ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ
 |  |
 | |
Уфа 2005
Содержание
1. Введение 4
2. Расчет коэффициента заполнения кристаллической решетки 4
3. Расчет скорости движения электронов в металлах 7
4. Расчет тепловой скорости движения электронов 10
5. Расчет электрической проводимости металлов 11
6. Поверхностное легирование. Химико-термическая обработка. 15
7. Потери в ферромагнетиках в переменных магнитных полях 17
Список литературы 22
1. Введение
Курс практических занятий предназначен для закрепления и углубления знаний, полученных на лекциях, из чтения книг и других источников. Для полного освоения материала необходимо научиться применять теоретические знания для решения практических задач. Для этого требуется не только помнить основные факты и теоретические положения, но и умение анализировать ситуацию, находить взаимосвязи между явлениями, вычленять наиболее важные моменты в процессе решения поставленных задач. Подобная степень владения материалом лекций невозможна без практической тренировки и самостоятельного решения задач, для помощи в этом студентам предназначен данный курс занятий.
2. Расчет коэффициента заполнения кристаллической решетки
Коэффициент заполнения Z характеризует плотность упаковки атомов в кристаллической решетке. Он равен отношению объема занимаемого атомами ко всему объему кристаллической решетки и обычно выражается в процентах. Поскольку кристалл состоит из повторяющихся элементарных ячеек, то очевидно достаточно вычислить отношение для одной ячейки кристалла. То есть коэффициент заполнения будет равен
(1)
где Vат – объем занимаемый атомами в ячейке, Vяч – объем элементарной ячейки кристалла.
Рассмотрим простую кубическую кристаллическую решетку (Рис. 1). В ней элементарная ячейка представляет собой куб, с ребром равным периоду ячейки a. Ее объем равен объему куба
Рис. 1. Объем, занимаемый атомами в элементарной ячейке простой кубической решетки.
(2)
Объем, занимаемый атомами, найдем посчитав число атомов N , входящих в ячейку, и умножив на объем одного атома V0
(3)
Объем одного атома V0 вычислим как объем шара с радиусом r
(4)
Подставим формулы (2), (3), (4) в (1) , получим
(5)
Для простой кубической решетки число атомов, входящих в ячейку ( см. рис. 1), равно 8. Но они входят в ячейку не целиком, а частично, 1/8 частью. Поэтому число целых атомов, входящих в ячейку будет равно
(6)
Соотношение между периодом решетки а и радиусом атома r , легко находится, при упаковке шаров с центрами по вершинам куба (см. рис. 1)
или 
(7)
Подставляя (6), (7) в (5), получим окончательно
(8)
или 
Аналогичным путем находим коэффициенты заполнения для других типов кристаллических решеток.
Задачи для самостоятельного решения
1. Определить координационное число и рассчитать коэффициент заполнения ОЦК кристаллической решетки.
2. Записать индексы Миллера для всех атомов ОЦК кристаллической решетки, ближайших к узлу [010].
3. Определить координационное число и рассчитать коэффициент заполнения ГЦК кристаллической решетки.
4. Записать индексы Миллера для всех атомов ГЦК кристаллической решетки, ближайших к узлу [010].
5. Определить индексы Миллера всех атомов, входящих в элементарную ячейку ОЦК кристаллической решетки.
6. Найти индексы плоскости, проходящую через три выбранные точки [200], [030], [001/2].
7. Определить индексы Миллера всех атомов, входящих в элементарную ячейку ГЦК кристаллической решетки.
8. Найти индексы плоскости, проходящую через три выбранные точки [1/200], [01/30], [002].
3. Расчет скорости движения электронов в металлах
Металлы являются хорошими проводниками электрического тока благодаря наличию в них большого количества свободных электронов. При приложении электрического напряжения они начинают двигаться и их направленное движение является электрическим током. Найдем скорость направленного движения электронов в металле при действии электрического поля (Рис. 2). Будем считать, что все электроны имеют одинаковую скорость v . Пусть в проводнике за время t через поперечное сечение S проходит электрический заряд Q. То есть в нем проходит ток I равный
(9)
 |
Тогда количество электронов N, которые перенесли этот заряд, можно вычислить, т. к.
(10)
Рис. 2. Движение свободных электронов в проводнике.
где q – заряд одного электрона.
С другой стороны, число электронов, прошедших сечение проводника S, зависит от их концентрации n и скорости движения v
(11)
Подставляя (11) в (10) а затем в (9) получим
(12)
Откуда
(13)
Концентрация электронов будет зависеть от рода металла, от его плотности , электронного строения. Предположим для определенности, что это медь. Тогда на его внешней электронной оболочке атома располагается один электрон, который в кристаллической решетке металла отсоединяется и становится свободным. Таким образом, на каждый атом приходится один свободный электрон. Значит концентрация свободных электронов будет равна концентрации атомов меди.
(14)
в свою очередь, она равна
(15)
где r - плотность меди, NА – число Авогадро, m – молярная масса меди.
Подставляя (15) в (13) получим формулу
(16)
удобную для оценки скорости направленного движения электронов в металле.
Подставим в нее из справочника числовые данные для меди и значения, характерные для обычной осветительной сети:
I = 1 A, m = 64 г/моль, q = 1,6×10–19 Кл, r = 8,94 г/см3 ,
NА = 6,02×1023 моль-1 , S = 1,5 мм2 .
Проведя необходимые вычисления, получим:
v = 1 А 0,064 кг/моль / 1,6×1019 Кл 8,94*10-3 кг/см3 6,02×1023 моль-1 1,5×10-6 м2 ≈ 5×10–5 м/c = 0,05 мм/с (17)
Найденная скорость называется также дрейфовой скоростью электронов vдр . Эта скорость оказывается весьма мала, доли миллиметров в секунду.
Задачи для самостоятельного решения
9. Вычислить концентрацию свободных электронов в алюминии, зная что он кристаллизуется в ГЦК кристаллическую решетку с периодом 0,4041 нм. Внешняя электронная оболочка атома алюминия содержит три электрона.
10. Рассчитать концентрацию свободных электронов в металлическом хроме.
Справочные данные для хрома
Внешняя электронная оболочка содержит один электрон.
Плотность 9,7 г/cм3 . Молярная масса 52 г/моль
Число Авогадро 6,02×1023 моль–1. Заряд электрона 1,6×10–19 Кл
11. Рассчитать скорость дрейфового движения электронов в алюминиевом проводнике сечением 1,5 мм2 , в котором протекает электрический ток величиной 5 А.
Справочные данные для алюминия
Внешняя электронная оболочка содержит три электрона.
Плотность 2,7 г/cм3 . Молярная масса 27 г/моль.
Число Авогадро 6,02×1023 моль–1. Заряд электрона 1,6×10–19 Кл.
12. Рассчитать скорость дрейфового движения электронов в медном проводнике сечением 5 мм2 , в котором протекает электрический ток величиной 25 А.
Справочные данные для меди
Плотность 8,94 г/cм3 . Молярная масса 64 г/моль
Число Авогадро 6,02×1023 моль–1. Заряд электрона 1,6×10–19 Кл.
13. Рассчитать время движения электрона от выключателя до лампы по медному проводнику длиной 10 м, сечением 1,5 мм2 по которому протекает ток величиной 1 А.
4. Расчет тепловой скорости движения электронов
Свободные электроны в металле образуют электронный газ. Рассчитаем скорость беспорядочного движения электронов в газе V , предполагая, что они подчиняются обычным газовым законам. Тогда кинетическая энергия движения электронов равна
(18)
где me – масса электрона,
Эта энергия равна энергии теплового движения, которая определяется абсолютной температурой газа T
(19)
где k– постоянная Больцмана.
Приравнивая (17) и (18) находим
(20)
Подставив значения для комнатной температуры t = 20 oC и справочные данные k = 1,38×10-23 Дж/К, me= 9×10-31 кг получим
электропроводность медного проводника, приняв длину свободного пробега электронов в металле равной 5 нм.
Справочные данные для меди
Плотность 8,94 г/cм3 . Молярная масса 64 г/моль
Число Авогадро 6,02×1023 моль–1. Заряд электрона 1,6×10–19 Кл.
20. Рассчитать электропроводность проводника из никеля, приняв длину свободного пробега электронов в металле равной 2 нм.
Справочные данные для никеля:
Плотность 8,9 г/cм3 . Молярная масса 59 г/моль
Число Авогадро 6,02×1023 моль–1. Заряд электрона 1,6×10–19 Кл.
6. Поверхностное легирование. Химико-термическая обработка.
Рассмотрим процесс диффузионного насыщения поверхности металла легирующим элементом. Для этого на поверхности создается высокая концентрация активных атомов легирующего элемента, которые адсорбируются поверхностью и далее диффундируют вглубь металла. Таким образом, в приповерхностном слое, называемом диффузионным слоем, создается повышенная концентрация легирующего элемента. Толщина диффузионного слоя зависит от условий протекания процесса. Например при изменении длительности процесса легирования толщина диффузионного слоя меняется в соответствии с закономерностью
(36)
где t –длительность процесса, А – константа.
При возрастании температуры активизируется диффузия, поэтому изменяется толщина диффузионного слоя по закону
(37)
где Q – энергия активации диффузии, B – константа.
Используем приведенные закономерности для решения задачи.
21. При азотировании поверхности металла при температуре 500 оС в течение 24 часов образуется диффузионный слой толщиной 0,2 мм. Какова будет толщина диффузионного слоя при повышении температуры процесса до 550 оС, если энергия активации процесса азотирования равна 1,5 э. в.?
Запишем соотношение (37) для первого и второго процессов легирования при температурах 500 и 550 оС.
Разделим второе уравнение на первое, получим
или
Откуда
Подставив в формулу известные значения толщины диффузионного слоя D1 и температур, пересчитанных по абсолютной шкале Кельвина, получим
толщина диффузионного слоя при температуре азотирования 550оС.
Задачи для самостоятельного решения
22. При азотировании поверхности металла при температуре 520 оС в течение 24 часов образуется диффузионный слой толщиной 0,3 мм. Какова должна быть продолжительность процесса для получения толщины слоя 0,5 мм?
23. Цементация поверхности металла при температуре 900 оС в течение 3 часов приводит к образованию диффузионного слоя толщиной 0,5 мм. Какой будет толщина слоя, если повысить температуру процесса до 950 оС? Энергия активации процесса 2 э. в.
24. Цементация поверхности металла при температуре 900 оС в течение 3 часов приводит к образованию диффузионного слоя толщиной 0,5 мм. При повышении температуры процесса до 950 оС толщина диффузионного слоя увеличивается до 1,2 мм. Найти энергию активации процесса цементации и выразить ее в э. в.
25. При цементации поверхности металла при температуре 900 оС в течение 12 часов образуется диффузионный слой толщиной 1,0 мм. Какой будет толщина слоя, если повысить температуру процесса до 950 оС? Энергия активации процесса 2 э. в.
7. Потери в ферромагнетиках в переменных магнитных полях
В переменном магнитном поле в ферромагнитном материале возникают потери энергии, которые состоят из двух основных частей: потери на перемагничивание материала и потери на вихревые токи Фуко. Расмотрим первый вид потерь.
Пусть материал характеризуется петлей гистерезиса с заданными значениями коэрцитивной силы и индукции насыщения (Рис. 3). Процесс намагничивания материала сопровождается затратой энергии, обратный процесс размагничивания – отдачей энергии. Поскольку прямой ход кривой намагничивания отличается от обратного хода размагничивания, то количество затраченной и возвращенной энергии оказываются неодинаковыми. Разность этих энергий при прохождении по всему замкнутому циклу гистерезиса составляет потери на однократное перемагничивание материала. Величину этих потерь энергии (или потерь на гистерезис) можно вычислить по формуле:
(38)
где W1 – потери в единице объема материала за один цикл перемагничивания, H – напряженность, B – индукция магнитного поля.
Количественно этот интеграл пропорционален площади петли гистерезиса. Площадь петли гистерезиса точно вычислить сложно, но можно приближенно оценить как площадь параллелограмма (см. на рис. 3) с такой же шириной ±Hc и высотой ±Bs. Тогда можем записать
(39)
При перемагничивании переменным полем с частотой f за секунду происходит f циклов перемагничивания материала, т. е. мощность затрачиваемая на это будет равна
(40)
где P – мощность затрачиваемая на перемагничивание единицы объема ферромагнитного материала.
Чтобы получить удельную мощность, необходимую для перемагничивания единицы веса материала, полученную величину необходимо разделить на массу единичного объема материала, т. е. его плотность:
(41)
или используя (40) и (39) получим
(42)
или
(43)
Подставив в формулу значения из таблицы 1 для конкретного материала, вычислим числовые значения мощности потерь на перемагничивание.
Табл.1
Fe | Э330 | |
Hc, А/м | 80 | 16 |
Bs, Тл | 2,18 | 2,0 |
r, мкОм м | 0,1 | 0,47 |
g, г/см3 | 7,86 | 7,86 |
Рассмотрим второй вид потерь на вихревые токи Фуко.
В переменном магнитном поле возникает ЭДС индукции, которая в проводящем материале приводит к возникновению токов, вызывающих нагрев материала. Рассчитаем величину этих потерь. Пусть материал имеет геометрические размеры a, b,c (см. рис. 4). Тогда в проводящем контуре со сторонами a, b по закону электромагнитной индукции будет индуцироваться ЭДС
(44)
Рис. 4. Схема протекания вихревых индукционных токов.
Протекающий электрический ток будет нагревать проводник с мощностью
(45)
сопротивление проводящего контура легко рассчитать, если для простоты принять, что толщина пластины много меньше ширины, т. е. а<<b. Тогда
(46)
Подставляя (44) и (46) в (45) найдем
(47)
Величина DB/Dt – это скорость изменения магнитной индукции. Запишем ее через дифференциалы и найдем, задав синусоидальный закон изменения магнитного поля
(48)
(49)
Тогда (47) запишется в виде
(50)
Усреднив по времени полученное выражение, и учтя что
, и abc = V, (51)
найдем
(52)
или 
(53)
Т. е. это мощность вихревых токов, выделяющаяся в единице объема материала. Для нахождения удельной мощности, приходящейся на единицу массы, поделим на плотность материала. Тогда окончательно получим
(54)
Общие потери в ферромагнетике в переменном магнитном поле будут равны сумме выражений (43) и (54).
Задачи для самостоятельного решения
26. Используя данные из таблицы рассчитать удельные потери на перемагничивание для чистого железа и электротехнической стали Э330. Сравнить полученные значения. Какой материал эффективнее при использовании в качестве магнитопровода трансформаторов, дросселей?
27. Рассчитать потери на вихревые токи Фуко для чистого железа и электротехнической стали Э330 при толщине листа 0,5 мм. Почему они сильно различаются?
28. Проанализируйте формулу (54) для потерь на токи Фуко и сделайте вывод: каким образом можно уменьшить потери, используя зависимость от геометрических размеров?
Список литературы
1. Физика металлов: Учебное пособие для студентов вузов. – Киев: Вища школа, 1986. – 343 с.
2. Физика твердого тела: Учеб. пособие для втузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1977. – 288 с.
3. Физика металлов: Учебное пособие. – Уфимский гос. авиац. техн. ун-т, Уфа, 2005, – 89 с.
