Тест № 1.
Комбинаторика. Классическое определение вероятности
Соединения – это множества, составленные из каких-либо предметов (элементов). Наиболее часто используются три вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.
Размещения (от франц. аrrangement – размещение) из n элементов по m – это соединения, в каждое из которых входит m элементов, взятых из данных n элементов и которые отличаются между собой элементами (хотя бы одним) или их порядком. Число возможных размещения 
вычисляют по формуле: 
=n ∙ (n - 1) ∙ (n-2)….(n - (m - 1))
Например: 
=8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 6720
Перестановки из n элементов по m – это соединения, каждое из которых содержит все n элементов и которые отличаются лишь порядком элементов. Число возможных перестановок 
вычисляют по формуле:
= n! = 1 ∙ 2 ∙ 3∙…..∙ (n – 1) ∙ n
Например: 
= 5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5=120
Сочетания из элементов по m (m
n) – это такие соединения, в каждое из которых входят m элементов, взятых из данных n элементов и отличающиеся элементами (хотя бы только одним). Число возможных сочетаний вычисляются по формуле:
= 
= 
Например: 
= 
= 
= 495
Принимают, что 
= 1 , 0! = 1 и 1! = 1
1. Из десяти спортсменов отбирают команду из 6-ти человек. Это можно сделать … способами.
1)
2. В команде всего 12 спортсменов, из них 5 человек – мастера спорта. Случайным образом выбирают 3-х спортсменов. Вероятность того, что все выбранные окажутся мастерами спорта, составляет …
1) 1/22 2) 3/5 3) 1/4
3. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами: №1, №2,….№10. Наудачу берут 6 деталей. Вероятность того, что среди выбранных 6-ти деталей окажется деталь с №1, составляет …
1) 0,6 2) 1/6 3) 0,1 4) 0,15
4. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами: №1, №2, …, №10. Наудачу берут 6 деталей. Вероятность того, что среди этих 6-ти есть детали №1 и № 2, составляет …
1) 2/5 2) 1/3 3) 1/6 4) 1/4
5. На книжной полке случайным образом расставляют 6 учебников. Вероятность того, что учебник математики и учебник русского языка окажутся рядом, составляет …
1) 0,36 2) 0,72 3) 1/3
6. В группе спортсменов 10 человек, все разного роста. По команде тренера они выстраиваются в шеренгу случайным образом. Вероятность того, что они встали по росту, составляет…
1) 0,6 
2) 0,2 3) 0,1
7. В ящике 4 красных и 2 синих шара. Из него наудачу берут 3 шара. Вероятность того, что все эти 3 шара красные, составляет…
1) 3/4 2) 1/2 3) 1/4 4) 1/5
8. В лотерее «Честная игра» нужно открыть 10 букв из 20-ти, если открываются буквы, составляющие слово «автомобиль», - то это выигрыш. Вероятность выигрыша составляет …
1) 0,5 2) 0,01 3) 0,5∙
9. Выбирают 2-х игроков из 4-х заявленных на матч. Это можно сделать... способами.
1) 6
10. Из группы 5 человек (№1, №2, №3, №4, №5) выбирают случайным образом двух человек. Вероятность того, что выбраны №1 и №4, составляет…
1) 2/5 2) 1/5 3) 1/10
11. Имеется слово «автор». Из букв этого слова можно составить некоторое число различных последовательностей (не обязательно осмысленных):
1)
12. Из букв слова «фонарь» можно составить некоторое число последовательностей (не обязательно осмысленных):
1) 0
13. В корзине 20 кубиков, помеченных номерами 21, 22,…,40 (20 штук). Наудачу извлекают два кубика. Вероятность того, что извлечены кубики №21 и № 40, составляет…
1) 1//20 3) 1/5
14. В корзине имеется 15 шаров, из которых 10 окрашенных. Наудачу извлекают 3 шара. Вероятность того, что извлеченные шары окажутся окрашенными, составляет…
1) 2/3 2) 3/10 3) 24/91
15. В конверте имеются 100 фотографий. Наудачу извлекают 10 штук. Вероятность того, что среди этих 10 штук окажется разыскиваемая одна фотография, составляет …
1) 0,1 2) 0,01 3) 0,0001
16. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры, но помнил, что эти три цифры различны, поэтому набрал их наудачу. Вероятность того, что он набрал нужные цифры, составляет …
1) 1/,3 3) 0,03
17. В корзине 100 шаров, из них 10 окрашенных. Наудачу взяли 4 шара. Вероятность того, что среди взятых шаров нет окрашенных, составляет …
1) 0,96 2) 0,65 3) 0,04
18. В корзине 100 шаров, из них - 10 окрашенные. Наудачу взяли 4 шара. Вероятность того, что все они окрашенные, составляет …
1) 0,4 2) 0,04 3) 0,00005
19. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрывают 4 билета на концерт. Вероятность того, что обладателями билетов будут 2 женщины и 2 мужчин, составляет…
1) 2/3 2) 18/35 3) 1/2 4) 4/7
20. В ящике 8 красных и 7 синих шаров. Вынимают наудачу 5 шаров. Вероятность того, что взяли 3 красных и 2 синих (из этих 5-ти), составляет…
1) 0,3 2) 0,,392
Тест № | Пояснения | Ответ |
1. | Вычислим число сочетаний
| 210 |
2. | Всего способов выбора из 12-ти 3-х равна:
Количество возможных способов выбора из 5-ти человек трех: Искомая вероятность: р = |
|
3. | Общее число исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10-ти, т. е.
Интересующее событие – деталь №1 извлечена, тогда остальные 5 деталей имеют любые номера, число таких способов равно Искомая вероятность: р(№1) = | 0,6 |
4. | Общее число исходов Если среди взятых 6-ти есть №1 и №2, то число способов, которыми можно взять еще 4 детали из оставшихся 8-ми: |
|
5 | Общее число возможных вариантов расположения 6-ти книг на полке равно
Благоприятные исходы могут быть 2х видов: 1) Если учебник математики стоит на краю, а учебник русского – рядом, таких вариантов два, а оставшиеся 4 места можно занять 4! Способами, т. е. всего таких исходов будет: 2∙4!=48 2) Если учебник математики находится в середине (а таких способов 4), тогда учебник русского языка можно поставить рядом (справа или слева), т. е. двумя способами, а остальные 4 места можно занять 4! способами. Итого благоприятных условий в этом виде расстановки будет: 4 ∙ 2 ∙ 4! = 192 Всего благоприятных исходов будет 48 + 192 = 240 Искомая вероятность: р = |
|
6. | Общее число равновозможных событий равно числу перестановок из 10 спортсменов: Ученики по росту могут встать двумя способами: по возрастанию или по убыванию, т. е. событию «встали по росту» благоприятствует два исхода, тогда: р = | 0,6 |
7. | Вероятность этого события равна: р = |
|
8. | р = | 0,5 ∙ |
9. | Это: | 6 |
10. | Всего возможностей выбора: | 0,1 |
11. | Это перестановки из 5-ти букв слова «Автор»:
| 120 |
12. | Это перестановки из 6-ти букв слова «Фонарь»:
| 720 |
13. | Надо взять два кубика из 20-ти. Это можно сделать
Благоприятное событие 1 (взяты №21 и №40), поэтому р = |
|
14. | Искомая вероятность будет: р = р = |
|
15. |
Если среди взятых 10-ти фотографий есть та, которая нужна, то остальные 9 фотографий могут быть любыми. Это можно сделать числом способов: Тогда p = | 0,1 |
:
=
= 
= 
= 210
= 
= 
= 220
= 
= 
= 10
= 
= 
= 
= 210
= 
= 126.
= 0,6
= 70, т. е. искомая вероятность: р(№1, №2) = 
= 
= 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 6! = 720
= 
= 10!=3268800
= 
≈ 0,6 ∙ 
= 
= 
= 
= 0,05∙
= 
= 6
= 10 способов. Событию (выбран №1 + №4) соответствует только один исход. Вероятность этого составляет р = 
= 6! = 720
способами:
= 
= 190
= 
= 
- число способов, которыми из 100 фотографий можно взять 10 любых.
.
= 
= 0,116. | Благоприятный исход только один – набраны нужные цифры и в нужной последовательности. Всего возможных исходов: Тогда p = |
|
17. |
p = | 0,65 |
18. | p = | 0,00005 |
19. | Всего пойдут на концерт 4 человека из 7, такой выбор можно сделать Из 4-х женщин 2-х можно выбрать Из 3-х мужчин 2-х можно выбрать p = |
|
20. | Общее число событий: | 0,392 |
, т. к. цифр 10-ть, а размещения учитывают порядок цифр и их состав.
= 
= 
- число способов, которыми можно взять 4 шара из 100 шт. 
– число способов, которыми можно взять 4 шара из 90 шт.
≈ 0,65
≈ 0,00005
= 
= 35 способами.
= 3 способами. Следовательно:
= 
= 3003. Выбрать 3 красных из 8-ми: 
= 56 способов. Выбрать 2 синих из 7-ми: 
= 21 способов. Общее число благоприятных событий: 
=1176. Вероятность: p = 
≈ 0,392