О структуре состояний реальности

О СТРУКТУРЕ СОСТОЯНИЙ РЕАЛЬНОСТИ

– г. Пермь

Изложена идея обобщенного описания любых объектов Реальности с использованием теории моделей. Описана структура состояний Реальности, как множеств с отношением строгого включения. Показано, что любым верхним полурешеткам соответствует минимум трехмерное метрическое пространство. В частности, это относится и к нашей вселенной. А мульти вселенная с ее «кротовыми норами», минимум четырехмерна.

Предисловие

Козьма Прутков говорил, что специалист стремится узнать все больше о все меньшем, пока не будет знать все ни о чем. А философ стремится знать о все большем все меньше, пока не будет знать обо всем ничего.

Предлагаемые идеи – типичное «обо всем ничего», тогда как современная физика – это все-таки больше «все ни о чем». Но мне кажется, что только непротиворечивое связывание разных «все ни о чем» с помощью «обо всем ничего» дает цельную картину реальности.

Оправдавшись этим, автор решился сформулировать некоторые идеи единого описания любой реальности. Первые сумбурные формулировки опубликованы в [1].

Введение

В основу единого описания любых явлений реальности предлагается положить две идеи:

А. «Вариантность» описания». В основе любой реальности, взятой самой по себе без всякого наблюдателя, лежит бесчисленное множество возможностей ее проявления. Из этого следует, что при едином описании любых явлений необходимо учитывать аспект виртуальности. И что для этого можно использовать теорию множеств.

Б. Структурная трехмерность описания (три базовых отношения). Множества явлений нужно как-то структурировать (иначе нет никакого описания). Любые структурные отношения – это частичные порядки. С другой стороны, множества с любой структурой должны удовлетворять алгебре множеств. Таким образом, искомые структурные отношения необходимо, так или иначе, связать с алгеброй множеств.

Как известно, существует три независимые операции алгебры множеств – объединение, пересечение и дополнение. Отсюда следует, что любую реальность можно попробовать описать, используя три независимых базовых отношения частичного порядка на некоторых множествах. Основное отношение теории множеств – включение. Это значит что, можно связать наши структурные базовые отношения с отношением включения.

Само включение плохо подходит для структурирования множеств явлений, так как оно задается, так сказать, на любой «куче» элементов. Поэтому выделим некоторое подотношение включения, обозначим его и будем считать первым базовым частичным порядком. Множества неких базовых элементов, на которых определено это отношение будут моделями с типом <2> [2]. На физическом языке будем называть эти модели структурами состояний реальности. Таким образом, состояния структурно одномерны в том смысле, что их структура задается одним отношением частичного порядка.

Второе базовое отношение для определенности обозначим . Оно должно удовлетворять следующим свойствам:

– задается на множествах базовых состояний (множества элементов мы уже структурировали);

– «ортогонально» отношению . Это значит, что если два состояния находятся в отношении , то они не могут находиться в отношении и наоборот;

– сохраняет структуру состояний по отношению . Если два состояния находятся в отношении , то их структуры по в чем-то подобны;

– выражается неким образом через обычное отношение включения множеств.

Множества состояний, на которых задано отношение (модели с типом <2, 2>) будем называть структурами явлений. Итак, явления структурно двухмерны (задаются двумя базовыми отношениями частичного порядка)[1].

Если среди множества рассматриваемых явлений существует единственное наибольшее явление, то его назовем миром. И это значит, что рассматривается множество явлений из этого мира.

Третье базовое отношение, естественно, обозначим . Оно также должно обладать четырьмя свойствами:

– задается на множествах явлений;

– «ортогонально» двум, ранее определенным отношениям;

– сохраняет структуры явлений по их базовым отношениям и ;

– является подотношением включения множеств.

Отношение определяет понятие вариантов явлений и отвечает за аспект виртуальности при описании этих вариантов. В частности, пусть задан некий мир . Множество всех его математически возможных вариантов назовем бытием этого мира. А множество всех вариантов «всего сущего» назовем всеобщим бытием.

Структура бытия является моделью с типом á2,2,2ñ и предлагается в качестве общей структуры любой реальности. В предполагаемом цикле работ автор пытается показать, что указанная модель не совсем бесцельное «все ни о чем» и из нее уже на самом общем уровне вытекают некоторые содержательные интерпретации. В частности, базовому отношению соответствует понятие пространства, отношению соответствует понятие времени, а – понятие степени проявления или виртуальности базовых явлений. Определяются условия трехмерности пространства вселенной и одномерности времени.

Данная стартовая работа посвящена описанию состояний и выводу свойств пространства из структуры состояний. В частности, метрическая размерность пространства мира зависит от возможности упорядочения состояний этого мира. Во второй части свойства времени выводятся из структуры явлений. В третьей части вводится понятие структуры бытия и его проявления через множества виртуальных вариантов явлений. Это позволяет, в частности, интерпретировать парадоксы квантовых измерений и необратимость времени, а также привести дополнительные доводы в пользу вакуумной интерпретации природы черной энергии.

Основное внимание уделяется не строгости изложения, а описанию основных понятий и идей.

Математические свойства структур состояний

1.1. Состояния. Обозначим через множество некоторых базовых элементов (удовлетворяющее аксиоме выбора [2]). Будем рассматривать множества , порождаемые над таким образом, что каждый элемент из может повторяться в произвольное число раз (возможно несчетное число раз, а возможно ни разу). Для дискретных множеств в качестве примера можно привести систему счисления или тексты в некотором алфавите.

Семейство всех множеств, порождаемых указанным образом над , обозначим через . Его мощность больше мощности и больше мощности множества всех подмножеств из (например, множество всех бинарных последовательностей имеет мощность континуума) [5]. В существует наибольший элемент (объединение всех множеств из ). Это значит, что все множества из будут подмножествами . Если семейство всех подмножеств из обозначить через , то .

Через обозначим семейство всех подмножеств указанного типа из .

Состояние определим как модель . Здесь , – первое базовое отношение (подотношение теоретико-множественного включения), заданное на семействе подмножеств из , – семейство отношений полного порядка в , называемых свойствами состояний. Каждому сопоставляется множество порядковых чисел , называемых значениями свойства . А каждому конкретному множеству соответствует подмножество значений свойства (в частности, единственное значение).

Далее будут рассматриваться только правильные отношения и частичные порядки [5]. В частности, правильным считается и отношение .

С точки зрения структуры состояний, определяемой отношением , свойства являются внешними отношениями, но в принципе их можно свести к «тонкой» структуре состояний, задаваемой не базовыми структурными отношениями. Легко видеть, что свойства можно считать и отображениями с множества состояний на трансфинитный отрезок.

Модель будем называть структурой состояния . Бесструктурные состояния описываются только свойствами.

1.2. Об алгебре состояний. Обозначим через множество всех состояний, порождаемых в с помощью (в общем случае не каждое множество образует состояние с помощью ).

Пусть и – состояния. Состояние есть объединение состояний и тогда и только тогда, когда:

– (обозначения по [2]);

– определено на семействе подмножеств из и . При этом на семействе подмножеств из совпадает с , на семействе подмножеств из совпадает с (а на пересечении этих семейств совпадают все три отношения);

– такие, что на совпадает с , на совпадает с , а на их пересечении заданы оба свойства, т. е. , если и разные. А если все свойства заданы на соответствующих множествах, то, видимо, и для каждой пары существует с указанным выше условием.

Объединение состояний будем обозначать, как и объединение множеств: (аналогично, обычным образом обозначим и пересечение состояний, то есть ).

Пусть снова и – состояния в . Состояние есть пересечение состояний и тогда и только тогда, когда:

– ;

– определено на семействе подмножеств из и , на семействе подмножеств из все три отношения совпадают, а вне не определено;

– такие, что на , а вне не определено.

Далее, дополнение к состоянию в состоянии есть состояние , такое, что:

– ; на совпадает с , а на не определено ( означает дополнение к в );

– каждому взаимнооднозначно соответствует так, что на совпадает с , а на не определено.

Обозначим дополнение состояний как и дополнение множеств символом «\», то есть, . Легко видеть, что если , то и .

Состояние будет подсостоянием состояния , если , (т. е. на семействе подмножеств из совпадает с , а на семействе подмножеств из не определено) и каждому взаимнооднозначно соответствует так, что на совпадает с , а на не определено.

Из сказанного следует, что базовому отношению взаимно-однозначно соответствует отношению включения состояний. Включение состояний будем обозначать символом . Отношение задано на множествах из , а отношение задано на состояниях из , носителями которых являются множества из . Ясно, что все сказанное верно, если за базовое отношение взять , но тогда ему будет соответствовать отношение .

Легко видеть, что выполняются основные тождества алгебры множеств. Например, если , то . А если , то . Если же , то .

Если в существует единственное наибольшее состояние (что не обязательно), то все состояния из по определению будут подсостояниями состояния .

1.3. О классификации состояний. По разному определяя отношение над множеством элементов , а также изменяя само множество можно получить разные семейства состояний . Рассмотрим с этой точки зрения некоторые более конкретные классы состояний:

Ограниченные состояния. Частичный порядок, в том числе состояние, называется неограниченным сверху, если он не имеет максимальных элементов и неограниченным снизу, если он не имеет минимальных элементов. В противном случае порядок будет ограниченным (сверху или снизу или с обеих сторон).

Объединение двух порядков ограничено, если ограничены оба объединяемых порядка. Пересечение порядков будет ограниченным, если ограничено хотя бы одно из пересекаемых порядков.

Квазирешетки. Состояние назовем квазирешеткой [5], если любая пара подмножеств из (то есть пара элементов из ) сравнима по эквивалентности в . Из этого следует, что любая пара подсостояний из сравнима по в . Если квазирешетка имеет минимальные элементы, то ее можно назвать нижней (и тогда она ограничена снизу). А если она имеет максимальные элементы, то – верхней (и тогда она ограничена сверху).

Пусть наше базовое отношение задано так, что множество состояний включает только квазирешетки. Тогда алгебру состояний на нужно задавать так, чтобы объединение, пересечение и дополнение квазирещеток снова было квазирешетками.

Не любое подсостояние квазирешетки будет квазирешеткой. В частности, пусть , где и , и , на подмножествах из и на подмножествах из совпадают с . Но пусть , а и не сравнимы между собой по в системе подмножеств из (то есть и не сравнимы по в ). Тогда любая пара подмножеств, одно из , а второе из , будет не сравнима по эквивалентности в системе подмножеств . Хотя они сравнимы по в более мощной системе подмножеств .

Пересечение и дополнение квазирешеток не обязательно будет квазирешеткой. Например, оно может свестись к бесструктурному состоянию .

Объединение квазирешеток и будет квазирешеткой тогда и только тогда, когда в существует подмножество и в существует подмножество сравнимые по в (в частности, могут быть сравнимы элементы и ). Это значит, что и сравнимы по в или сравнимы по в .

Верхние и нижние полурешетки [2]. Для определенности рассмотрим верхние полурешетки

Объединение состояний – верхних полурешеток и будет верхней полурешеткой тогда и только тогда, когда и сравнимы по (как верхние границы для всех своих подмножеств).

Не любое подсостояние полурешетки и не любое пересечение и дополнение полурешеток является полурешеткой. Верхние полурешетки по определению ограничены сверху, а нижние – снизу.

Можно обобщить понятие полурешетки на неограниченные порядки [5]. Например, в «неограниченной сверху верхней полурешетке» любые два элемента либо имеют верхнюю грань, либо от обоих существуют неограниченные цепочки по базовому отношению

Решетки [2]. Решетки ограничены сверху и снизу. Объединение состояний – решеток и будет решеткой тогда и только тогда, когда и сравнимы по , а также и их наименьшие элемениы сравнимы по .

Как и выше, не любое подсостояние решетки будет решеткой и не любое пересечение и дополнение решеток снова будет решеткой.

Линейные и полные порядки [2]. Объединение линейных (полных) порядков и будет линейным (полным) порядком если любой элемент из сравним хотя бы с одним элементом из по . Это требует чтобы базовое отношение одного состояния было определено, по крайней мере, на некоторых элементах другого состояния.

Как и выше не любое пересечение и дополнение линейных и полных порядков будет порядком того же типа. Полный порядок по определению всегда ограничен снизу, линейный порядок может быть неограниченным.

2. Трансфинитная размерность структур состояний.

2.1. Верхние полурешетки. Трансфинитная размерность структур состояний легко определяется в соответствии с [5] при замене отношения на и элементов на состояния из . Вводим алгебраические полуокрестности и окрестности состояния в частичном порядке и вполне упорядоченную их систему. А затем вводим соответствующие трансфинитные числа.

В частности, для верхних полурешеток с наибольшим состоянием . Тогда три трансфинитных «расстояния» – относительное расстояние от наибольшего состояния , расстояние от начального состояния на границе и расстояние до предыдущего состояния однозначно определяют положение состояния в структуре состояния . Они позволяют однозначно определить отношение (и вполне упорядочить множество пар этого отношения). Все сказанное справедливо для любого состояния и любого его подсостояния, являющихся верхними полурешетками.

Выше трансфинитные расстояния в верхней полурешетке определялись с точностью до структуры. На самом деле разные состояния могут иметь одинаковую структуру и отличаться только значениями свойств. Тогда это должно быть учтено при определении расстояний. Иначе говоря, можно оговорить о «структурных» (определяемых с точностью до структуры), «параметрических» (определяемых по множеству значений свойств при одинаковой структуре) и «консолидированных» (объединенных) расстояниях.

В таком случае число является «структурным трансфинитным расстоянием», а остальные могут быть и структурными и параметрическими. Отметим, что «структурные» и «параметрические» расстояния имеют разную природу и их нельзя консолидировать «напрямую». В частности, они могут иметь разную мощность. Но здесь вопросы такого рода рассматриваться не будут. Иначе говоря, будут рассматриваться только структуры состояний .

Аналогично, не рассматриваются случаи, когда «структурные» расстояния для разных состояний (или разные числа для одного состояния) имеют разную мощность.

На наибольшей границе верхней полурешетки, ограниченной снизу, находятся элементарные бесструктурные состояния, отличающиеся только элементами и значениями свойств. Поскольку индекс элемента тоже свойство, то состояния наибольшей границы отличаются только значениями свойств. Поэтому расстояния на этой границе определяются только по различающимся сочетаниям значений свойств, т. е. являются параметрическими.

Поскольку верхние полурешетки ограничены сверху, то число всегда существует. Что касается двух других чисел, то они существуют, если существует наблюдатель, который может выделить начальное состояние и упорядочить состояния на всех границах. Нижние полурешетки описываются аналогично верхним. Решетки также однозначно представляются тремя порядковыми числами.

Используя указанные числа, можно во многих случаях ввести обычное метрическое расстояние на множестве и превратить структуру состояния в метрическое пространство [5]. В более общих случаях будем говорить о трансфинитном расстоянии и трансфинитном пространстве.

Отметим еще раз, что если число определяется базовой структурой наибольшего состояния , то , и задаются внешними способами упорядочения состояний. Все эти способы эквивалентны с точки зрения базовой структуры состояний. Внешние способы упорядочения эквивалентны также явному или неявному введению наблюдателя, который и определяет начальное состояние и свойство или набор свойств для упорядочения (и часто сам является началом отсчета). Заметим, что наблюдатель в данном контексте это просто внешний для базового отношения инструмент выбора свойств и упорядочения состояний границы.

В указанном выше смысле трансфинитное пространство «субъективно». Его размерность определяется возможностями наблюдателя по упорядочению состояний границ . Иначе говоря, в множестве свойств , заданных на , должен существовать набор свойств , позволяющий однозначно выделить любое состояние на -границе и задать его «место» на этой границе.

В отличие от сказанного, кардинальные числа, задающие мощность множества элементов окрестности и мощность множества «родителей» состояния, полностью определяются структурой множества состояний и не требуют введения наблюдателя.

Пусть теперь наблюдатель не имеет возможности вполне упорядочить состояния на границах окрестностей Но пусть для всех -границ существует частичный приоритет состояний , который является верхней полурешеткой. Тогда в соответствии с [5] трансфинитное расстояние будет пятимерным. Ясно, что можно «гнать зайца дальше в лес» и предполагать, что границы окрестностей по частичному приоритету снова нельзя вполне упорядочить, но можно ввести частичный приоритет и т. д.

Пусть теперь включает множество правильных полурешеток, не связанных между собой отношением включения состояний. Каждой отдельной полурешетке соответствует минимум трехмерное пространство. Если вполне упорядочить такие полурешетки неким (внешним для ) способом, то частичный порядок можно формально превратить не менее чем в четырехмерное метрическое пространство.

Но такое внешнее упорядочение не сравнимых структур состояний равносильно установлению между ними субъективного отношения полного порядка (полного приоритета). Если же такое полное упорядочение невозможно, то можно попробовать определить на семействе полурешеток некий частичный приоритет или их последовательность (как это описано выше). Таким образом, размерность семейства верхних полурешеток может расти по двум направлениям: по способу упорядочения верхних полурешеток и по способам упорядочения границ в каждой отдельной полурешетке. Тогда общая размерность пространства .

Глядя на только что введенные частичные приоритеты легко понять, что в множестве свойств существуют многомерные свойства, определяемые не полными (частичными) порядками. И что трехмерное или -мерное трансфинитное расстояние, описанное выше, является примером такого свойства.

2.3. Квазирешетки. Сначала рассмотрим такое семейство квазирешеток , которое можно представить как объединение верхних полурешеток, связанных между собой эквивалентностью . В таком семействе существует единственная наибольшая квазирешетка с множеством максимальных элементов.

Положение конкретного состояния в указанном семействе задается как минимум четырьмя порядковыми числами: три числа определяют состояние в конкретной верхней полурешетке и четвертое число – расстояние от данной полурешетки до выделенной (нулевой) полурешетки. Так как полурешетки в квазирешетке упорядочиваются наблюдателем, то все числа существуют. Структуре такого семейства соответствует как минимум четырехмерное метрическое пространство. Если же полное упорядочение невозможно, то получаем те же направления роста размерности , что и выше, и ту же общую формулу подсчета размерности пространства.

В соответствии с [5] «неограниченные полурешетки» также представляются не менее чем четырьмя расстояниями и это имеет большой физический смысл.

2.4. Линейные и полные порядки. Неограниченному сверху и снизу правильному линейному порядку нельзя приписать трансфинитное число (но можно приписать порядковый тип – «число», начинающееся с бесконечности и заканчивающееся в бесконечности). С другой стороны, пусть в неограниченном линейном порядке можно выделить некоторое состояние как начало отсчета и представить неограниченный линейный порядок в виде объединения двух пересекающихся ограниченных порядков. При этом один из объединяемых порядок будет ограничен снизу, а второй сверху.

Таким образом, правильный неограниченный линейный порядок можно представить двумя трансфинитными числами. Только в одном из порядков необходимо заменить отношение на обратное. Но одно число при этом будет бинарным (принимает значения +1 и -1)

Полные порядки всегда ограничены снизу. Поэтому им по определению можно сопоставить одномерное трансфинитное пространство.

3. Структурная энтропия состояний

Вернемся к множеству состояний – верхних полурешеток с наибольшим состоянием по отношению . Положение конкретного состояния в полурешетке задается не менее чем тремя трансфинитными индексами, которые выше названы расстояниями. Два из этих индексов требуют внешнего «доупорядочения» состояний в . В отличие от этого, кардинальные числа, определяющие мощность соответствующих множеств, более «объективны» (не требуют внешнего «доупорядочения»).

Но кардиналы чаще всего бесконечны, и с ними трудно работать. Поэтому нужно использовать порядковые числа, соответствующие указанным кардиналам. В качестве первого индекса возьмем наибольшее расстояние (индекс наибольшей границы). В качестве второго – наибольшее расстояние от начала отсчета , а в качестве третьего – наибольший индекс непосредственной нижней полуокрестности состояния в (а не верхней, как для расстояния ). Назовем структурным размером состояния в , – структурным размером -границы , – структурным размером непосредственной нижней полуокрестности состояния с индексами .

Если расстояния являются сравнительными характеристиками разных состояний из , то размеры – это внутренние характеристики конкретного состояния. Взятые вместе они характеризуют мощность отношения для этого состояния. Например, они максимальны для состояния, на котором отношение совпадает с включением множеств. Как и для расстояний можно говорить о консолидированных размерах, учитывающих различие состояний с одинаковой структурой, но разными значениями свойств.

Целесообразно ввести одномерное свойство состояния на основе введенных выше размеров, которое назовем структурным разнообразием состояний. В конечном случае это будет количество пар отношения . Для счетных множеств , если указанные суммы не расходятся. Здесь – размер границы непосредственной нижней полуокрестности подсостояния с с индексами в состоянии . Чтобы увеличить сходимость сумм целесообразно рассматривать относительное разнообразие состояний, нормированное на 1 [2].

Эквивалентными назовем состояния взаимнооднозначно и изоморфно соответствующие друг другу. А под изоморфными в контексте данной статьи будем понимать состояния с одинаковым разнообразием.

В случае состояний с размерами мощности континуума вместо сумм будут интегралы. Если есть как дискретные, так и непрерывные подсостояния в , то будут присутствовать и сумма и интеграл. Если мощность состояний больше континуума, то необходимо определить понятие «интеграла» таких множеств порядковых чисел. А если используются консолидированные расстояния и размеры, то и разнообразие будет консолидированным.

Выше предполагалась возможность полного упорядочения подсостояний на границах полурешетки . Если можно задать только частичные приоритеты на -границах, то алгоритм определения разнообразия удлинится. Пусть все эти приоритеты будут верхними полурешетками и состояния на их границах уже можно вполне упорядочить. Тогда, как известно, трансфинитное расстояние будет пятимерным.

В соответствии с этим можно определить пять размеров:

– – размер -границ состояния в ;

– – размер -границ на одной -границе состояния ;

– – размер одной -границы (имеющей индекс );

– – размер -границ в непосредственной нижней полуокрестности (ННП) состояния по отношению ( принадлежит -границе и имеет индексы ());

– – размер одной -границы, принадлежащей НПП состояния ;

Суммируя или (и) интегрируя последний размер по всем вышележащим индексам можно получить общее разнообразие пятимерной (в трансфинитном смысле) верхней полурешетки . Легко обобщить процедуру определения одномерного разнообразия верхней полурешетки с -мерным пространством.

Разнообразие структуры любого не упорядоченного множества равно нулю (отсутствуют непосредственные верхние и нижние полуокрестности). Разнообразие одной бинарной составляющей структуры равно 1.

Более общие случаи множества состояний здесь рассматривать не будем. Рассмотрим лучше некоторое множество состояний . Пересечение всех состояний из , если оно существует и является состоянием, естественно назвать инвариантом множества . В свою очередь, объединение всех состояний из назовем базовой средой этого множества состояний. А дополнение к инварианту в базовой среде назовем хаосом множества : . В частности, имеет смысл рассматривать инвариант, базовую среду и хаос границ в верхней полурешетке ,а также состояния в целом.

Введем операцию деления порядковых чисел следующим образом: (произведение порядковых чисел определяется в [2]). Тогда структурной энтропией множества состояний назовем величину . Структурная энтропия является мерой различия состояний друг от друга во множестве (хаоса множества на единицу порядка).[3]

Инвариант множества состояний может быть пустым (например, для множества подсостояний состояния). Поэтому энтропию такого множества в целом определим через сумму или (и) интеграл по энтропии всех -границ этого множества, деленную на разнообразие границ.

Некоторые множества состояний в , в которых имеет смысл рассматривать хаос инвариант и структурную энтропию:

– -граница состояния в ;

– сквозной отрезок от состояния «в низ» в . Т. е. вполне упорядоченное по множество, начинающееся от . У него размеры всех границ и всех ННП равны 1;

- множество подсостояний некоторого состояния.

4. Полностью заполненные состояния и множества

Рассмотрим вопрос о состояниях с наибольшим разнообразием и о множествах состояний с наибольшим суммарным разнообразием. Состояние будет иметь наибольшее разнообразие если размер границ, размер подсостояний на каждой границе и размер ННП каждого подсостояния будут максимально возможными. Таким образом, чем ближе отношение к теоретико-множественному включению , тем больше его разнообразие. И еще необходимо учесть сочетания значений свойств состояний.

Состояние назовем полностью заполненным, если:

– задано на и эквивалентно отношению строгого включения произвольных множеств;

– на каждой -границе присутствуют все сочетания возможных значений свойств, заданных для множеств состояний из данной границы. Последнее означает, что каждый вариант структуры каждого подсостояния из встречается на этой границе столько раз, сколько существует возможных сочетаний значений свойств состояний из этой границы.

Множество состояний , построенных с помощью носителей из , назовем полностью заполненным, если в присутствуют все математически возможные варианты структур состояний, которые можно построить, используя , все варианты отношения и все математически возможные сочетания значений свойств состояний.

Ясно, что способ порождения семейства множеств позволяет строить полностью заполненные состояния и полностью заполненные множества состояний. Реально полностью заполненные состояния (и тем более, полностью заполненные множества состояний) не встречаются. Тем не менее, в дальнейшем нам придется изучать такие множества состояний.

5. Варианты построения структур

Минимальной составляющей структуры состояния является пара состояний, сравнимых по , так что одно состояние непосредственно предшествует другому. Из таких парных составляющих можно построить всю структуру состояния множеством разных путей. Некоторые из подобных путей могут привести к повторному рассмотрению уже рассмотренных подсостояний, если состояния могут иметь несколько непосредственно предшествующих состояний.

Разные пути могут привести к взаимнооднозначным и изоморфным т. е. эквивалентным структурам.. Возникает вопрос о существовании естественных путей перебора пар среди эквивалентных путей при построении структуры состояния.

Выше говорилось, что порядок границ нижних полуокрестностей по отношению (-границ ) объективен в том смысле, что определяется самим отношением. Менять его произвольно нельзя, так как это приведет к изменению способа задания отношения . Порядок рассмотрения элементов внутри окрестности может быть любым. Его изменение не затрагивает базового отношения, так как все элементы окрестности уже не сравнимы по . Переупорядочение окрестности не изменяет и разнообразие состояния

Таким образом, для верхних полурешеток естественный путь заключается в том, что сначала берется наибольшее состояние и строится его непосредственная нижняя полуокрестность. Затем в заданном порядке перебираются все состояния непосредственной полуокрестности и строятся их полуокрестности, которые объединяются. Полученное множество снова перебирается в заданном порядке и т. д. Второй путь, наоборот, начинается с минимальных элементов (если они существуют) и, перебираемых в заданном порядке (они образуют наибольшую границу полурешетки). По ним строятся верхние полуокрестности и объединяются и т. д. Оба эти пути эквивалентны.

Для квазирешеток перебор можно начать с максимальных или минимальных элементов, рассматриваемых в заданном порядке.

Не эквивалентные варианты структур состояний можно построить, изменяя способ задания отношения . Таким образом, взяв множество некоторых элементов , можно построить все возможные варианты структуры состояния, включающего все элементы из . Аналогично, перебирая разные сочетания значений свойств состояний можно строить все возможные варианты состояний с одинаковой структурой.

6. Интерпретации

Изложенный выше материал показывает, что свойства пространства определяются способом и степенью частичного упорядочения подсостояний, образующих состояние, т. е. моделью этого состояния (или структурой на физическом языке). Рассмотрим некоторые примеры.

3.1. Вселенные. Рассмотрим звездную систему нашей вселенной. Она является конечной верхней полурешеткой по отношению «часть-целое» и в соответствии с этим имеет как минимум трехмерное пространство. Если рассматривать только звезды и считать их точечными объектами, то это пространство будет дискретным. Если же считать звезды непрерывными протяженными объектами, то и пространство вселенной становится непрерывным (мощности континуума). Аналогичный результат получится, если рассматривать вещественную вселенную, в которой существует межзвездное вещество или вселенную с веществом и излучением.

Структура однородного протяженного объекта описывается базовым отношением, совпадающим с отношением включения теории множеств. Таким образом, в частности, происходит абстрагирование от структуры вселенной и неправомерный переход к понятию пространства с расположенной в нем вселенной.

Для этого вводится виртуальный объект – сравнительная единица измерения размера объектов. Затем эта единица начинает использоваться для измерения размеров виртуальных объектов (пустот), увеличивающих разнообразие границ окрестностей структуры вселенной. Наконец, размер самой единицы устремляется к нулю и возникает идея непрерывного пустого пространства между объектами. Осталось предположить, что пространство существует всегда, а объекты в нем можно располагать, а можно и нет.

На самом деле если нет элементов, нет структуры, нет окрестностей, то нет и множества трансфинитных чисел, взаимнооднозначно соответствующих конкретной структуре, и нет никакого пространства.

Теперь вспомним, что из трех индексов-расстояний только определяется отношением , а остальные требуют наблюдателя. Т. е. базовое отношение, порядок -границ и индекс являются для наблюдателя априорными. Априорное отношение «впаивает» наблюдателя в конкретную -границу и он не может ее изменять. Это привело бы к изменению способа задания базового отношения. Мы не можем произвольно менять свой размер (структурный уровень) и, например, поменяться местами с планетой или перейти на уровень клетки тела человека. Но остальные индексы можно менять по выбору наблюдателя. Можно даже изменить свое место в непосредственной верхней полуокрестности, например, совершив путешествие на другую планету.

Трехмерная вселенная не может быть бесконечной (трехмерная вселенная является верхней полурешеткой, по определению ограниченной сверху). Иначе говоря, если бы наша вселенная была бесконечной, то мы должны были бы жить как минимум в четырехмерном пространстве. Так что конечность размеров нашей вселенной вытекает из чисто математических свойств ее структуры[4].

Трехмерность нашей вселенной строго ниоткуда не выводится, но в физических теориях как правило постулируется. Исключением можно считать суперструнные теории [6], оперирующие большей размерностью. Но у меня (и не только) есть сомнения в достаточном уровне их применимости. Эти теории претендуют на «сверх объединение» всех существующих полей. А за основу берут априорное и непрерывное многомерное пространство. При этом наблюдаемое пространство вселенной остается трехмерным.

Во-первых, как сказано выше, пространство есть свойство структуры вселенной. Во-вторых, в соответствии с ОТО гравитация эквивалентна искривлению пространства, а «сверх объединение» требует квантования гравитации, а значит и квантования пространства. Поэтому я более перспективной считаю петлевую квантовую гравитацию [4].

Постулат трехмерности эквивалентно предположению, что наблюдатель всегда может вполне упорядочить множество всех частей любого объекта, находящихся на одной границе (на одном структурном уровне). Вообще говоря, это не очевидно. Например, как можно вполне упорядочить множество всех атомов вселенной, или, хотя бы, множество всех молекул человека.

Более естественным является предположение, что в верхней полурешетке всегда можно вполне упорядочить непосредственную алгебраическую окрестность любого состояния (являющегося верхней полурешеткой). Ведь вселенную и любой ее объект, в конечном счете, структурирует тоже наблюдатель. И если он выделил какое-то множество частей объекта, то он сможет их и расположить в определенном порядке.

Но если любая непосредственная окрестность любого состояния верхней полурешетки вполне упорядочена, то и любую границу верхней полурешетки тоже можно вполне упорядочить. Для конечных множеств это очевидно: окрестность первого порядка упорядочивается как непосредственная. Непосредственные окрестности, находящиеся на втором уровне, стыкуются начало с концом в соответствии с порядком первого уровня и с учетом их пересечения и т. д.

В общем случае нужно более тщательное рассмотрение, основанное для верхних полурешеток на следующих вехах:

– пусть некоторая -граница уже упорядочена. ННП состояний из этой границы включаются в непосредственно следующую границу;

– лексикографически упорядочиваем непосредственную полуокрестность начального состояния уже упорядоченной -границы и множество . Здесь – ННП следующего состояния -границы;

– лексикографически упорядочиваем полученное упорядоченное множество и непосредственную полуокрестность следующего за состояния . И т. д.

Однако, возможность упорядочения непосредственных окрестностей любого состояния тоже не всегда очевидна. На мой взгляд она эквивалентна «локальному реализму», который для квантовых систем не верен, что доказано экспериментально [7].

Можно ли наглядно представить вселенную, которую нельзя считать верхней полурешеткой по отношению «часть-целое»? Возьмем мир, являющийся объединением двух миров – материальной вселенной и сознания наблюдателя. Трудно установить отношение «часть-целое» между указанными мирами[5]. Поэтому объединенная вселенная получается минимум четырехмерной (если считать структуру сознания из его образов верхней полурешеткой[6])

Другой пример получается, если во вселенной существуют «кротовые норы» [3] между разными точками ее пространства-времени. Такая вселенная будет или квазирешеткой или неправильной верхней полурешеткой возможно с циклами. Но мы как наблюдатели трехмерны и указанные «кротовые норы» воспринимать не можем.

В [5] указано, что правильный неограниченный линейный порядок можно представить двумя числами, одно из которых бинарное. Легко видеть, что этому соответствует свойство с двумя возможными значениями (+1, -1), т. е. некое «квантовое число», расщепляющее два ограниченных линейных порядка.

3.2. Мульти вселенная. Структура мульти вселенной является квазирешеткой, как структура множества вселенных соединенных «кротовыми норами». Мульти вселенная, скорее всего, очень многомерна. Чтобы ее размерность свести к минимуму, нужно вполне упорядочить все кротовые норы всех вселенных. Пока не ясен даже вопрос о поиске реальных кротовых нор одной нашей вселенной.

Вопрос о структуре других все ленных и мульти вселенной в целом также остается открытым, как и вопрос о размерности их пространств.

Литература

1. К построению науки о сложных явлениях (Реальность и субъект, т.3, вып1-2, стр. 48, 1999).

2. А.И. Мальцев Алгебраические системы (М., «Наука», 1970).

3. , , УФН 177 1

4. Теоретическая и математическая физика 139 

5. О множествах высших мощностей. http://*****/science/mathematics/SetsPawer. doc

6. УФН 175,

7. УФН 175,

About structure of states of Reality

Abstract

It is given the idea of generalized description of anyone objects of the Reality as mathematical models. It is described structure of states of Reality as sets with strict inclusion relations. It is showed that any upper semi-lattice one-one corresponds to three transfinite numbers (minimum). That is why our Universe has the three-dimensional space. But the Multiverse with “mole burrows” has the four-dimensional space minimum.

[1] Понятие явления в контексте данной работы лишено субъективной окраски. Это не то, что явлено субъекту, а все, что может быть выделено и представлено как модель с типом <2, 2>.

[2] Относительное разнообразие, нормированное на единицу эквивалентно «вероятности» состояния в .

[3] Заметим, что для состояний с однозначно заданными значениями свойств «параметрическую» энтропию (определенную также как структурная) легко связать с обычной термодинамической энтропией.

[4] Тут можно «навести тень на плетень» введя понятие локальной трехмерности для конечного наблюдателя в бесконечной вселенной.

[5] Философы веками муссировали вопрос о принципиальной дуальности указанных миров.

[6] Это не очевидно, так как сознание рефлексивно и можно говорить о, осознании сознавания. Т. е. в структуре сознания существует цикл по отношению «целое-часть».