ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Волгоград
2008
УДК 51
Н 52
Неопределенный интеграл: методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» / Сост. , ; Волгоград. гос. тех. ун-т. – Волгоград, 2008. – 31 с.
Рассматриваются основные методы интегрирования функций. Cодержатся примеры решения задач, теоретические пояснения, задания для самостоятельной работы.
Предназначены для специальности 230103 «Автоматизированные системы обработки информации и управления в промышленности».
Библиогр.: 6 назв.
Рецензент
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Составители: Лариса Алексеевна Крапивина, Алевтина Алексеевна Кулеша
Неопределенный интеграл
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Под редакцией авторов
Темплан 2008 г., поз. № 83К
Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 2,19. Усл. авт. л. 2,0.
Тираж 100 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. , 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
Ó Волгоградский
государственный
технический
университет, 2008
Введение
Настоящие методические указания предназначены для студентов специальности 230103 «Автоматизированные системы обработки информации и управления в промышленности» среднего профессионального образования (СПО), изучающих по дисциплине математика тему «Неопределённый интеграл» в том или ином объёме. Методические указания написаны в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта в области математики для специалистов СПО.
Методические указания содержат всю основную информацию по теме «Неопределённый интеграл». Поэтому указания могут широко использоваться студентами:
- в качестве конспекта лекций;
- на практических занятиях;
- для самостоятельного изучения материала;
- для выполнения индивидуального задания;
- для подготовки к экзамену и т. д.
В методических указаниях теоретический материал изложен кратко и доступно, а примеры рассматриваются более подробно. Задания для самостоятельного решения сопровождаются ответами для самопроверки и самоподготовки студента.
Изложение материала ведется на доступном, но строгом математическом языке.
Методические указания содержат количество задач большее, чем предполагает учебная программа. Это позволяет преподавателю варьировать количеством и сложностью задач для практических занятий, индивидуальной и реферативной работы.
Универсальность методических указаний в том, что отдельные главы могут быть использованы для практических занятий других специальностей СПО, изучающих тему «Неопределенный интеграл» в меньшем объеме, согласно образовательным стандартам СПО.
Практические занятия.
Тема: Интегрирование функций различными методами.
Продолжительность занятия: 4 часа.
Цель занятия. Научить студента интегрировать функции различными методами.
Порядок проведения:
1) разобрать предложенный пример;
2) выполнить самостоятельно индивидуальные задания;
3) ответить на контрольные вопросы.
Студент должен:
знать: таблицу интегралов, свойства неопределенных интегралов, основные методы интегрирования функций.
уметь: интегрировать функции различными методами.
1. Основные понятия.
Определение. Функция 
называется первообразной функции 
на интервале 
, если для любого 
выполняется равенство
.
Определение. Совокупность всех первообразных функций 
+С для функции 
называется неопределенным интегралом функции
Свойства неопределенного интеграла.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
, 
- число
2. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций
Таблица основных интегралов
1. | 10. |
2. | 11. |
3. | 12. |
4. | 13. |
5. | 14. |
6. | 15. |
7. | 16. |
8. | 17. |
9. | 18. |
2. Метод непосредственного интегрирования.
При непосредственном интегрировании применяют:
- тождественные преобразования подынтегральной функции ;
- свойства неопределенного интеграла;
- таблицу основных интегралов.
Пример 2.1. Найти интеграл 
.
=
Пример 2.2. Найти интеграл 
.
Пример 2.3. Найти интеграл 
. 
Задания для самостоятельной работы
Задания | Ответы |
1. | 1. |
2. | 2. |
3. | 3. |
4. | 4. |
5. | 5. |
3. Интегрирование по формуле линейной замены
Если первообразная для , то 
первообразная для 
.
, a, b – числа
Пример 3.1. Найти интеграл 
Рассмотрим подынтегральную функцию 
.
Аргументом синуса является линейная функция:
Пример 3.2. Найти интеграл 
.
линейная функция: 
или 
Пример 3.3. Найти интеграл 
.
линейная функция: 
или 
Задания для самостоятельной работы
Задания | Ответы |
1. | 1. |
2. | 2. |
3. | 3. |
4. | 4. |
5. | 5. |
6. | 6. |
7. | 7. |
8. | 8. |
9. | 9. |
10. | 10. |
4. Интегрирование методом замены переменной (или подстановкой)
Метод применяется, если под знаком интеграла произведение (частное) двух функций. Причём:
одна функция является производной другой функции, или
одна функция является производной от внутренней функции другой.
Формула интегрирования подстановкой
Пример 4.1. Найти интеграл 
.
Под знаком интеграла произведение двух функций 
и 
.
Причём 
Тогда 
.
Таким образом, получаем интеграл от новой переменной 
:
Вернемся к прежней переменной, для этого заменим на , получим: 
- ответ.
Запись: 
Пример 4.2. Найти интеграл 
Под знаком интеграла произведение двух функций 
и 
. Причём второй множитель является сложной функцией, где показательная функция – внешняя функция, а 
- внутренняя функция. Заметим, что производная внутренней функции
.
Тогда эту внутреннюю функцию обозначим за новую переменную
.
Найдем 
.
Таким образом получаем интеграл от новой переменной :
Пример 4.3. Найти интеграл 
Так как производная 
то 
Задания для самостоятельной работы
Задание: | Ответы: |
1. | 1. |
2. | 2. |
3. | 3. |
4. | 4. |
5. | 5. |
6. | 6. |
7. | 7. |
8. | 8. |
9. | 9. |
10. | 10. |
11. | 11. |
12. | 12. |
13. | 13. |
14. | 14. |
15. | 15. |
5. Метод интегрирования по частям.
Нахождение интеграла по формуле
,
называется интегрированием по частям.
Формула показывает, что вычисление интеграла 
сводится к вычислению интеграла 
, который должен оказаться более простым или даже табличным.
Суть метода:
- подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух сомножителей 
и 
;
- находят 
и 
;
- применяют формулу интегрирования по частям.
Укажем основные типы интегралов, интегрируемых методом по частям.
I) В интегралах типа 
,
где 
- многочлен n-ой степени, k – const.
Обозначим 
,
dV - оставшееся выражение 
.
Тогда 
Если степень многочлена n > 1, то интегрирование по частям применяют последовательно несколько раз.
Пример 5.1. Найти интеграл 
.
Пример 5.2. Найти интеграл 
.
Пример 5.3. Найти интеграл 
.
Задания для самостоятельной работы
Задания | Ответы |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
II) В интегралах типа 
где - многочлен n-ой степени, k – const.
Обозначим 
,
U - оставшаяся функция 
(или 
, или 
, или 
, или 
).
Тогда 
,
.
Пример 5.4. Найти интеграл 
.
Пример 5.5. Найти интеграл 
.
Пример 5.6. Найти интеграл 
.
Задания для самостоятельной работы
Задания | Ответы |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
III) Возвратные интегралы - интегралы типа: 
В этом случае мы дважды интегрируем по частям и выражаем из полученного уравнения неизвестный исходный интеграл.
За U – принимаем любую из двух функций, но оба раза одну и ту же.
Пример 5.7. Найти интеграл 
.
Задание для самостоятельной работы
Найти интеграл 
.
Ответ: 
Формула интегрирования по частям применяется не только в указанных типах интегралов. Приведем пример.
Пример 3.8. Найти интеграл 
.
6. Интегрирование рациональных дробей
Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) 
называется отношение двух многочленов с действительными коэффициентами, т. е. 
, где 
- степени многочленов.
Если 
, то дробь правильная.
Если 
, то дробь неправильная.
Всякую неправильную дробь 
можно путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена 
и правильной остаточной дроби 
, 
, т. е.
.
Пример 6.1. Представить рациональную дробь 
в виде суммы многочлена и правильной дроби
- неправильная рациональная дробь, т. к. степень числителя (
) больше степени знаменателя (
).
Разделим числитель на знаменатель. При этом многочлены запишем по убыванию степеней, а степени отсутствующие в явном виде с нулевыми коэффициентами.
- целая часть
- остаток
тогда 
.
Интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию соответствующих простейших дробей. Простейшими дробями называются дроби следующих 3-х типов:
- I тип
, где 
, - II тип
, где дискриминант знаменателя отрицательный, - III тип
Рассмотрим интегрирование простейших рациональных дробей на примерах.
Пример 6.2. Интегрирование простейшей рациональной дроби I типа.
Пример 6.3. Интегрирование простейшей рациональной дроби II типа.
.
Пример 6.4. Интегрирование простейшей рациональной дроби III типа.
1. Найдем дискриминант знаменателя 
дробь III типа.
2. Выделим в знаменателе полный квадрат.
3. Введем замену: основание выделенного квадрата принимаем за новую переменную.
I-й интеграл берется методом замены, а II-й – табличный
4. Возвращаемся к прежним переменным
Рассмотрим общее правило интегрирования рациональных дробей.
Чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо:
а) Если дробь неправильная, то выделить целую часть и остаточную правильную рациональную дробь;
б) разложить знаменатель правильной рациональной дроби на линейные и квадратичные множители (если это необходимо), при этом возможны следующие типы множителей:
- линейный,
- линейный кратности “k”,
- квадратичный;
в) разложить правильную дробь на сумму простейших, при этом:
множителю соответствует простейшая рациональная дробь I типа 
множителю 
соответствует разложение (сумма дробей I и II типов) 
множителю 
соответствует дробь III типа 
;
г) привести обе части равенства к общему знаменателю и приравнять числители;
д) найти неопределенные коэффициенты;
е) проинтегрировать каждую из полученных дробей и выделенную целую часть.
Методы нахождения неопределенных коэффициентов рассмотрим на примерах.
Пример 6.5. Найти интеграл 
- правильная рациональная дробь.
Разложим знаменатель 
на множители по формуле 
, где 
- корни квадратного трехчлена.
тогда 
.
Представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей. Линейным множителям 
и 
знаменателя данной дроби соответствуют простейшие рациональные дроби вида
и 
.
Тогда 
.
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:
,
т. к. знаменатели равны, то приравняем числители:
.
Коэффициенты 
и 
можно найти одним из способов.
I способ (метод сравнивания коэффициентов).
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:
Тогда 1 уравнение системы имеет вид 
. Таким образом 
.
II способ (метод частных решений).
Пусть 
, тогда 
Пусть 
, тогда 
Таким образом .
Тогда
Проинтегрируем
Пример 6.6. Найти интеграл 
- неправильная рациональная дробь.
Представим дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби (решение см. пример 4.1)
Тогда, 
Разложим знаменатель правильной дроби на множители:
Решив систему, получаем 
Пример 6.7. Найти интеграл 
- правильная рациональная дробь, так как степень числителя – 2, а знаменателя – 3.
Знаменатель уже разложен на линейные множители, причем множитель 
имеет кратность 2.
Задания для самостоятельной работы
Задания | Ответы |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
7. Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы типа 
во всех случаях можно найти, применяя подстановку 
, которая поэтому и называется универсальной тригонометрической подстановкой.
то в результате такой замены вышеуказанные интегралы 
рационализируются.
Пример 7.1. Найти интеграл 
Такой метод интегрирования с помощью универсальной подстановки всегда приводит к цели, но именно в силу своей общности он часто является не наилучшим в смысле простоты необходимых преобразований.
Поэтому, наряду с универсальной подстановкой бывает полезно знать другие подстановки, которые в некоторых частных случаях быстрее и проще приводят к результату.
I) В интегралах типа
произведение тригонометрических функций преобразовывают в сумму по формулам:
Пример 7.2. Найти интеграл 
II) Если в интегралах типа 
хотя бы один показатель нечетный, то применяю так называемый метод «отщепления», который состоит в следующем: от функции в нечетной степени отделяют множитель в 1-ой степени, а основание другой функции заменяют новой переменной.
Пример 7.3. Найти интеграл 
III) Если в интегралах типа:
оба показателя n и m положительные (или один равен 0) и четные, то применяют формулы понижения степени и удвоения аргумента.
Пример 7.5. Найти интеграл 
Пример 7.6. Найти интеграл 
IV) Интегралы типа
берутся с помощью подстановки 
и школьных формул 
Пример 7.7. Найти интеграл 
Задания для самостоятельного решения
Задания | Ответы |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
8. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
I. Интегралы
где k – наименьшее общее кратное (НОК) чисел 
сводятся к интегралу от рациональных функций с помощью подстановки 
.
Интегралы 
с помощью подстановки 
, сводятся к интегралу от рациональной функции.
Пример 8.1. Найти интеграл 
- интеграл от рациональной дроби.
Пример 8.2. Найти интеграл 
Задания для самостоятельной работы
рационализируйте интегралы | Ответы |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
II. Интегралы типа 1. 
2. 
3. 
сводятся к интегралам от тригонометрических функций с помощью следующих подстановок
1-ый интеграл – (или )
2-ой интеграл – 
3-ий интеграл – 
(или )
Пример 8.1. Найти интеграл 
Пример 8.2. Найти интеграл 
=
Пример 8.3. Найти интеграл
Задания для самостоятельной работы
Задания | Ответы |
1. |
|
2. |
|
3. |
|
9. Вопросы для самопроверки
1. Какая функция называется первообразной для функции .
2. Определение неопределенного интеграла.
3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
4. Суть метода непосредственного интегрирования.
5. Запишите формулу линейной замены. Для каких интегралов она применяется.
6. Суть метода подстановки.
7. Запишите таблицу интегралов.
8. Запишите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
9. Укажите основные типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.
10. Определение правильной и неправильной рациональных дробей.
11. Приведите примеры простейших рациональных дробей I и II типов.
12. Изложите метод интегрирования простейших рациональных дробей III типа.
13. Сформулируйте общее правило интегрирования рациональных дробей.
14. Запишите универсальную тригонометрическую подстановку.
15. Укажите типы интегралов, для которых применяется метод «отщепления».
16. Запишите какое-либо иррациональное выражение.
17. Укажите методы рационализации иррациональных выражений.
Используемая литература
1. математика: учебник – М.: изд. центр. «Академия», «Мастерство», 2002 г.
2. и др. сборник задач по математике для техникумов.- М., Наука, 1992 г.
3. , Попов математика в упражнениях и задачах. ч. 1. –М., Высшая школа, 1999г.
4. Богомолов занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений. – 7 – изд., стер. – М.: Высшая шк.,2004г.
5. Минорский задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – 14 – изд. испр. – М.: Издательство физико-математической литературы, 2000г.
6. Письменный лекций по высшей математике. Ч-1. Учебное издание. – М.: Айрис-пресс, 2003г.
Содержание
Введение……..…………………………………………………………..3
1. Основные понятия……………………………………………….….4
Таблица основных интегралов…………………..………………….….4
2. Метод непосредственного интегрирования……………………….5
3. Интегрирование по формуле линейной замены…………………..6
4. Интегрирование методом замены переменной...………………….8
5. Метод интегрирования по частям………………………………...10
6. Интегрирование рациональных дробей…………………………..15
7. Интегрирование тригонометрических функций…………………21
8. Интегрирование иррациональных выражений…………………..24
9. Вопросы для самопроверки……………………………………….28
10. Используемая литература ………………..................…………….29
Составители:
Лариса Алексеевна Крапивина
Алевтина Алексеевна Кулеша
Неопределенный интеграл
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Под редакцией авторов
Темплан 2008 г., поз. № 83К
Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1,94. Усл. авт. л. 1,75.
Тираж 100 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. , 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
 |
