Диаграммы квазихрупкого разрушения при усталости (двухчастотное нагружение)

УДК 539.3

ДИАГРАММЫ КВАЗИХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ ПРИ УСТАЛОСТИ

(ДВУХЧАСТОТНОЕ НАГРУЖЕНИЕ)

Институт гидродинамики им. СО РАН, 630090 Новосибирск, Россия

E-mail: *****@

Рассматривается распространение трещины скачками в казихрупких материалах при цикловом нагружении. Изучаются стационарное и нестационарное нагружения при пульсирующем приложении нагрузки, в том числе среди последнего типа нагружения особое внимание уделено двухчастотному нагружению.

Предлагается использовать для анализа указанного процесса диаграммы квазихрупкого разрушения тел при циклическом нагружении. Одна из кривых предлагаемой диаграммы напоминает диаграмму Китагава – Такахаши.

В явном виде получены оценки безразмерной средней скорости продвижения вершины трещины за один цикл нагружения при скачкообразном подрастании трещины. Полученные соотношения для средней скорости можно рассматривать как структурные формулы для построения кривых Пэриса. Для кривых Пэриса проведен подробный анализ процесса продвижения вершины трещины. Рассмотрены два предельных случая и один промежуточный случай: предельные случаи соответствуют началу и завершению процесса продвижения вершины трещины, а промежуточный случай – установившейся стадии процесса.

Ключевые слова: хрупкое, квазихрупкое разрушения; усталость; кривые Пэриса.

1. Введение

В докладе , который состоялся 6 сентября 2011 г. в г. Томске, было обращено внимание на то, что теоретические предсказания и практические рекомендации по малоцикловой усталости дисков компрессоров авиадвигателей могут отличаться в несколько раз. Ниже предпринята попытка сблизить указанные оценки, когда рассматриваются нестационарные пульсирующие режимы нагружения, причем особое внимание уделяется двухчастотному нагружению. Пусть одна из частот двухчастотного режима нагружения соответствует режиму «взлет–посадка», а вторая частота этого режима описывает либо вынужденные стационарные колебания лопаток компрессора, либо колебания лопаток компрессора при попадании птицы. Колебания лопаток передаются на диск компрессора через специальные крепления. В окрестности этих креплений реализуется двухчастотный пульсирующий режим нагружения материала. Простейший вариант двухчастотного нагружения приведен на рис. 1, где – суммарное нагружение при двухчастотном пульсирующем режиме, – нагружение, соответствующее режиму «взлет–посадка», – нагружение от колебания лопаток. Справа на рис. 1 приведено преобразование исходного режима нагружения к двум пульсирующим режимам.

Допустим, что в окрестности крепления лопаток к диску имеется внутренний трещиноподобный дефект. Получим оценки числа циклов при двухчастотном нагружении, когда режиму «взлет–посадка» соответствует такой уровень нагружения диска компрессора, при котором реализуется малоцикловая усталость. Для получения оценок числа циклов при двухчастотном нагружении используется диаграмма квазихрупкого разрушения при малоцикловой усталости [1], напомним, что эта диаграмма была построена для одночастотного пульсирующего нагружения. В работе [1] приведено подробное построение этой диаграммы для макроуровня. Использование указанной диаграммы оправдано тогда, когда наложение второго режима нагружения на первый не выводит комбинированный режим нагружения за рамки малоцикловой усталости.

Рис. 1. Двухчастотный режим нагружения диска, соответствующий вращающемуся диску при наличии колебаний лопаток

2. Диаграммы квазихрупкого разрушения при однократном нагружении образца конечной ширины

Примем простейшую аппроксимацию диаграммы материала, когда эта диаграмма аппроксимируется двухзвенной ломаной. Эта аппроксимация описывает поведение упруго-пластических материалов. Параметры этой аппроксимации : – модуль упругости, – предел текучести или «теоретическая» прочность гранулированного материала, – постоянные напряжения, действующие согласно модифицированной модели Леонова – Панасюка – Дагдейла () [2, 3], – максимальное упругое удлинение материала (), – максимальное удлинение материала. Пусть для гранулированного материала с регулярной структурой – диаметр зерна.

Подход Нейбера – Новожилова [4, 5] позволяет для сред со структурой использовать решения, имеющую сингулярную составляющую, поскольку бесконечные напряжения в вершине модельной трещины, не допускаемые классическими континуальными критериями прочности, не противоречат дискретным критериям, если сингулярная составляющая решения имеет интегрируемую особенность.

Ради простоты рассматривается внутренняя трещина нормального отрыва. Диаграммы квазихрупкого разрушения тел с краевыми трещинами получены в [6]. Пусть внутренняя плоская трещина нормального отрыва распространяется прямолинейно. Кроме реальной внутренней прямолинейной трещины-разреза длиной введем в рассмотрение модельные трещины-разрезы длиной , каждая из зон предразрушения расположена на продолжении реальной трещины ( – длины модельных трещин и зон предразрушения).

Таким образом, наша задача об усталостном разрушении имеет два линейных масштаба: если диаметр зерна определяется структурой материала, то второй линейный масштаб вырабатывается самой системой. Этим вторым линейным масштабом при малоцикловой усталости являются длины зон предразрушения , которые изменяется в соответствии с тем как меняются 1) длина реальной трещины, которая подрастает скачками, и 2) интенсивность нагружения при двухчастотном режиме. За изменением второго линейного масштаба легко проследить, анализируя изменение расстояний между гребнями усталостных бороздок на изломе детали. Подчеркнем, что при однократном наружении критическая длина зоны предразрушения – вполне определенный параметр [7].

При построении диаграмм квазихрупкого разрушения в условиях малоцикловой усталости в [1] используются достаточные критерии разрушения, когда рассматриваются трещины нормального отрыва,

. (1)

, . (2)

Здесь – нормальные напряжения на продолжении трещин; – прямоугольные системы координат, ориентированные относительно правых частей трещин (начало координат совпадает с вершиной модельной трещины в модифицированной модели Леонова – Панасюка – Дагдейла [1, 7]); – целые числа (); – интервал осреднения; – коэффициент поврежденности исходного материала на интервале осреднения (); – раскрытие трещин ().

В модифицированной модели Леонова – Панасюка – Дагдейла [2, 3] поле нормальных напряжений на продолжении модельных трещин можно представить в виде суммы двух слагаемых

, , , (3)

где – суммарные коэффициенты интенсивности напряжений (КИНы) в вершинах модельных трещин, – КИНы, порождаемые напряжениями , заданными на бесконечности, – КИНы, порождаемые постоянными напряжениями . Первое и второе слагаемые в соотношении (3) – сингулярная и гладкая части решения соответственно.

При описании зон предразрушения используется [1, 7] первый класс решений, соответствующий хрупкому и квазихрупкому типам разрушения, когда в соотношении (3) суммарные КИНы положительны, т. е.

. (4)

Для критических параметров неравенства (1) и (2) достаточного критерия превращаются в равенства, причем первое равенство контролирует достижение напряжениями на продолжении модельной трещины после осреднения предела текучести или «теоретической» прочности , а второе описывает затупление в вершине реальной трещины.

Первое равенство достаточного критерия (1), (2) представляет типичный силовой критерий разрушения [8], а второе равенство этого критерия – деформационный критерий [8]. Таким образом, достаточный критерий разрушения (1), (2) одновременно учитывает силовой и деформационный критерии разрушения в характерных точках зоны предразрушения. При таком подходе [1,7] к описанию процесса разрушения отпадает необходимость обсуждать преимущества и недостатки силовых или деформационных критериев [9-11]. По Новожилову [5] предлагаемый критерий (1), (2) является достаточным, он сочетает преимущества силового и деформационного критериев и частично нивелирует их недостатки. Выбранные характерные точки зоны предразрушения хорошо приспособлены к описанию скачкообразного продвижения вершин трещин и накоплению повреждений в материале зоны предразрушения при усталости [1].

Простейшее аналитическое представление поля напряжений на продолжении модельной трещины имеет вид [7], когда выполнено неравенство (4),

. (5)

Введем в рассмотрение критические напряжения, рассчитанные по необходимому и достаточному критериям разрушения. Эти критические напряжения и представляют нижние и верхние оценки напряжений . Наиболее интересная область нагружения с точки зрения изучения малоцикловой усталости есть область . Критическая кривая разрушения описывает разрушение хрупких материалов, когда зона предразрушения отсутствует, т. е. , а – «теоретическая» прочность хрупкого материала. Критическая кривая разрушения описывает разрушение квазихрупких материалов, когда , причем – критическая длина зоны предразрушения, – критическая длина макротрещины, – предел текучести упруго-пластического материала.

После решения системы (1), (2) с учетом неравенства (4) и соотношения (5) получим критические параметры разрушения для квазихрупких материалов

. (6)

Равенство (1) – необходимый критерий разрушения при , равенство (1) используется для отыскания критического параметра

. (7)

Диаграммами разрушения соответственно для квазихрупких материалов являются пары кривых , . Аналитические представления критических параметров разрушения для квазихрупких материалов с учетом представления решения (5) имеют вид

, (8)

, . (9)

Выражения (8) и (9) имеют смысл, если

. (10)

Это неравенство (10) – ограничение, которое выполняется только для хрупких и квазихрупких материалов. Аналитическое представление кривой получается из соотношения (8) при , точнее , для однократного нагружения приняты обозначения ,

. (11)

Очевидно, что при ,см. (8), (11).

Введем в рассмотрение критические КИНы, полученные по необходимому и достаточному критериям разрушения с учетом представления в полосе конечной ширины,

, . (12)

Здесь , – коэффициенты, где – ширина полосы.

Критические КИНы и из соотношений (12) используем для получения оценок влияния ширины образца на вид диаграмм разрушения. Величины коэффициента для разных соотношений и условий нагружения можно найти в стандартных справочниках [12, 13]. Целесообразно обратить внимание на приближенные аналитические соотношения для коэффициента из [12], которые допускают предельный переход для трещин конечной длины

при , при . (13)

Предельные значения коэффициента из соотношений (13) таковы, что критические напряжения , из (8) и (11) можно использовать в практических расчетах, когда выполняется сильное неравенство . Для полосы конечной ширины критические напряжения и отыскиваются с использованием представления (5), см. [6], и имею вид

, , (14)

, . (15)

Последние сомножители , в скобках соотношений (14), (15) отражают влияние изменения работающего сечения образца на критические параметры , . Поскольку для величин коэффициента отсутствуют общепринятые данные в справочниках [12, 13], используем приближенное соотношение для квазихрупких материалов, когда .

Результаты расчетов по влиянию конечности ширины образца на критические кривые разрушения и на плоскости «длина трещины – внешняя нагрузка» представлены на рис. 2 в двойных логарифмических координатах, когда . На этом рис. сплошная кривая 1 построена по соотношению (11) для , пунктирная кривая 4 – (14) для , сплошные кривые 2 и 3 построены по соотношению (8) для соответственно при (), пунктирные кривые 5 и 6 – (15) для соответственно при (). При построении кривых принято, что отсутствуют повреждения материала, т. е. .

Рис. 2. Диаграммы квазихрупкого разрушения, учитывающие ширину образца , при однократном нагружении (сплошные и пунктирные кривые для образцов бесконечной и конечной ширины)

Пары кривых 1-2, 1-3 и 4-5, 4-6 на рис. 2 представляют диаграммы квазихрупкого разрушения полос бесконечной и конечной ширины соответственно, причем пары кривых 1-2, 4-5 и 1-3, 4-6 построены при и (). Влияние параметра на указанные диаграммы, когда , легко анализируется. Это влияние сводится к исследованию влиянию комбинированного параметра в соотношениях (8), (15).

Отклонение кривых 4, 5, 6 для пластин конечной ширины от соответствующих кривых 1, 2, 3 наблюдается в интервале при . Соотношения (8), (11), (14), (15) для образцов с внутренней трещиной позволяют указать интервал относительных длин трещин , в котором можно пренебречь влиянием ширины образца на критические параметры , .

Получим из соотношений (8) и (11) оценки для предельных случаев

, (16)

при , при . (17)

Когда трещина отсутствует, точнее или в соотношениях (16), прочность тела прямо пропорциональна напряжениям с учетом поврежденности материала на интервале осреднения как для достаточного (8), так и для необходимого (11) критериев разрушения. Для длинных трещин, точнее или в соотношениях (17), прочность тела прямо пропорциональна напряжениям с учетом поврежденности материала на интервале осреднения и обратно пропорциональна корню квадратному из относительных длин трещин или для необходимого (11) или достаточного (8) критериев разрушения. Для достаточного критерия надо принять во внимание поправочный коэффициент , зависящий от характеристик упруго-пластического материала зоны предразрушения. Оценки (16), (17) согласуются c видом кривых 1, 2, 3 рис. 2.

Критические КИНы или для пластины бесконечной ширины не являются постоянными материала, так как вычисляются по известным параметрам материала со структурой. Таких параметров в рамках построенной модели имеется всего два основных параметра для КИНа , а КИН включает уже четыре основных параметра, параметры и – второстепенные параметры.

Принимая во внимание стандартные представления КИНов , , легко получить предельные соотношения для критических КИНов , , см. оценки (17),

при , при . (18)

Только для достаточно длинных трещин критические КИНы можно считать постоянными, так как , , причем эти постоянные зависят от поврежденности материала на интервале осреднения, а последняя постоянная зависит еще и от свойств упруго-пластического материала зоны предразрушения.

Первые оценки из соотношений (17) и (18) для и при соответствуют линейной механике разрушения. Вторые оценки из соотношений (17) и (18) для и при очень напоминают соотношения линейной механике разрушения, если принять во внимание влияние поправочного коэффициента для упруго-пластического материала, имеющего квазихрупкий тип разрушения.

Предлагаемая диаграмма квазихрупкого разрушения рис. 2 при однократном нагружении состоит из дух кривых, полученных по необходимому и достаточному критериям разрушения, причем всегда критические напряжения для трещин конечной длины () достаточного критерия превосходят критические напряжения необходимого критерия , т. е. . Часть энергии теряется при пластическом деформировании материала зоны предразрушения. Построение диаграмм разрушения обсуждается в монографиях [8, рис. 3.12 на стр. 76; 14, рис. 27.1 – 27.4 на стр. 233-239]. Особенно много внимания уделено в [14] построению кривых разрушения исходной трещины при последовательном догружении, однако в предлагаемых исследованиях используется другая параметризация, отличная от параметризации в аналогичной задаче, см. [14, стр.232].

В предлагаемой модификации модели Леонова – Панасюка – Дагдейла кривая разрушения для исходной трещины на плоскости есть составная кривая с предельной (критической) точкой, когда . Кривая разрушения состоит из 1. вертикальной прямой , когда , 2. кривой, соответствующей соотношению (9), когда (), и заканчивается 3. критической точкой, когда (). Максимальная длина зоны предразрушения определяется величиной параметра неупругого деформирования материала (); этот параметр в задачах усталости есть переменная величина из-за охрупчивания материала зоны предразрушения. Используем естественное параметрическое представление кривой разрушения , на плоскости (), где – текущее значение параметра неупругого удлинения, поскольку . Это параметрическое представление второго участка кривой разрушения при квазихрупком приближении имеет простой вид

, , , , (19)

, .

На рис. 3 изображены диаграммы квазихрупкого разрушения, представляющие из себя две пары кривых 1 – 2 или 1 – 3. При построении кривой 1 для использовалась формула (11), по формулам (8) построены кривые 2 и 3 для при и 3,0 соответственно. Диаграммы квазихрупкого разрушения рис. 3 дополнены вторыми участками кривых разрушения для конкретных длин трещин , см. соотношения (19) (вертикальные участки кривых разрушения для не изображены). Длины исходных трещин подобраны так, чтобы получилась «спина динозавра» по Р. Томсону [7, 15, 16]. На рис. 3 эти кривые разрушения изображены в виде сплошных кривых, упирающихся в штриховую или штрихпунктирную кривую, последние кривые соответствуют параметрам и 3,0. Чем больше параметр неупругого удлинения материала, тем больше значения критических длин зон предразрушения. Непрерывные кривые разрушения из [15] имеют множественные локальные минимумы и максимумы и описывают решеточный захват. В рассматриваемом случае точки экстремумов непрерывных кривых разрушения [15] превращаются в точки разрыва первого рода из-за вида аппроксимации стандартной диаграммы упруго-пластического материала. Точки разрыва первого рода кривых разрушения являются причиной скачкообразного продвижения вершин трещин при усталости. За счет материала зоны предразрушения в окрестности вершины трещины формируется композиционная структура с переменными свойствами при усталости. Материал зоны предразрушения охрупчивается. Основным параметром, описывающим этот процесс, является параметр неупругого удлинения (); при охрупчивании этот параметр уменьшается.

Рис. 3. Диаграммы квазихрупкого разрушения и кривые разрушения для разных длин трещин, штриховые и штрихпунктирных кривые соответствуют параметрам и 3,0

3. Диаграмма квазихрупкого разрушения при усталости (двухчастотный режим нагружения)

Исходная диаграмма квазихрупкого разрушения при усталости совпадает с диаграммой квазихрупкого разрушения при однократном нагружении, если рассматривается одночастотный пульсирующий режим нагружения с постоянной амплитудой [1]. Ниже, как и в работе [1], рассматривается циклически стабильный материал, т. е. предел текучести не зависит от номера цикла . Одна из кривых диаграммы квазихрупкого разрушения преобразуется с учетом накопления повреждений в зоне предразрушения для последующих циклов нагружения до первого скачка вершины трещины, так как материал этой зоны охрупчивается. После скачка вершины трещины все повторяется, но для новой длины трещины.

Рис. 4. Диаграмма Kitagawa-Takahashi.

Сравним предлагаемую диаграмму квазихрупкого разрушения при малоцикловой усталости для одночастотного стационарного пульсирующего режима нагружения [1] с диаграммой Kitagawa-Takahashi [17, 18]. Приведенная на рис. 4 диаграмма Kitagawa-Takahashi заимствована из [18, фиг 2 на стр.749]. Диаграмма Kitagawa-Takahashi [17] состоит из одной кривой, аналитическое представление которой можно найти на рис. 4; эта кривая разделяет область усталостного разрушения и область, где такое разрушение отсутствует. Для очень коротких трещин эта кривая непосредственно связана с пределом усталости по напряжениям, а для длинных трещин включает пороговое значение КИНа при усталости [19]. В диаграмме Kitagawa-Takahashi [17] не прослеживается какая-либо связь с упруго-пластическими свойствами материала (как исходного материала, так и модифицированного материала зоны предразрушения). Все рассуждения по построению диаграммы Kitagawa-Takahashi [17] содержат некоторое противоречие, связанное с одновременным использованием критического КИНа и предела усталости по напряжениям.

Предлагаемая диаграмма квазихрупкого разрушения при малоцикловой усталости [1] не связана с использованием КИНов. Ее построение непосредственно зависит как от упруго-пластических свойств материала, так и от длины трещины. Эта диаграмма, состоящая из пары кривых, разбивает плоскость «длина трещины – амплитуда внешней нагрузки» на три подобласти: 1. левее и ниже кривой расположена область, где усталостное разрушение отсутствует; 2. правее и выше кривой расположена область разрушения при однократном нагружении; 3. между кривыми и расположена область скачкообразного продвижения вершины трещины из-за охрупчивания материала зоны предразрушения при циклическом нагружении. При повторных нагружениях кривая преобразуется, при преобразованиях учитывается охрупчивание материалы зоны предразрушения. Предлагаемая диаграмма усталости в двойных логарифмических координатах ограничена горизонтальной и наклонной прямыми, см. кривые 1, 2, 3 рис. 2 для пластин бесконечной ширины. Расположение горизонтальной прямой связано с пределом текучести упруго-пластического материала, угол наклона и расположение наклонной прямой определяется комплексным параметром неупругого деформирования материала. Предлагаемая диаграмма имеет два пороговых значения и , см. соотношения (8) и (11).

Предлагаемая модифицированная модель Леонова – Панасюка – Дагдейла, примененная к усталостному разрушению, очень напоминает модель с гипотетическими элементами усталости [20, фиг. 1], расположенными в вершине реальной трещины. Какая-либо связь длины этих элементов с размером пластической зоны в вершине реальной трещины отсутствует, но подчеркивается, что пластическая зона связана с пиковыми величинами нагрузок и КИНов [20, фиг 2].

Остановимся более подробно на двухчастотном режиме нагружения, который иллюстрирует правая часть рис. 1. Пусть двухчастотный режим нагружения диска соответствует раскрученному диску при наличии колебаний лопаток. Предположим, что частоты первого («взлет–посадка») режима отличаются от второго на несколько порядков, т. е. . Пусть для частот справедливо соотношение

. (20)

Рассмотрим такое двухчастотное нагружение, при котором второй режим накладывается на первый основной режим нагружения (второй режим нагружения не может существовать без первого режима). Таким образом, как и в [20] выбирается конкретная программа циклического нагружения. При осуществлении программы циклического нагружения, приведенной на рис. 1, имеет место полная разгрузка после посадки. Эта программа отличается от программы нагружения на фиг. 2(B) из [20], где изучается единичная перегрузка.

Вместо ограничения

, (21)

которое справедливо для одночастотного стационарного режима нагружения [1], когда амплитуда одночастотного пульсирующего нагружения постоянна (), рассмотрим другие ограничения

, , (22)

, .

Здесь – суммарная амплитуда колебаний [20], и – амплитуды, соответствующие первому и второму стационарным режимам, – амплитуда с учетом разгрузки от второго колебательного режима, причем при отсутствии колебаний лопаток имеем

.

Подчеркнем, что второе ограничение и последнее равенство из (22) соответствуют пульсирующим режимам нагружения с учетом преобразований правой части рис. 1. При выполнении ограничений (22) имеем малоцикловую усталость как при одночастном основном режиме нагружения с амплитудой , так и при двухчастотном режиме нагружения с амплитудой . Двухчастотный режим нагружения рассматривается как своеобразная перегрузка на фоне постоянной нагрузки , какие либо дополнительные ограничения на амплитуду не налагаются. Второе ограничение из (22) очень напоминает соотношение (21). Очевидно, что при выполнении соотношения имеет место катастрофическое развитие событий: происходит разрушение диска, например, при попадании в двигатель крупной птицы.

Рассмотрим двухчастотное нагружение, при котором – номер цикла в режиме «взлет–посадка», – номер цикла в режиме стационарных колебаний лопаток. При скачкообразном продвижении вершины трещины меняется ее длина, поэтому надо в номерах циклов и ввести дополнительный индекс такой, что – число скачков вершины трещины, – критическое число скачков, когда объект разделяется на части, причем образец имеет исходную трещину длиной до первого цикла нагружения.

Исследуем изменения подобласти диаграммы квазихрупкого разрушения для циклов нагружения между скачками вершины трещины, когда принимается во внимание охрупчивание материала зоны предразрушения. Сначала рассматривается простейший случай, ср. (20), когда

. (23)

Здесь – критическое число циклов колебаний лопаток, т. е. до первой посадки диск компрессора теряет целостность при наличии трещины. Изменения в подобласти диаграммы квазихрупкого разрушения для циклического нагружения, соответствующего режиму стационарных колебаний лопаток, с учетом накопления повреждений описываются неравенствами

(24)

когда критическое число циклов (колебаний лопаток) нагружения подсчитывается так

. (25)

Здесь – критическая нагрузка, полученная по достаточному критерию квазихрупкого разрушения на -ом цикле нагружения до скачка, – номер цикла между и скачками, соответствует состоянию поставки материала после каждого скачка вершины трещины, – число (группа) циклов колебаний лопаток между и скачками вершины трещины, – критическое число циклов нагружения, после скачков длина исходной трещины изменяется так, что система разрушается за один цикл . Подчеркнем, что, как правило, , так как и . Таким образом, критическое (общее) число циклов нагружения разбивается на групп, в каждой из которых циклов ().

Первая строка соотношения (24) описывает накопление повреждений в зоне предразрушения. Во второй строке соотношения (24) выписано условие, при котором происходит скачок вершины трещины, напомним, что – амплитуда напряжений в каждом цикле, а материал образца рассматривается как своеобразный композит. В соотношениях (24) используется только одно значение для критической нагрузки по необходимому критерию (11), это соответствует рассмотрению циклически стабильных материалов, когда . Соотношения (24) описывают перестройку диаграмм квазихрупкого разрушения композиционной структуры с переменными свойствами при циклическом нагружении. Имеет место кумулятивный эффект накопления повреждений в зоне предразрушения.

Остановимся на процессе продвижения вершины трещины скачками. В работах [1, 21, 22] была высказана гипотеза об останове макротрещины раскалывания при стационарном пульсирующем нагружении, эта гипотеза была подтверждена экспериментально [23-25]. Исходная острая трещина длиной после -ого скачка распространяется только по охрупченному материалу зоны предразрушения на ( – длина зоны предразрушения перед вершиной реальной трещины длиной ). После останова перед новой вершиной реальной трещины расположен исходный материал, имеющий квазихрупкий тип разрушения.

Длины модельных трещин отличаются от длин реальных трещин на две длины зон предразрушения после каждого скачка

, (26)

причем – исходная длина реальной трещины, – критическая длина модельной трещины при циклическом нагружении, когда .

На рис. 5 представлена схема, поясняющая скачкообразное продвижение вершин трещин при двухчастотном нагружении, см. рис 1 и соотношения (24) – (26). Исходная диаграмма квазихрупкого разрушения при усталости изображена на рис. 5 в двойных логарифмических координатах: кривая 1 соответствует напряжениям из (11), кривая 2 –напряжениям из (12), горизонтальная прямая со стрелками отражает продвижение вершин реальных трещин. На кривой 1 отмечены точки , , соответствующие длинам трещин и для заданных уровней нагружения и . На кривой 2 отмечена критическая точка , в которой образец разделяется на части . Чтобы выполнить оба ограничения из (22) исходная длина реальной трещины должна подчиняться ограничениям . На горизонтальной прямой множественные стрелки от точки к точке отражают скачкообразное продвижение вершины реальной трещины.

Рис. 5. Скачкообразное продвижение вершин трещин на диаграмме квазихрупкого разрушения при усталости (образец бесконечной ширины)

Из соотношений (8), (9) по заданному уровню нагружения оцениваются критическая длина трещины и критическая длина зоны предразрушения для последнего цикла нагружения

, (27)

. (28)

Подчеркнем, что полученные оценки (27), (28) не зависят от критического числа циклов нагружения .

Второе ограничение из (24) выполняется для последнего цикла в каждой группе циклов. Изучим накопление повреждений в материале зон предразрушения на каждом цикле нагружения, принимая во внимание к какой из групп циклов рассматриваемый цикл принадлежит, см. соотношение (26) для длин модельных трещин . Имеет место кумулятивный эффект накопления повреждений в зоне предразрушения. Это накопление повреждений можно описать линейным или нелинейным законами суммирования повреждений.

На каждом цикле (,) для реальной трещины длинной отыскиваются относительные и неупругие удлинения материала в вершинах реальных трещин при заданных уровнях нагружения и в рамках модифицированной модели Леонова – Панасюка – Дагдейла. Для уровня нагружения имеем

, (29)

. (30)

Выражения (29), (30) имеют смысл, если

. (31)

Для уровня нагружения получаются такие же соотношения, см. (, если в последних верхний значок заменить на значок . Очевидно, что

. (32)

Поэтому в соотношении (26) длина скачка вершины трещины равна : разрушение имеет место в охрупченном материале. Соотношение (32) влияет на выбор длины скачка вершины трещины, далее величина меньшей из длин зон предразрушения нигде не используется.

Переходим к оценке накопления повреждений в материале зоны предразрушения. По известным значениям , и или , и из соотношения (29) отыскиваются неупругие удлинения или , а из соотношения (30) подсчитываются длины зон предразрушения. Разность между указанными неупругими удлинениями провоцирует накопление повреждений материала зоны предразрушения. [26, 27] и его последователи экспериментально установили зависимость между неупругой деформацией материала в цикле и числом циклов. При другом подходе для учета накопления повреждений в материале зоны предразрушения [28] вводится понятие «критическая величина диссипируемой работы», при которой материал разрушается. Соотношения первого [26, 27] и второго [28] подходов могут быть записаны единообразно. Число циклов колебаний лопаток между и скачками вершины трещины подсчитывается так

. (33)

Здесь – некоторые постоянные (постоянные Коффина), численные значения которых зависят от свойств материала [26, стр.76-77]. Число циклов колебаний лопаток в соотношении (33) определяется отношением максимального неупругого удлинения материала к разности (размаху) неупругих удлинений при двух режимах нагружения с учетом постоянной Коффина. Таким образом, в уравнение Коффина входят параметры исходного материала и неупругие удлинения при двух режимах нагружения, причем последние получены при решении задачи о деформированном состоянии зоны предразрушения, см. (29). Соотношение (33) при линейном или нелинейном суммировании повреждений описывает процесс охрупчивания материала в вершинах реальных трещин. Эти постоянные подбираются по натурному эксперименту [26, 27]. В отличие от [27] в числителе соотношения (33) использовано максимальное пластическое удлинение материала при однократном нагружении, что согласуется с предлагаемой моделью. Соотношение (33) описывает процесс охрупчивания материала, когда реализуется частичная разгрузка. Напомним, что при полной разгрузке материала в знаменателе вместо появляется , см. [1].

4. Продвижение вершины трещины при малоцикловом нагружении (кривые Пэриса)

В предыдущем разделе были получены оценки для числа циклов и длин скачков вершин трещины при . При усталостном разрушении естественно получить оценки безразмерной средней скорости продвижения вершины трещины за один цикл нагружения

. (34)

Эта средняя скорость достаточно легко измеряется в натурных экспериментах [29].

Переходим к анализу полученной оценки (34). Так как соотношение (34) содержит параметры в нужной комбинации, то перепишем его в виде соотношения

, (35)

в котором используется обозначение для амплитуды КИНа при пульсирующем нагружении квазихрупкого материала

, , (36)

когда длина реальной трещины меняются скачками как в (26).

Соотношениям (34), (35) можно придать другой вид, если воспользоваться следствием, полученным из (29),

, (37)

. (38)

Возможно и другое представление члена в последней квадратной скобки в соотношении (38) в виде

.

Любое из представлений этой скобки не влияет на окончательный вывод: полученный закон продвижения вершины трещины (38) не сводится к классическому уравнению Пэриса.

Компактные (34), (35) или громоздкие (37), (38) соотношения с учетом обозначений (36) и () описывают осредненный процесс продвижения вершины реальной трещины при заданном двухчастотном режиме нагружения. Режим нагружения оказывает существенное влияние на процесс продвижения вершины трещины скачками, этот режим описывается параметрами , , в соотношении (37) и параметрами , , или , , в соотношении (38). Двухчастотный режим нагружения отражает первая квадратная скобка. Второстепенные члены в (37), (38) собраны в последней квадратной скобке.

Упомянутые четыре соотношения имеют смысл для следующих реальных длин трещин

, (39)

при заданных уровнях нагружения , или для следующих амплитуд КИНов, см. рис. 5,

, . (40)

Полученные соотношения (37), (38) с учетом ограничений (39), (40) можно рассматривать как структурные формулы для построения кривых Пэриса [30] для заданного двухчастотного режима нагружения. По сравнению со структурной формулой (8) к двум основным параметрам добавились три новых параметра: два параметра нагружения и постоянная Коффина . Параметры нагружения связаны с двухчастотным режимом нагружения при малоцикловой усталости, а третий параметр описывает накопление повреждений в материале зоны предразрушения. Основными функциями, определяющей структуру кривых Пэриса, целесообразно признать сомножители в соотношении (37) и в соотношении (38), дополнительные сомножители в квадратных скобках каждого из выражений вносят существенные коррективы. При построении кривых Пэриса очень часто используются двойные логарифмические координаты.

Обратим внимание на то, что соотношение (38) кроме КИНов , содержит параметр длины трещины . Только для достаточно длинных трещин, когда можно пренебречь членом во второй квадратной скобке, это соотношение более или менее соответствует классической кривой Пэриса [30].

Соотношения (37), (38) не описывают резкое увеличение средней скорости продвижения вершины трещины на последних циклах нагружения [26, 31]. Это увеличение связано с тем, что при натурных экспериментах испытываются образцы конечной ширины. Напомним, что соотношения (37), (38) получены для трещин в пластинах бесконечной ширины. Чтобы учесть влияние конечности ширины образца на процесс продвижения вершины трещины при усталости, надо сначала перестроить диаграмму разрушения [6] как на рис. 2, см приложение.

Так как для реальных длин () макротрещин выполняются строгие ограничения (39), то рассмотрим два предельных случая и один промежуточный случай. Каждый из изучаемых случаев соответствует характерным точкам на кривых Пэриса [30] для пластин бескончной ширины. Предельные случаи соответствуют началу и завершению процесса продвижения вершины трещины, а промежуточный случай – установившейся стадии процесса:

1. начало процесса , но

2. завершение процесса , но

3. промежуточная стадия процесса .

Проведем анализ для каждого случая [1].

1. Для начала процесса продвижения вершины трещины имеем оценку

, (41)

где – малая величина. Т. е. для начала процесса характерны малые скорости продвижения вершины трещины. Порог усталости отсутствует из-за двухчастотного режима нагружения, соответствующего ограничениям (22).

2. При завершении процесса продвижения вершины трещины имеем оценку (надо принять во внимание соотношения (27), (28) и то, что )

, (42)

т. е. при завершении процесса, когда образец бесконечной ширины разделяется на части, имеет место наибольшая скорость продвижения вершины трещины за последний цикл нагружения. Для этой скорости получено аналитическое представление (42), которое зависит от трех параметров , , , т. е. важна суммарная амплитуда нагружения, а не ее составляющие. Наибольшая скорость в соотношении (38) не зависит от постоянной Коффина и параметра , связанного с амплитудой колебаний лопаток.

3. При описании промежуточной стадия процесса, когда сформировалась достаточно длинная усталостная трещина , скорость продвижения вершины трещины можно представить в виде

. (43)

Последнее соотношение (43) не соответствует простейшей аппроксимации кривой Пэриса [30, 32]. Во время всего процесса и на промежуточной стадии процесса первый член в квадратной скобке соотношений (38) и (43) отражает эффект “остаточного раскрытия вершины трещины” после снятия части нагрузки, см. “residual crack opening stretch” в [32, p. S37-S40].

Итак, двухчастотный режим нагружения отражается на скорости продвижения вершин трещин, эта скорость при духчастотном режиме существенно отличается от аналогичных зависимостей [1] для одночастотного режима нагружения.

Рис. 6. Кривые скорости роста длин трещин при линейном суммировании повреждений материала зоны предразрушения

Рис. 7. Кривые скорости роста длин трещин при нелинейном суммировании повреждений материала зоны предразрушения

Результаты расчета по соотношениям (37) и (46) приведены на рис. 6 и 7 соответственно при линейном и нелинейном суммировании повреждений, когда , , , , . Кривые 1 и 2 каждого рис. соответствуют пластинам бесконечной () и конечной () ширины. Отличие кривых рис. 6 и 7 связано с разным типом суммирования повреждений в материале зоны предразрушения: нарастание скорости при нелинейном суммировании намного меньше, чем при линейном суммировании. Для установившейся стадии процесса скорости при линейном и нелинейном суммировании повреждений различаются почти на порядок. Кривые 2 каждого из рисунков имеют характерную перевернутую форму S–образной кривой. Лавинообразное нарастание скорости продвижения вершин трещин перед разделением образца на части связано с конечностью ширины этого образца. Имеется существенная зависимость начала третьего участка от ширины образца. Это нарастание скорости не имеет никакого отношения к материалу образца, так как определяется геометрией образца. При двухчастотном нагружении отсутствует пороговое значение напряжений или пороговый КИН, а при пульсирующем одночастотном нагружении такие пороговые значения существуют [1]. При реализации расчетов по формулам (38), (45) возникают определенные трудности, так как кроме КИНов в них входят параметры, описывающие конкретный режим нагружения. Частично этим можно объяснить возникновение полосы разброса экспериментальных данных, поскольку для каждого режима нагружения возникает своя кривая Пэриса.

5. Обсуждение

Скачкообразное продвижение вершин трещин при циклическом нагружении подробно обсуждается в монографии [33, с. 122-132], где кинетика пластической зоны в вершине трещины непосредственно связывается с особенностями роста усталостных трещин. В той же монографии много внимания уделяется вопросам автомодельности процесса продвижения вершин трещин. Естественным продолжением и обобщением подхода Баренблата – Ботвиной является работа [34]. В заключении этой работы было обращено внимание на другие подходы, в которых предлагаются законы распространения трещин, отличные от классических кривых Пэриса, см., например, [35-37].

В предлагаемом подходе, см. (37), и в работе [1] процесс скачкообразного роста трещин описывается законами вида

, (44)

в которые входят текущая длина трещины , параметры нагрузки , параметры диаграммы квазихрупкого материала и параметр Коффина . Рассматриваемый закон (44) обобщает линейное (43) и нелинейное (44) представления из седьмого раздела работы [34]. Влияние конечности ширины образца на процесс разрушения удалось приближенно оценить, учитывая поправку к КИНам, см. соотношения (45), (46) в приложении. Только после преобразований закона вида (44), см. соотношения (37), (46) данной работы, удалось получить кривую (38), (45), напоминающую классическую кривую Пэриса. Аналогичное утверждение справедливо и по результатам работы [1]. Заранее предугадать, в каком виде выбирать закон, описывающий рост трещин, не представляется возможным [34], так как сценарии нагружения при усталости могут быть весьма разнообразными, а условия автомодельности при скачкообразном росте трещин, вообще говоря, не выполняются. Кроме того, надо рассматривать переходные процессы на стадии начала продвижения и на завершающей стадии перед разделением образца конечной ширины на части, а не только вторую стадию процесса, соответствующую установившемуся процессу продвижения вершины трещины. Предпочтение в представлении скорости изменения длины трещины при скачкообразном ее росте в материалах со структурой желательно отдать закону в виде (44). Было бы желательно отыскивать эти законы, опираясь на использование более или менее правдоподобных моделей деформирования материалов и накопления повреждений в них около вершин трещин при циклическом нагружении, причем по мнению Мураками и Миллера “усталостные повреждения должны быть выражены в терминах трещин” [35, стр. 991]. “…модели, которые игнорируют реальность усталостных повреждений в терминах трещин, не должны быть использованы для предсказания времени жизни при усталости” [35, стр. 991].

При усталостном разрушении металлов «принципиальным следует считать вопрос о нелинейности накопления повреждений …, которые могут быть реализованы на разных масштабных уровнях» [38, стр. 14]. При нелинейном деформировании материалов в зонах предразрушения имеют место процессы самоорганизация системы на мезоуровне [39].

Подходы механики сплошной среды, соответствующие макромасштабному уровню описания, позволяют установить эмпирические закономерности развития трещин, опираясь на богатый экспериментальный материал [26, 40]. Например, основная часть перевернутой S-образной кривой диаграммы усталостного разрушения хорошо может быть представлена эмпирическими соотношениями Пэриса [40]. «Однако все попытки ввести единообразное описание кинетического процесса (роста трещины) до настоящего времени не дали положительного результата» ([41], стр. 21). «…особенно в случае малоцикловой усталости, линейное суммирование накопленных повреждений не отражает реального, нелинейного процесса накопления повреждений» ([41], стр. 37).

6. Заключение

Предлагаемая диаграмма квазихрупкого разрушения при усталости описывает скачкообразный докритический рост трещин и предсказывает время жизни образца при усталости, используя аппроксимации стандартных диаграмм квазихрупкого материала и характеристики накопления повреждений в материале зоны предразрушения. Модифицированная модель Леонова – Панасюка – Дагдейла позволяет выразить в терминах трещин усталостные повреждения материала, расположенного в зоне предразрушения, как при линейном, так и при нелинейном суммировании повреждений. Время жизни образца существенно зависит от программы нагружения. При рассмотренных режимах нагружения полученные соотношения (законы), описывающие рост трещин, не сводятся к простым законам роста трещин при усталости. Эти законы, в общем случае, не являются автомодельными процессами.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта ).

7. Приложение

Воспользуемся представлением соотношения (38) в таком виде, который учитывает ширину образца так, как это было выполнено в (12), (14), (15). Соотношения (12), учитывающие поправку на ширину образца через КИНы, – достаточно грубая аппроксимация реальных условий нагружения. С учетом (12) для квазихрупкого приближения, когда , имеем

(45)

.

Или в более приемлемом виде в соответствии с представлением закона в форме (44), ср. исходное соотношение (37),

(46)

.

В соотношениях (4коэффициенты , , зависят как от ширины образца, так и от длин трещин. Так как рассматривается квазихрупкое приближение, когда и , то при практических расчетах принято . Вторые квадратные скобки не являются второстепенными сомножителями в соотношениях (45), (46) при завершении процесса, когда .

Литература

1. Диаграммы квазихрупкого разрушения тел с иерархией структур при малоцикловом нагружении // Физическая мезомеханика. 2011. Т. 14. № 5. С. 31-45.

2. , Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикл. механика. – 1959. – Т. 5. – № 4. - С. 391-401.

3. Dugdale D. S. Yielding of steel sheets containing slits. J. Mech. Phys. Solids. – 1960. – V. 8. – P. 100-104.

4. Neuber G. Kerbspannunglehre: Grunglagen fur Genaue Spannungsrechnung. Springer-Verlag. 1937.

5. Новожилов В. В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. – 1969. – Т. 33, вып. 2. – С. 212-222.

6. , Диаграмма квазихрупкого разрушения тел со структурой при наличии краевых трещин // ПМТФ. 2011. Т. 52, № 6. С. 152-164.

7. Оценочная диаграмма квазихрупкого разрушения тел с иерархией структур. Многомасштабные необходимые и достаточные критерии разрушения // Физическая мезомеханика. 2010. Т. 13. № 1. С. 47-59.

8. , , Основы экспериментальной механики разрушения. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1989.

9. Leguillon D. Strength or toughness? A criterion for crack onset at a notch // European J. of Mechanics, A/Solids. 2002. V. 21. P. 61-72.

10. Newman J. C., James M. A., Zerbst U. A review of the CTOA/CTOD fracture criterion // Engineering Fracture Mechanics. 2003. V. 70. P. 371-385.

11. Castrodeza E. M., Perez Ipina J. E., Bastian F. L. Fracture toughness evaluation of unidirectional fiber metal laminates using traditional CTOD () and Schwalbe () methodologies // Engineering Fracture Mechanics. 2004. V. 71. P. .

12. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2. Киев: Наук. думка, 1988.

13. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. В 2-х томах. Под ред. Ю. Мураками. Т. 1. Москва: Мир, 1990.

14. , Механика упругопластического разрушения: Основы механики разрушения. М. Изд-во ЛКИ, 2008, 352 с.

15. Thomson R., Hsieh C., Rana V. Lattice trapping of fracture cracks // J. Appl. Phys. 1971. V. 42. No 8. P. .

16. Корнев предразрушения для трещин продольного сдвига в материалах со структурой // Известия РАН. МТТ. 2011. № 3. С. 102-111.

17. Kitagawa H., Takahashi S. Applicability of fracture mechanics to very small cracks or the cracks in the early stages // Proceedings of the Second International Conference on Mechanical Behavior of Materials. Metals Park, OH: American Society for Metals. 1976. P. 627-631.

18. Kruzic J. J., Ritchie R. O. Kitagawa-Takahashi diagrams define the limiting conditions for cyclic failure in human dentin // J. of Biomedical Materials Research. Part A. DOI. 2006. P. 747-751.

19. El Haddad M. H., Toper T. H., Smith K. N. Prediction of non propagating cracks // Engineering Fracture Mechanics. 1979. V. 11. P. 573-584.

20. Stouffer D. C., Williams J. F. A model for fatigue crack growth with a variable stress intensity factor // Engineering Fracture Mechanics. 1979. V. 11. P. 525-536.

21. Двухмасштабная модель малоцикловой усталости. Переход от квазивязкого разрушения к хрупкому // Деформация и разрушение материалов. 2008. № 2. С. 2-11.

22. Kornev V. M. Two-scale model of low-cycle fatigue. Embrittlement of pre-fracture zone material // Procedia Engineering. 2010. V. 2. № 1. P. 453-463.

23. , , Малоцикловая усталость образцов с краевой трещиной из сталей с разными степенями предварительного деформирования // Физическая мезомеханика. 2009. Т. 12. № 3. С. 91-99.

24. Kornev V., Karpov E., Demeshkin A. Damage accumulation in the pre-fracture zone under low-cyclic loading of specimens with the edge crack // Procedia Engineering. 2010. V. 2. № 1. P. 465-474.

25. , , Накопление повреждений в образцах с краевой трещиной в зоне предразрушения при нестационарном малоцикловом нагружении // Изв. РАН, МТТ. 2011. № 4. С. 141-154.

26. , , и др. Усталость и циклическая трещиностойкость конструкционных материалов, т. 4. Механика разрушения и прочность материалов: в 4-х томах. – Киев: Наукова думка, 1990.

27. Coffin L. F., Schenectady N. Y. A Study of the effects of cyclic thermal stresses on a ductile metal // Transactions of the ASME. 1954. V. 76. N 6. P. 931-950.

28. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. – Новосибирск. Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН и НГАСУ, 1997. – 278 с.

29. Kornev V., Karpov E., Demeshkin A. Interrelation between failure and damage accumulation in the pre-fracture zone under low-cycling loading // Recent Trends in Casting, Welding and Degradation of Aluminium Alloys. Edited Zaki Ahmad. Published by InTech. Rijeeka, Croatia. 2011. P. 407-422.

30. Paris P. C., Gomez M. P., Anderson W. E. A rational analytic theory of fatigue // The Trend in Engineering. 1961. V. 13. P. 9-14.

31. Основы механики разрушения. М.: Высш. школа. 19с.

32. Paris P. C., Tada H., Donald J. K. Service load fatigue damage – a historical perspective // International Journal of Fatigue. 1999. V. 21. P. S35-S46.

33. Разрушение: кинетика, механизмы, общие закономерности. М.: Наука, 2008.

34. Ciavarella M., Paggi M., Carpinteri A. One, no one, and one hundred thousand crack propagation laws: A generalized Barenblatt and Botvina dimensional analysis approach to fatigue crack growth // J. Mech. Phys. Solids. – 2008. – V. 56. – P.

35. Murakami Y., Miller K. J. What is fatigue damage? A view point from the observation of low fatigue process // International Journal of Fatigue. 2005. V. 27. P. .

36. Nisitani H., Goto M., Kawagoshi N. A small-crack growth law and its related phenomena // Engineering Fracture Mechanics. 1992. V. 41. P. 499-513.

37.Todinov M. T. Necessary and sufficient condition for additivity in the sense of the Palmgren – Miner rule // Comput. Mater. Sci. 2001. V. 21. P. 101-110.

38. Моделирование усталостных разрушений металлов. Синергетика в авиации. Уфа: Монография, 2007.

39. , , и др. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. Новосибирск: Наука, 1990.

40. , , и др. Механика малоциклового разрушения. М.: Наука, 1986.

41. Безопасное усталостное разрушение элементов авиаконструкций: Синергетика в инженерных приложениях. Уфа: Монография, 2003.