Практическая работа №7

Тема «Уравнение прямой на плоскости»

Цель: овладеть навыками составления уравнения прямой, если она задана несколькими способами (точкой и направляющим вектором, точкой и нормальным вектором, двумя точками и др.)

Теоретическая часть

1.  Всякая прямая на плоскости определяется уравнением 1-ой степени с двумя переменными х и у и обратно, всякое уравнение вида Ах + Ву +С = 0 (*) при любых действительных значениях коэффициентов А, В, С, кроме случая одновременного равенства нулю коэффициентов А и В, определяет прямую.

Уравнение (*) называется общим уравнением прямой.

2.  Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору имеет вид Вектор называется направляющим вектором, а приведенное уравнение – каноническим уравнением прямой.

3.  Уравнение прямой линии, которая проходит через данные точки имеет вид и называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

4.  Уравнение прямой, которая пересекает ось Оу в точке Р(0;b) и образует с осью Ох угол α, имеет вид у = kx +b, где k =tg α называется угловым коэффициентом, а само уравнение – уравнением с угловым коэффициентом.

5.  Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору , имеет вид, где вектор называется нормальным вектором прямой.

6.  Уравнение прямой линии, которая пересекает ось Ох в точке , а ось Оу - в точке и называется уравнением прямой в отрезках ( на осях Ох и Оу прямая отсекает отрезки, которые соответственно равны а и b).

Исследование взаимного расположения прямых

1.  Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями у = k1x +b1 и y = k2x + b2, тогда угол между первой и второй прямыми, находится по формуле: Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая того, какая из прямых является первой, а какая – второй, то используется формула: Из приведенных формул выводятся условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

2.  Условия параллельности прямых l1 и l2: ║

3.  Условие перпендикулярности прямых l1 и l2:

4.  Расстояние d от точки заданной уравнением Ах +Ву + С = 0, находится по формуле:

Примеры

1.  Cоставить уравнение прямой, проходящей через точку А (2;3) и перпендикулярной прямой 4х+3у-12=0.

Решение: пусть l1: 4х+3у-12=0, а l2: Ах+Ву+С=0. Так как l1l2, то 4А+3В=0 (1)

Так как точка А l2, то получим уравнение 2А+3В+С= 0 (2)

Из уравнений (1) и (2) выразим В и С через А: 3В= - 4А, 2А -4А+С = 0, С= 2А, В= -.

l2: Ах - у+ 2А= 0, l2: 3х – 4у +6= 0.

Ответ: 3х-4у+6 =0.

2.  Составить уравнение прямой, проходящей через точки М1(-1;3) и М2(3;-5), и привести его к виду: а каноническому; б)общему; в)с угловым коэффициентом; г) в отрезках.

Решение: а) , подставив координаты точек М1 и М2, получим

б) из пункта а)-2(х+1)= у-3, -2х-2= у-3, -2х-у+1=0, 2х+у-1 =0.

в) из пункта б) у = -2х+1.

г)- уравнение прямой в отрезках, из пункта а) Ответ: а) ; б) 2х+у-1=0; в) у= -2х+1, г)

Задачи для самостоятельного решения

1.Составить каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку М0(4;-3) и параллельна:

а) вектору ;

б) прямой

в)оси Оу (оси Ох).

2.Составить общее уравнение прямой, которая проходит через точку М0(0;-2) и

а)перпендикулярна вектору б)параллельна оси Ох (оси Оу); в) перпендикулярна прямой

3.Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(1;-2) и М2(3;-1) (М1(2;-1) и М2(-3;1))

и привести его к виду: а) каноническому; б) общему; в) с угловым коэффициентом; г) в отрезках.

Вопросы:

1.Каким уравнением описывается прямая на плоскости?

2. Запишите уравнения осей координат.

3. Запишите уравнения прямых, параллельных осям координат.

4. Составьте уравнения сторон, высоты АЕ и медианы ВD в АВС с вершинами А(3;-7), В(-1;4), С(-6;-5).

Литература

1., Математика:Учеб. пособие для техникумов.-М.:Высш. Шк.,1991

2. Практикум по высшей математике для инженерных специальностей-Ростов н/Д:Феникс,2007.