решение:

Масса азота равна

Подставим сюда выражение для коэффициента диффузии

Получим подставим сюда выражение для средней скорости

Придем к формуле

Дано

Решение:
коэффициент диффузии

(1)

Где - средняя скорость (2)

- средняя длина свободного пробега (3)

Подставим (3) и (2) в (1)

Получим

Подставим сюда значение концентрации молекул, которая с основного уравнения МКТ равна

Коэффициент внутреннего трения

сравним с выражением для коэффициента диффузии. получим

(4)

Здесь - плотность азота. Найдем ее из уравнения Менделеева-Клапейрона

отсюда подставим это выражение в (4) получим

Дано

Решение

Превращение проведем нагреванием потом плавлением потом нагреванием воды до кипения и испарением

Изменение энтропии при нагревании до температуры плавления льда

поскольку то

проинтегрируем

Здесь - удельная теплоемкость льда

- температура плавления льда

При плавлении льда изменение энтропии

При нагревании воды изменение энтропии находим аналогично как при нагревании льда

При испарении изменение энтропии

Суммарное изменение энтропии

Дано

Решение:

Изменение энтропии при малой передаче тепла

В нашем случае проходят два процесса: кристаллизация свинца и его охлаждение.

При первом процессе (температура постоянна) изменение энтропии

При втором процессе проинтегрируем

Общее изменение энтропии

Удельную теплоту плавления и удельную теплоемкость свинца находим из таблиц.

Температуры при подстановке переведем в абсолютную шкалу

Следует учесть, что здесь энтропия уменьшается