Уравнения высших степеней

ГУО «Средняя общеобразовательная школа №3 г. Свислочь»

Научная работа по математике

УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

Лукша Сергей,

учащийся 9 «А» класса

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по вышеуказанной теме. Я расположил материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курса алгебры, так и дополнительный материал.

Целью работы является:

1. Ознакомиться с основными типами уравнений высших степеней.

2. Выяснить, существуют ли общие формулы для нахождения корней алгебраического уравнения n-й степени.

3.  Изучить, обобщить и систематизировать основные методы и приемы решения уравнений высших степеней.

4.  Показать практическое применение данных методов на примерах решения конкретных уравнений.

3. Основная часть

3.1 Теория многочленов

Многочленом с одной переменной х степени n

называют выражение вида

P(х)=аx+ax+ … +ax+a, где a,а, …, а, а - любые числа, называемые коэффициентами многочлена, причем а≠0 (n – целое неотрицательное число), называют старшим коэффициентом многочлена Р(х).Степенью уравнения Р(х)=0 называют степень многочлена Р(х), т. е. наибольшую из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Например, уравнение (х³-1)² +х=х- 2 имеет пятую степень, так как после раскрытия скобок получим равносильное уравнение х-2х³+3=0 пятой степени.

Остановимся на правилах, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1.  Многочлен n-й степени имеет не более n корней, причем корни кратности т встречаются ровно т раз

2.  Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень

3.  Если α – корень Р(х), то Р(х)=(х-α).Q(х), где Q(х) – многочлен степени (n-1)

4.  Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена

5.  Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней

6.  Для многочлена третьей степени Р(х)=ах³+вх²+сх+d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р(х)=а(х-α)(х-β)(х-γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена

Р(х)=а(х-α)(х²+βх+γ)

7.  Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение

двух квадратных трехчленов

8.  Многочлен f(х) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(х), такой что f(х)=g(х).q(х). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком» или схема Горнера

При делении многочлена на двучлен можно воспользоваться схемой Горнера:

Пусть требуется разделить многочлен

Р(х)=ах+ах+…+ах+а

на двучлен х-с

Обозначим частное от деления как многочлен

Q(х)=вх+вх+…+вх+в, а остаток – r.

Значение с, коэффициенты многочленов Р(х), Q(х) и остаток r запишем в следующей форме:

	а	а	а	…	а	а
с	в= а	в= а+с в	в= а+с в	…	в= =а+св	r= а+cв

В этой схеме каждый из коэффициентов в, в , …, в получается из предыдущего числа нижней строки умножением на число с и прибавлением к полученному результату соответствующего числа верхней строки, стоящего над искомым числом (коэффициентом). Если какая-либо степень х в многочлене отсутствует, то соответствующий коэффициент равен нулю.

Определив коэффициенты по приведенной схеме, записываем частное

Q(х)=вх+вх+…+вх+в

и результат деления, если r=0,

=Q(х)+ или если r≠0,

Р(х)=(х-c) Q(х) + r

9.  Теорема Безу

Остаток r от деления многочлена Р(х) на двучлен х-с равен значению многочлена Р(х) при х=с, т. е. r=Р(с).

При делении многочлена Р(х) на двучлен х-с имеем равенство

Р(х)=(х-c) Q(х) + r

Оно справедливо, в частности, при х=с, т. е. Р(с)=r

9.1  (следствие теоремы Безу) Для делимости многочлена Р(х) на двучлен х-с необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем многочлена Р(х)

10.  Теорема Виета: Если х,х, …,х - действительные корни многочлена Р(х)=ах+ах+…+а, то имеют место следующие равенства:

х+х+…+х= - ,

х. х+ х.х+…+х. х=,

х. х. х+…+х. х.х= - ,

…

х. х. х… х= (-1)

3.2 Основные типы уравнений высших степеней (а≠0)

Биквадратные	ах+вх²+с=0
Двучленные	ах - в =0
Трехчленные	ах+вх+с=0
Симметрическое 3-й степени	ах³+вх²+вх+а=0
Симметрическое 4-й степени	ах+вх³+сх²+вх+а=0
Уравнение 4-й степени общего вида	х+ах³+вх²+сх+d=0
Модифицированное	х+ах³+вх²+сх+d=0
Возвратное уравнение	ах+ах+…+ах+ а=0
Дробно-рациональное уравнение	…+=0

3.3 Основные методы и приемы решения уравнений высших степеней

1.Введение новой переменной

Этот метод заключается в том, что для решения уравнения f(х)=0 вводят новую переменную (подстановку) t=х или t=g(x) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение φ(t). Решая затем уравнение φ(t), находят его корни: (t, t, …, t). После этого получают совокупность n уравнений

q(х)= t, q(х)=t, …, q(х)=t, из которых находят корни исходного уравнения.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

3. Разложение на множители методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Замечание: Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы нас назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют, нетрудно найти и подбором. Последнее уравнение показывает, что нужно рассмотреть лишь варианты:

а=-1,с=2; или а=1,с=-2; или а=2,с=-1; или а=-2, с=1

Подставляя эти пары значений в остальные уравнения, убеждаемся, что первая из них является решением системы.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применении теорем:

1.  Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2.  Для того, чтобы несократимая дробь ( р€Z, q€N) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а, а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

5. Симметрические уравнения

Уравнение вида ах³+вх²+вх+а=0 называют симметрическим уравнением

3-й степени.

Для решения таких уравнений будут полезны следующие простейшие свойства возвратных уравнений:

а) Возвратное уравнение f(х)=0 нечетной степени всегда имеет корень, равный (-1).

Действительно, сгруппируем слагаемые в левой части:

а(х³+1)+вх(х+1)=0

Затем (х+1)(ах²+(в-а)х+а)=0 , отсюда следует, что

б) Возвратное уравнение не имеет корней, равных нулю.

в) Частное от деления многочлена f(х) нечетной степени на (х+1) снова является возвратным многочленом.

5.1  Уравнение вида ах+вх³+сх²+вх+а=0 называют симметрическим уравнением 4-й степени

Алгоритм решения подобных уравнений:

а) разделить обе части уравнения на х², при этом не происходит потери корня, т. к х=0 не является корнем исходного уравнения.

б) группировкой привести уравнение к виду:

а(х²+)+в(х+)+с=0

в) ввести новую переменную t=х+, тогда t²=х²+2+.

Выразить t²-2=х²+

г) Решить квадратное уравнение в новых переменных

д) сделать обратную подстановку

Уравнение вида (х+а)+(х+в)=с, в частности

(х+а)+(х+в)=с, решаются заменой t=х+, используя метод симметризации.

В некоторых случаях может быть эффективным метод разложения левой части уравнения f(х)=0 на множители.

Уравнение вида (х+а)(х+в)(х+с)(х+d)=А, где а+d=с+в

Метод решения заключается в частичном раскрытии скобок, затем введении новой переменной.

Уравнение вида (х+а)(х+в)(х+с)(х+d)=Ах² , где ав=сd

Метод решения заключается в частичном раскрытии скобок, делении обеих частей на х² и решении совокупности квадратных уравнений

4. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

4.1. Решение уравнений высших степеней

№ 1 Решить уравнение

.

Разложим левую часть уравнения на множители

Переносим в левую часть и раскладываем полученный многочлен на множители

,тогда

2x + 2 = 0 или –3x2 – 6x + 24 = 0. Решая эти уравнения, получаем корни x1 = -1, x2 = -4, x3 = 2.

Разложение на множители позволило свести решение кубического уравнения к решению квадратного и линейного уравнений.

Ответ: -4; -1; 2.

№ 2 Решить уравнение

Разделим обе части уравнения на (= 0 не является решением уравнения)

,

тогда

.

Пусть тогда Получим уравнение

По теореме Виета корни уравнения: Значит,

или .

Решая эти уравнения, находим корни

Введение замены позволяет понизить степень уравнения и свести его к решению квадратного уравнения.

Ответ: ; 1; 9;

№ 3 Решить уравнение

Заменим это уравнение равносильным ему прибавлением и вычитанием одного и того же выражения .

,

Разложим числитель на множители

.

для любого . Сокращая дробь, получим равносильное уравнение

,

корнями которого являются

Ответ: -5; 5.

№ 4 Решить уравнение

Разделив обе части уравнения на ( не является решением данного уравнения).

.

Полагая , получим уравнение

корнями которого являются .

Значит, или . Первое уравнение не имеет решений на множестве R, а корни второго .

Ответ: 1; 6.

Данный пример показывает, что деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение с последующим введением замены позволяет понизить степень уравнения.

№ 5 Решить уравнение

Областью допустимых значений данного уравнения являются все числа, удовлетворяющие условию

Тогда,

Пусть , получим уравнение

Решая данное дробно-рациональное уравнение, получим корни

Значит,

или

Решениями уравнений являются

Ответ: -2-; -6; -2+; 2.

№ 6 Решить уравнение

ОДЗ:

Пусть , тогда Получим уравнение

Выполняя преобразования, данное уравнение приводится к виду

Корни этого уравнения следовательно,

Ответ: -3; 1.

№ 7. Решить уравнение

х³-х²-3х-1=0

Решение: Корень х= - 1 находим подбором и делим по схеме Горнера:

	1	- 1	- 3	- 1
- 1	1	- 2	- 1	0

Получим:

(х+1)(х²-2х-1)=0

Ответ: -1; 1±.

№8. Решить уравнение (χ-1) χ (χ+1) (χ+2) = 24

Решение. В выражениях подобного вида не следует спешить

раскрывать скобки. Надо найти подходящий способ группировки.

В данном примере он будет таким:

[(χ-1)(χ+2)][χ(х+1)]=24,

т. е. группируем множители так, чтобы при перемножении их попарно

совпадали первые и вторые коэффициенты: (χ²+χ-2) (χ²+χ)= 24.

Введем замену: χ²+χ=t. Уравнение примет вид: t²-2t-24=0. Отсюда

t= - 4 или t= 6. Получим два уравнения:

⇔ ⇔

Ответ: -3; 2.

№9. Решить уравнение (2x²-3x+1)(2x²+5x+1)=9x².

Решение. Непосредственной проверкой устанавливаем, что x=0

не является корнем данного уравнения. Тогда вынесем x из каждой

скобки и перейдем равносильному уравнению:

С учетом того, что x≠0, запишем равносильное уравнение:

(2х+ - 3)(2х++5)=9

Сделаем замену:

Отсюда t(t+8)=9 ⇔t²+8t-9=0. Теореме Виета t=1 или t=-9.

⇔⇔

Ответ: ,.

№10. Решить уравнение ( x+2) (x+3) (x+8) (x+12) = 4x2.

Решение. Сгруппируем множители левой части уравнения так,

чтобы при перемножении были равны первый коэффициент и свободный член:

[(x+2) (x+12)] [(x+3) (x+8)]= 4x2;

(x2+14x+24x) (x2+11x+24)= 4x2.

Поступим аналогично предыдущему примеру. Так как x=0 не

является корнем уравнения, вынесем его из каждой скобки: x (x++14) x (x++11)= 4x2.

Данное уравнение равносильно:

(x+ +14) ( x++ 11)= 4.

Заменим x++11=t. Тогда уравнение примет вид:

(t+3)t=4 t2+3t-4=0 t= - 4 или t=1.

Вернемся к переменной x:

Ответ: - ; - 6 ; - 4 ;

№11. Решить уравнение (χ+1)⁴+(χ+5)⁵=32.

Решение. Введем замену: t=. Выразим χ через t:x=t

Тогда x+1=t-2; x+5=t=2. Исходное уравнение примет

следующий вид:

(t-2)⁴+(t+2)⁴=32 ⇔ [(t-2)²]²+[(t+2)²]²=3 ⇔ (t²-2t+4)²+(t²+2t+4)²=32.

Преобразуем полученное уравнение:

t⁴+4t²+16-4t³+8t²-16t+t⁴+4t²+16+8t²+16t+4t³=32;

2t⁴+24t³=0 ⇔ 2t²(t²+12)=0

Отсюда t=0. Тогда x=-3.

Ответ: -3.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Универсальной формулы для нахождения корней алгебраического уравнения n– ой степени нет. В данной работе на конкретных примерах рассмотрели различные способы понижения степени уравнений.

Трудно решать уравнения третьей степени и выше. Такие уравнения часто встречаются в олимпиадных заданиях по математике (в частности, такие задания предлагала Ивьевская интернет-олимпиада по математике), задания такого характера встречаются в различных пособиях для подготовки к централизованному тестированию по математике, также уравнения степени выше 2-й присутствуют в сборниках экзаменационных материалов на основе базового и среднего образования.

И хотя при решении уравнений высших степеней нет «общих рецептов», многое зависит от сообразительности, наблюдательности и опыта, я считаю, что материал данной работы поможет сориентироваться в многообразии различных методов решения уравнений, выбрать наиболее подходящий и успешно справиться с заданием.

Данная работа адресуется учащимся, желающим углубить свои знания по решению уравнений высших степеней, занимающимся подготовкой к централизованному тестированию, а также окажет помощь при подготовке к различным видам олимпиад по математике.