Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

~a_{11}x^2 + a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,

в котором по крайней мере один из коэффициентов a_{11},~a_{12},~a_{22} отличен от нуля

Вид кривой

Каноническое уравнение

Невырожденные кривые (\Delta\ne0)

Эллипс

Гипербола

Парабола

Вырожденные кривые (Δ = 0)

Точка

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0

Две пересекающиеся прямые

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0

Две параллельные прямые

\frac{x^2}{a^2}=1

Одна прямая

x2 = 0

История

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур (см. ниже).

Файл:Conic sections.png

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли

Файл:Conic sections 2.png

Сечение прямого кругового бесконечного в обе стороны конуса плоскостью, не проходящей через вершину, является или эллипсом, или гиперболой, или параболой. При этом указанная плоскость может располагаться тремя способами:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

1.  пересекать одну половину конуса, в этом случае получается эллипс;

2.  пересекать обе половины конуса, в этом случае получается гипербола;

3.  быть параллельной образующей конуса, в этом случае получается парабола.

Эллипс

Э́ллипс — геометрическое место точек M евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

| F1M | + | F2M | = 2a, причем | F1F2 | < 2a.

Окружность является частным случаем эллипса.

Части эллипса:

    ~\boldsymbol a — большая полуось; ~\boldsymbol b — малая полуось; ~\boldsymbol c — фокальный радиус (полурасстояние между фокусами); ~\boldsymbol p — фокальный параметр;

~a^2 = b^2 + c^2

e.

~p = \frac{b^2}{a}

Определения

    Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении. Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса. Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b. Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром. Расстояния r1 и r2 от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке. Расстояние c=\frac{|F_1 F_2|}{2}называется фокальным расстоянием.
    Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами. Эксцентриситет эллипса равен отношению e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\;\;\;(0 \le e < 1).. Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Гипербола

Гипе́рбола — геометрическое место точек M евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянно. Точнее,

\bigl||F_1M|-|F_2M|\bigr|= 2a,причем | F1F2 | > 2a > 0.

Асимптоты гиперболы (красные кривые), показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C.

Два фокуса гиперболы обозначены как F1 и F2.

Директрисы гиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначены D1 и D2. Эксцентриситет ε равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зеленым).

Вершины гиперболы обозначены как ±a.

    Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями. Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы называются вершинами. Кратчайшее расстояние между двумя ветвями гиперболы называется большой осью гиперболы. Середина большой оси называется центром гиперболы. Расстояние a от центра гиперболы до одной из вершин называется большой полуосью гиперболы. Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием с.

Соотношения

    c^2 = a^2 + b^2\,. \varepsilon = c/a\,. b^2 = a^2\left( \varepsilon^2 - 1\right)\,. p = \frac{b^2}{a}.

Форма гиперболы полностью определяется её эксцентриситетом ε, который для гиперболы всегда больше единицы. Численно, эксцентриситет равен отношению фокального расстояния к большой полуоси. Также эксцентриситет можно определить, как отношение расстояний от произвольной точки гиперболы до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей прямой, параллельной мнимой оси, называемой директрисой. Отсюда, расстояние от центра гиперболы до директрисы равно a/ε. Эксцентриситет можно выразить с помощью величин a, b, c и θ следующим образом:

\varepsilon = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sec \theta

Парабола

Пара́бола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

~\textstyle y^2=2px(или ~\textstyle x^2=2py, если поменять местами оси).

Parabola4.svg

Уравнение директрисы ~PQ: ~\textstyle x+\frac{p}{2}=0, фокус — ~\textstyle F\left (\frac{p}{2};0\right ), таким образом начало координат ~O — середина отрезка ~CF. По определению параболы для любой точки ~M, лежащей на ней выполняется равенство ~KM=FM. ~\textstyle KM=KD+DM=\frac{p}{2}+xи ~\textstyle FM=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}, тогда равенство приобретает вид:

~\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}=\frac{p}{2}+x.

После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение ~y^2=2px.
    Парабола имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.

Связь с реальным миром

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Файл:Coriolis effect11.jpg

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)

Падение баскетбольного мяча

Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США

    Параболические траектории струй воды