Двойные интегралы Методические указания и варианты заданий к самостоятельной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ











ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Методические указания и варианты заданий к самостоятельной работе

РПК ”Политехник”

Волгоград
1999

УДК 517.3

Двойные интегралы: Методические указания и варианты заданий к самостоятельной работе / Сост. ; Волгоград. гос. техн. ун-т. Волгоград, 1999. – 36 с.

Излагаются основные определения и теоремы относящиеся к теме “Двойной интеграл”

Приводятся примеры вычисления двойных интегралов и примеры их применения, а также варианты заданий к самостоятельной работе студентов по указанной теме.

Предназначены в помощь студентам всех специальностей.

Ил. 29. Табл. 4. Библиогр.: 2 назв.

Казак

Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета.

©	Волгоградский государственный технический университет, 1999

§1. Двойной интеграл и его вычисление

в декартовых координатах

1. Определение двойного интеграла

Пусть z=f(x;y) - некоторая функция двух переменных, заданная на замкнутой области sÍR2.

Выполним следующие действия:

разобьем область s произвольно на n областей Ds1, Ds2, ... Dsn таких, что любые две из них пересекаются либо по пустому множеству, либо по их общей границе;

в каждой области Dsi (внутри или на границе) выберем произвольную точку Рi (хi, уi);

найдем произведение значения функции f(x;y) в точке Рi (хi, уi) на площадь Dsi;

сложим все такие произведения, получим сумму вида: Dsi.

Определение.

Dsi называется интегральной суммой для функции f(х;у) в области s.

Интегральная сумма зависит от способа разбиения области s на части Ds1, Ds2, ... Dsn и от выбора точек Рi (хi, уi) на этих частях, т. е. для функции в области s можно составить бесконечное множество интегральных сумм.

Диаметром замкнутой области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области.

Dsi s ( Dsi) - диаметр Dsi.

Рис.1

Шагом разбиения области s на конечное число частей называется наибольший из диаметров областей деления l=max s(Dsi).

Если при стремлении к нулю шага разбиения l области s интегральные суммы

Dsi имеют конечный предел, то этот предел называют двойным интегралом от функции f(x, y) по области s и обозначают

символами или .

Таким образом, по определению =, если этот предел существует.

§2. Достаточные условия существования двойного интеграла

Теорема 1.

Если функция z=f(x, y) непрерывна в замкнутой области s, то двойной интеграл существует.

Теорема 2.

Если функция z=f(x, y) ограничена в замкнутой области s и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно-гладких линий, то существует.

§3. Простейшие свойства двойного интеграла

Предположим, что все встречающиеся ниже функции удовлетворяют условиям теорем (1 или 2) существования двойного интеграла в рассматриваемых областях.

1. Двойной интеграл не зависит от обозначения переменных.

2. Постоянный множитель Â можно выносить за знак двойного интеграла: =.

3. Двойной интеграл от суммы двух функций равен сумме двойных интегралов слагаемых: = +.

ЗАМЕЧАНИЕ. Свойство 3 справедливо для любого фиксированного числа слагаемых.

4. Если область s разбита на две, не имеющие общих внутренних точек области s1 и s2, то

= + .

ЗАМЕЧАНИЕ. Свойство 4 справедливо в том случае, если область s разбита на любое конечное число m областей s1, s2, ... sm, не имеющих общих внутренних точек. Свойство 4 называется свойством аддитивности двойного интеграла.

5. Если всюду в области s функция f(x, y)³0, то ³0.

6. Если всюду в области s f1(x, y)£ f2(x, y), то £.

7. £.

8. .

§4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

4.1. Рассмотрим область sÍR2 и проведем вертикальные прямые х=с (с=const) так, чтобы они пересекали область s.

Область sÍR2 называется вертикально-правильной, если каждая вертикальная прямая х=с (с=const) пересекает границу области s не более, чем в двух точках Р1(х, у1) и Р2(х, у2).

Рис.2

s - вертикально-правильная, а область D не является вертикально-правильной.

Вертикально-правильную область s можно задать системой неравенств

s: (1)

где [a, b] — проекция области s на ось ОХ.

Двойной интеграл по вертикально-правильной области s, заданной системой неравенств (1), вычисляется с помощью повторного интеграла:

=== .

Порядок вычислений

1. Вычислить внутренний интеграл , в котором х является параметром (х постоянно). Результатом вычислений внутреннего интеграла является некоторая функция от х .

2. Вычислить внешний интеграл

4.2. Область sÍR2 называется горизонтально-правильной, если каждая горизонтальная прямая у=с (с=const) пересекает границу области s не более, чем в двух точках Р1(х1,у) и Р2(х2,у).

Рис.3 Рис. 4

s - горизонтально-правильная область . D - не является горизонтально

правильной областью.

[c; d] - проекция s на ОУ.

Область s можно задать системой неравенств

s: (2)

Двойной интеграл по горизонтально-правильной области s, заданной системой неравенств (2), вычисляется с помощью повторного интеграла

== .

Порядок вычислений

1.  Вычислить внутренний интеграл , в котором y является параметром (у постоянно). Результатом вычислений внутреннего интеграла является некоторая функция от y

2. Вычислить внешний интеграл

ЗАМЕЧАНИЕ

1. Если область s не является правильной, то ее надо разбить на правильные области и вычислить двойной интеграл, используя свойство аддитивности двойного интеграла

= + + .

Рис.5

2. Если область s является правильной, но хотя бы одна из ее границ не задается единой функцией, ее следует разбить горизонтальными или вертикальными линиями на подобласти.

Рис.6

В данном случае вычисление ведется по формуле

= + .

4.4. Отработка отдельных блоков схемы

вычисления двойного интеграла

Пример № 1.

Вычислить повторный интеграл .

Решение

1. Вычислим внутренний интеграл, рассматривая в нем переменную х как параметр (т. е. const):

J(x)= = x= = (x4-x2+2x-1) = (x5-x3+2x2-x).

2. Вычислим внешний интеграл

=.

Вычисление можно записывать короче:

==()=

=.

Пример № 2.

Вычислить повторный интеграл .

Решение

1. Вычислим внутренний интеграл, рассматривая в нем переменную у как параметр (т. е. const):

J(y)=== y2(arctg 1- arctg 0)=.

2. Вычислим внешний интеграл.

.

Вычисление можно записывать короче:

=

Пример № 3

Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле по области s, где s ограничена линиями: у=2-х2; у=2х-1.

Решение

1. Построим область s.

Рис.7

2. Область s является вертикально-правильной, поэтому вычисляем двойной интеграл по формуле =

3. Определим внешние и внутренние пределы интегрирования.

Спроецируем область s на ось ОХ, получим а=-3, b=1.

Проведем прямые параллельные оси ОУ и найдем уравнения линии входа в область s и линии выхода из области s: увх=2х-1 и увых=2-х2.

Таким образом, =

Пример № 4.

Расставить пределы интегрирования в по области s, где s ограничена линиями у2=2х и у=х-4.

Решение

1. Построим область s.

Рис.8

Область s является горизонтально-правильной, поэтому =

2. Определим внешние и внутренние пределы интегрирования.

Спроецируем s на ось ОУ, получим с=-2; d=4.

Проведем прямые l параллельно оси ОХ и определим уравнения линии входа в область s и выхода из нее.

Линия входа в область s задается функцией у2=2х. Выразим переменное х: хвхода=

Линия выхода из области s задается функцией у=х-4. Выразим переменное х: хвыхода=у+4.

Таким образом, =

Пример № 5

Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле по области s, где s ограничена линиями у=(х+1)2; у=(х-1)2; у=0.

Решение.

1. Построим область s.

Рис.9

2. Область s является вертикально-правильной, но две ее границы заданы разными функциями: у=(х+1)2 и у=(х-1)2, поэтому

=+=

=+.

ЗАМЕЧАНИЕ

Область s является также и горизонтально правильной и тогда

=

Пример № 6.

Вычислить двойной интеграл по области s, заданной неравенствами s: х+у³0; 2y-х³0; у£1.

Решение

1. Построим область s: х+у³0; 2y-х³0; у£1.

Рис.10

2. Расставим пределы интегрирования и вычислим двойной интеграл.

Область s является горизонтально-правильной и вертикально-правильной, но целесообразно выбрать формулу =, так как иначе придется вычислять два двойных интеграла.

.

Пример № 7.

Вычислить двойной интеграл по области s, заданной неравенствами 0£х£1; х£у£1.

Решение

1. Построим область s.

Рис.11

2.  Область s является правильной, тогда . Вычислить этот интеграл в указанном порядке невозможно, так как не выражается в элементарных функциях. Изменим порядок интегрирования:

4.5. Задания к § 4

1. Вычислить двукратные (повторные) интегралы:

а) ; б) ; в) ;

г) .

Ответы: 26; -11,2; ; .

2. Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; e) .

Ответы:

а) ; б) ; в) ;

г); д) ;

е) .

3. Вычислить двойной интеграл , где область D - треугольник, ограниченный прямыми х=0; у=0; х+у=3.

Ответ: 9.

4. Вычислить двойной интеграл , если область D задана неравенствами ; у³х; 0£х£2.

Ответ: .

5. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями

a) ; y=0; y=;

б) ; y=0; y=x; x+y=p/2;

в) ; x=y2; y=x2.

Ответы: a5; 1/2; -1/504.

6. Вычислить двойной интеграл , если s ограничена линиями у2=2рх и х=р/2 (р>0).

Ответ: .

7. Вычислить двойной интеграл , если D- параллелограмм со сторонами у=х, у=х+а, у=а, у=3а (а>0).

Ответ: 14а4.

§5. Замена переменных в двойном интеграле

5.1. Пусть функции х=х(u, v) и y=y(u, v) взаимно - однозначно отображают область G в плоскости UOV в область s в плоскости ХОУ, причем эти функции в области G непрерывно дифференцируемы, и якобиан J(u, v)¹0:

J(u, v)=¹0.

Тогда .

Как правило, к новым переменным в двойном интеграле переходят для упрощения уравнений границ области s.

5.2. Наиболее распространеннымслучаем является переход к полярным координатам: x=rcosj, y=rsinj. Якобиан этого отображения равен

J== ==r(cos2j+sin2j)=r,

поэтому .

Расстановка пределов в полярных координатах.

Область s называется радиально-правильной, если каждый радиус-луч, выходящий из полюса, пересекает границу области s не более, чем в двух точках: R1(j, r1) и R2(j, r2), r1£r2, причем в точке r1 луч “входит “ в область s, а в точке r2 “выходит” из области s.

Рис.12 Рис. 13

Область s - радиально-правильная. Область s - радиально -

неправильная.

Множество всех точек “входа” (“выхода”) образуют внутреннюю (внешнюю) границу области s.

На рис.12 r=r1(j) - внутренняя граница, r=r2(j) - внешняя граница области s.

Двойной интеграл по области в полярных координатах по области s сводится к повторному интегралу.

.

Замечание. Точек “ входа” в область может не быть, если начало луча j=const (полюс) уже лежит в области s. В этом случае уравнение внутренней границы r=0.

Для области s на рис.14 верно

.

Рис.14

Замечание. Если область не является радиально-правильной, то ее следует разбить (например, радиальными прямыми) на несколько подобластей, каждая из которых является радиально-правильной

+.

Рис. 15

5.3 Примеры

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , где область D задана неравенствами x2+y2£4, x2+y2³2x, y³0.

Решение

1. Построим область D.

Рис.16

2. Выразим уравнение границ области D в полярных координатах:

а) x2+y2=4 Û r2=4 Û r=2;

б) x2+y2=2x Û r2=2rcosj Û r=2cosj ;

в) y=0 Û rsinj=0 Û j=0 или j=p при r¹0.

3. Подынтегральная функция в полярных координатах имеет вид

f(x, y)===.

4. Расставляем пределы и вычисляем двойной интеграл.

Область D не является радиально-правильной, поэтому разбиваем ее на две области D1 и D2.

5.4. Наряду с обычными полярными координатами, применяются также обобщенные полярные координаты:

=r2.

В этих координатах уравнение эллипса =1 превращается в r=1.

Якобиан для этой системы координат равен

J==abr(cos2j+sin2j)=abr.

Вычислить , где область D ограничена эллипсом =1.

Решение

1. Перейдем к обобщенным полярным координатам

В новых координатах область будет задаваться системой неравенств

2. Якобиан J=abr=6r.

3. Подынтегральная функция в новых координатах равна f(x, y)=x2=4r2cos2j.

4. Вычисляем интеграл:

24=

=24

5.5. Кроме полярных координат, иногда прибегают к другим криволинейным координатам, если в них уравнения границ области значительно упрощаются.

Пример № 3. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями xy=1; xy=4; ; y=2x; (x, y>0).

Решение

1. Построим область D ÌXOУ.

Рис.17 Рис.18

2. Введем новые координаты:

u=xy; v=y/x.

В этих координатах границы области будут:

xy=1 Û u=1 ; ;

xy=4 Û u=4 ; .

То есть в координатах u и v область D представляет собой прямоугольник со сторонами параллельными новым координатным осям:

1£u£4; (см. рис. 18).

3. Вычислим якобиан отображения.

Выразим x и y через u и v :

(по условию x>0, y>0).

Найдем частные производные х’u, x’v , y’u, y’v :

x’u=; x’v=-;

y’u= ; y’v=.

Найдем якобиан отражения:

J= при .

4. Выразим подынтегральную функцию f(x, y)=xy2 через u и v:

f(x, y)=xy2=.

5. Расставляем пределы по u и v и вычисляем интеграл:

5.6. Задание к § 5

1. Вычислить двойной интеграл , если область D есть кривой сектор, ограниченный линиями p=a, j= , и j=p.

Ответ:

2. Вычислить двойной интеграл , если область D есть полукруг r£2acosj, 0£j£.

Ответ: .

3. Вычислить двойной интеграл , если область D заключена между линиями r=2+cosj и r=1.

Ответ: 0.

4. Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойной интеграл , где область D-круговое кольцо, заключенное между окружностями x2+y2=1; x2+y2=4.

Ответ: 2p.

5. Вычислить двойной интеграл , если область s ограничена:

a) окружностями r=a, r=2a;

б) первым завитком спирали r=aj и полярной осью;

в) кривой r=asin 2j.

Ответы:

6. Преобразовать к полярным координатам и вычислить двойной интеграл:

a)  , если область R ограничена линиями: x2+(y-1)2=1 и

x2+y2=4y;

б) , если область D: x2+y2£a2.

Ответы: 0; .

7. Вычислить следующие интегралы, переходя к подходящей системе

координат:

a) где область D ограничена прямыми:

2x+y=1; 2x+y=5; x-3y=2; x-3y=4.

Ответ: 204/49.

б) где область D ограничена линиями

y=; y=; x=1; x=4.

Ответ: 7.

в) где область R задана неравенствами:

Ответ: 145p.

§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

  6.1. Основные формулы приложения двойного интеграла

1. Площадь области DÌR2 выражается формулой S= в декартовых координатах и S= в полярных координатах.

2. Объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z=f(x, y) (f(x, y)³0) , снизу плоскостью z=0 и с боков цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости OXY область D (см. рис. 19) находится по формуле V=.

Рис. 19

3. Площадь поверхности P, заданной уравнением z=f(x, y) и проецирующейся на плоскость OXY в область DÌR2 (см. рис. 20), вычисляется по формуле: .

Рис. 20

4. Масса плоской пластины D с плотностью g(x, y) равна

m= .

5. Координаты центра масс PC(xc, yc) плоской пластины D с плотностью g(x, y) вычисляются по формулам:

6. Моменты инерции пластинки DÌR2 относительно координатных осей OX и OY выражаются формулами:

.

6.2.  Примеры применения двойного интеграла к решению

геометрических и физических задач

Пример № 1. Найти площадь области, ограниченной линиями: y2=x3; y2=8(6-x)3.

Решение

Построим данные полукубические параболы.

Точки пересечения

кривых А и С найдены

путем совместного реше

ния уравнений y2=x3 и

y2=8(6-x)3.

Рис. 21

Фигура симметрична относительно оси OX и ее площадь S равна удвоенной площади криволинейного треугольника OBC:

Пример № 2. Найти площадь области D, ограниченной линиями

r=acosj; r=bcosj; b>a>0.

Решение

Построить данные линии (окружности) в полярной системе координат.

Рис. 22

Найдем площадь S, ограниченную линиями области D по формуле

Пример № 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

(x2+y2)2 =8a2xy; x2+y2=a2 (a>0, x2+y2 £ a2 ).

Решение

Площадь фигуры, ограниченной данными линиями, проще вычислить, переходя к полярным координатам.

Найдем уравнение линий в полярной системе координат:

а) (x2+y2)2 =8a2xy.

Положим, в данном уравнении x=rcosj, y=rsinj:

(r2cos2j +r2sin2j)2=8a2r2cosjsinj

r4=4a2r2sin2j или p2=4a2sin2j или r=2a (лемниската)

б) x2+y2=a2 (a>0)

r2=a2 Þ r=a (окружность с центром в точке O и радиусом равным a).

Построим кривые в полярной системе координат.

Рис. 23 Рис. 24

Искомая площадь S=2S1. В свою очередьS1=2S3+2S4.

см. рис.23 см. рис. 24.

Для нахождения S3 и S4 необходимо знать пределы j. Для этого решим систему

2a=

S3=;

Замечание сos arcsin

Таким образом, S1=2S3+2S4=a2(

Площадь

S=2S1=2a2

Ответ: S=(4-

Пример № 4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями y=x2; y=1; x+y+z=4; z=0.

Решение

Данное тело представляет вертикальный цилиндр, который сверху ограничен частью плоскости z=4-x-y, а снизу - частью плоскости XOY, заключенной между параболой y=x2 и прямой y=1 (см. рис. 25).

Рис. 25 Рис. 26

Объем тела Проекция тела на плоскость ХОУ.

Пример № 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z=4-x2-y2; 2z=2+x2+y2.

Решение

Тело изображено на рис. 27.

Рис. 25

Линия пересечения L поверхностей определяется системой уравнений:

z=4-x2-y2 и 2z=2+x2+y2. Исключим из системы этих уравнений переменное z:

.

Итак, уравнения L имеет вид х2+у2=2.

В пространстве уравнение x2+y2=2 представляет собой цилиндрическую поверхность, которая проходит через линию L и проецирует ее на XOY.

Рис.28

Проекция тела на ХОУ.

Объем тела можно вычислить как разность двух объемов:

V=V1-V2=.

Чтобы упростить вычисление интеграла, перейдем к полярным координатам. Полагая x=rcosj, y=rsinj и заменяя dxdy на rdjdr, получим

Пример № 6

Найти площадь части конуса z=, вырезаемой сферой

x2+(y-2)2+z2=4.

Решение

Рис.29 Рис.30

Найдем проекцию линии пересечения конуса и сферы на плоскость XOY, для чего приравняем z в обоих уравнениях:

Проекцией линии пересечения конуса и сферы на XOY является окружность радиуса R=1, с центром в точке C(0;1). Область D изображена на рис. 30.

S=.

Найдем

S=(кв. ед.).

Замечание

(площадь области D).

6.3. Задание к § 6

1.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x=4y-y2; x+y=6.

Ответ: (кв. ед.).

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2-x ;y2=4x+4.

Ответ: (кв. ед.).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy=a2; x+y = (a>0).

Ответ: ((кв. ед.).

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями

r=1, r= (вне окружности r=1).

Ответ: (кв. ед.).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми:

а) (x2+y2)2=-2a2(x2-y2); x2+y2=a2 (x2+y2³a2).

Ответ: (кв. ед.).

б) (x2+y2)2=8a2xy; x2+y2=a2 (а>0, x2+y2£a2).

Ответ: (кв. ед.).

6. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями

y2=4x+ 4; y2=-2x+4 (плотность g(x, y)=const).

Ответ: ().

7. Определить центр тяжести площади, ограниченной кардиоидой

r=a(1+cosj).

Ответ( ).

8. Найти центр тяжести площади, ограниченной одной петлей кривой r=asin2j.

Ответ: ().

9. Найти центр тяжести площади, ограниченной линиями y= y=0.

Ответ: (1, ).

10. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями y=; x+y=3; y=0 относительно оси OX.

Ответ: 2,4.

11. Вычислить массу квадратной пластинки со стороной а, плотность которой в любой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки от одной из вершин квадрата.

Ответ:

12. Вычислить площадь части поверхности цилиндра x2+y2=2ax, содержащейся между плоскостью XOY и конусом x2+y2=z2.

Ответ: 8a2(кв. ед.).

13. Вычислить площадь параболоида y2+z2=2x, содержащейся между

цилиндром y2=x и плоскостью x=1.

Ответ:

14. Найти объём тела, ограниченного поверхностями: z=y2; x2+y2=4; z=0.

Ответ: 4p (куб. ед .).

15. Найти объём тела, ограниченного конусом 2(x2+z2)-y2=0 и гиперболоидом x2-y2+z2+1=0.

Ответ: куб. ед.

§ 7. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ

“ ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ “

7.1. Задача№1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле двумя способами в декартовых координатах. Сделать рисунок области D.

№ варианта	Линии, ограничивающие область D
1	y=x+3; y=3x-5; y=0
2	y=x+6; x+y=4; x=0
3	y=x+6; y=x2
4	x=y2; x2+y2=4x (внутри параболы)
5	x2+y2=10; y=x+2 (ниже прямой)
6	x=y2-3; y=2x
7	x+y=0; y=2x-3; 2y=x+3
8	y=2ex; y=e2x-3; x=ln(1/2)
9	y=x2+3x; x+y=0
10	x=5-y2; 2x+y2=6
11	x2+y2=25; x+2y+5=0 (выше прямой)
12	xy=3; y=3x; x=3y (x, y>0)
13	x2-y2=1; x=0; y=0; y= -2 (x³0)
14	xy+4=0; y+4x=0; x+4=0; y=0
15	x2+4y2=4; 2y+x=2 (ниже прямой)

7.2. Задача № 2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и нарисовать область интегрирования.

1.

   

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.+

10.

11.+

12.

13.

14.

15. +

7.3. Задача № 3. Вычислить , перейдя к полярным координатам.

№ варианта	Функция f(x, y)	Неравенства, задающие область D
1		x2+y2£2y; y³1
2	x2 – y2	x£2; y³ - x; y£x
3		y³x; y³0; y£1; x2+y2£4
4		x2+y2£6x; y£x; y³0
5		0£x£2; x2+y2³4; -2£y£0
6		x2+y2£4; x2+y2³2y
7	2x+y	x2+y2£4; x³1; x+y³0
8		y³x; y£;xy£2
9	x2+y2	x2+y2+4x£0; x+2³0; y³0
10	X	x2+y2£2; x2+y2£2y
11		x2+y2£4x; x2+y2£8; y£x
12	x+y	x2+y2+2y£0; y+1³0
13	y-x	x³1; x2+y2£4; - x£y£x
14		x2+y2³1; x2+y2£4; 0£y£1; x³0
15		y³x; x2+y2£2y; x2+y2+4x³0

7.4. Задача № 4.

Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела, заданного неравенствами

№ варианта	Неравенства, задающие тело в пространстве
1	x³0; x£; x+y+z £ 6; z³0
2	y³0; y£x+3; x+z2£0
3	x³0; x£y+z+3; z³y; y£ z2-4z
4	z³0; z£ x+1; y£ z-3x; y³ x-z
5	2z ³ x2+y2; z £6-x2-y2
6	x2+y2£4x; z£; z ³0
7	Z ³ x2+y2; z£ 4y
8	z£ ; z ³
9	x2+y2£6z; x2+z2£9; y³0; y£ z
10	x£y; y+2x³0; y£2; z³0; z£x2+y
11	z2£y; z2³3y-4; x³0; x£ z
12	2y³ x; xy£2; z ³ 0; z £2x-y
13	z ³ y2; x2+ z £ 4
14	y³x+2; y£2; z ³ y; z £ 3y+x-1
15	z ³ x2-3x; y£x2+z2; y³z2+xz

7.5. Задание № 5

Вычислить площадь части поверхности S, координаты точек которой удовлетворяют условию.

Условие

№ варианта	Поверхности S	Условие
1	z=	x2+z2£16
2	z=	x³
3	z=	x2+y2£9
4	x=	x2£2y
5	z= 4 - y2	x2-4y2£1, y2£1
6	3x-y+z=2	y£x2+z2
7	z=xy	z³0, 0£x£
8	x2+y2=z2+1	x2+y2£4
9	x2+z2=y2-1	x2+z2£1
10	x-4y+2z+3=0	x³y2+z2
11	y2+z2=2x	z2£x, x£1
12	x2+z2=3y	x2+z2+y2£18
13	y=	z³0, z£
14	x2+z2=4	y³x, y£2x
15	y2-x2=z2	x2+y2£4y

Список рекомендуемой литературы

1.  и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. / , – 2-е изд., - М.: Высшая школа, 1974. –464с.

2.  Запорожец к решению задач по математическому анализу / 3-е изд., доп. –М.: Высшая школа, 1964. – 479с.

Оглавление:

1.  Двойной интеграл и его вычисления в декартовых координатах ………..3

2.  Замена переменных в двойном интеграле …………………………………16

3.  Приложения двойного интеграла ……………………………………………. 23

4.  Индивидуальные задания к теме “Двойной интеграл и его приложения” 32

Петрова

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Методические указания и варианты заданий к самостоятельной работе

Редактор

Темплан 1999г. поз.№ 000

Подписано в печать. Формат 60х84 1/16

Бумага газетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. .

Уч.-изд. л. . Тираж 100 . Заказ.

Волгоградский государственный технический университет.

400066 Волгоград, пр. Ленина,28

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400066 Волгоград, ул. .