3. Преобразование логарифмических выражений
3.1. Краткие теоретические сведения
Определение логарифма.
Логарифмом числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b:
при a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Определение логарифма можно записать на математическом языке следующим образом:
, где 
.
Полученное равенство называется основным логарифмическим тождеством.
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается 
, логарифм по основанию 
называется натуральным логарифмом и обозначается 
.
Свойства логарифмов.
Для всех свойств логарифмов выполняются соответствующие условия:
1. 
при 
;
2. 
при ;
3. 
при 
;
4. 
при ;
5. 
при ;
6. 
при 
.
Полезно также знать и другие свойства логарифмов:
7. 
при 
;
8. 
при ;
9. 
при .
Полезно также знать и «хитрости» свойств логарифмов:
при 
;
при 
;
при .
при 
.
3.2. Примеры с решениями.
1. Вычислите 
.
Решение. 
Ответ: 
.
2. Вычислите 
Решение. 
Ответ: 
.
3. Найдите значение выражения 
Решение. 
Ответ: 
.
4. Найдите значение выражения 
Решение. 
Ответ: 
.
5. Вычислите 
Решение. 
Ответ: 
.
6. Вычислите 
.
Решение. Т. к. выражение 
, то решение принимает вид:
7. Вычислите 
Решение. 
Ответ: 
.
8. Известно, что 
. Найдите 
Решение. 
Ответ: 
.
9. Найдите значение выражения 
.
Решение. 
Ответ: 
.
10. Найдите 
, если 
.
Решение. 
Ответ: 
.
3.3. Тренировочные упражнения.
Задание №3.3.1.
Базовый уровень
1. Вычислите 
.
Ответ:
2. Вычислите 
.
Ответ:
3. Вычислите 
.
Ответ:
4. Вычислите 
.
Ответ:
5. Вычислите 
.
Ответ:
6. Вычислите 
.
Ответ:
7. Вычислите 
Ответ:
8. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
9. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
10. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
11. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
12. Вычислите 
Ответ:
13. Вычислите 
Ответ:
14. Вычислите 
.
Ответ:
15. Вычислите 
Ответ:
16. Вычислите 
Ответ:
17. Вычислите 
Ответ:
18. Найдите значение выражения 
Ответ:
19. Найдите значение выражения 
Ответ:
20. Найдите 
, если 
.
Ответ:
21. Найдите 
, если 
.
Ответ:
22. Известно, что 
. Найдите 
.
Ответ:
23. Известно, что 
. Найдите 
.
Ответ:
24. Вычислите 
.
Ответ:
25. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
Ответы к заданию 3.3.1. 1. 3,5. 2. 
. 3. 5. 4. 81. 5. 8. 6. 
. 7. 
. 8. 0,1. 9. 2. 10. 300. 11. 36. 12. 2. 13. 2. 14. 5. 15. 8. 16. 0,6. 17. 1. 18. 125. 19. 3,5. 20. 
. 21. 
. 22. 
. 23. 
. 24. 30. 25. 26.
Задание №3.3.2.
Базовый уровень
1. Вычислите 
.
1) –2,5; | 2) –3,5; | 3) –1,5; | 4) 1,5. |
2. Вычислите 
.
1) | 2) | 3) | 4) |
;
;
;
.3. Найдите значение выражения 
.
1) –14; | 2) 49; | 3) | 4) |
4. Найдите значение выражения 
.
1) 9; | 2) 80; | 3) 21; | 420) . |
5. Найдите значение выражения 
.
1) –1; | 2) | 3) 4; | 4) |
;
6. Вычислите 
1) 50; | 2) 225; | 3) 2; | 4) |
7. Вычислите 
1) –1; | 2) –5; | 3) 25; | 4) |
8. Вычислите 
1) 25; | 2) | 3) 3; | 4) |
9. Найдите 
, если 
.
1) | 2) | 3) | 4) |
10. Найдите 
, если 
1) | 2) | 3) | 4) |
Ответы к заданию 3.3.2. 1. 2. 2. 1. 3. 3. 4. 2. 5. 3. 6. 3. 7. 1. 8. 3. 9. 2. 10. 2.
Задание №3.3.3.
Повышенный уровень
1. Найдите значение выражения 
Ответ:
2. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
3. Найдите значение выражения 
Ответ:
4. Найдите значение выражения 
Ответ:
5. Вычислите 
Ответ:
6. Вычислите 
Ответ:
7. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
8. Найдите значение выражения 
Ответ:
9. Найдите значение выражения 
, если 
Ответ:
10. Найдите значение выражения 
, если 
.
Ответ:
Ответы к заданию 3.3.3. 1. 4. 2. 98. 3. –1. 4. –1. 5. 3. 6. –2. 7. 2. 8. –24. 9. 5. 10. 2. 3.4. Тесты.
Тест №3.4.1
Отметьте номер правильного ответа в заданиях А1 – А7.
А1. Вычислите 
.
1) | 2) 5; | 3) | 4) –5. |
;
;А2. Найдите значение выражения 
.
1) 0,7; | 2) 0,07; | 3) 0,245; | 4) 0,2401. |
А3. Найдите значение выражения 
.
1) 17; | 2) | 3) | 4) 19. |
;
;А4. Найдите 
, если известно, что 
.
1) | 2) | 3) | 4) |
;
;
;
.А5. Найдите значение выражения 
1) 4,5; | 2) 9,5; | 3) 1; | 4) 2,5. |
А6. Вычислите 
.
1) | 2) | 3) | 4) 4. |
;
;
;А7. Известно, что 
. Найдите 
1) | 2) 8; | 3) 1; | 4) |
;
.Ответом в заданиях В8 – В10 должно быть целое или записанное в виде десятичной дроби число.
В8. Вычислите 
Ответ:
В9. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
В10. Найдите значение выражения 
, если 
.
Ответ:
Тест №3.4.2
Отметьте номер правильного ответа в заданиях А1 – А7.
А1. Вычислите 
.
1) | 2) 3; | 3) | 4) –3. |
;
;А2. Найдите значение выражения 
.
1) –10; | 2) 0,04; | 3) –25; | 4) |
.А3. Найдите значение выражения 
.
1) 61; | 2) 588; | 3) 3969; | 4) 130. |
А4. Найдите 
, если известно, что 
.
1) | 2) | 3) | 4) |
;
;
;А5. Найдите значение выражения 
1) | 2) | 3) | 4) |
;
;
;
А6. Вычислите 
.
1) 6; | 2) 8; | 3) 3,5; | 4) |
.А7. Известно, что 
. Найдите 
1) ; –4 | 2) 4; | 3) | 4) |
;
.Ответом в заданиях В8 – В10 должно быть целое или записанное в виде десятичной дроби число.
В8. Вычислите 
Ответ:
В9. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
В10. Найдите значение выражения 
, если 
.
Ответ:
Ответы теста №3.4.1: А1. 3. А2. 1. А3. 2. А4. 1. А5. 4. А6. 2. А7. 2. В8. 23. В9. 2. В10. 6.
Ответы теста №3.4.2: А1. 1. А2. 2. А3. 3. А4. 2. А5. 1. А6. 2. А7. 2. В8. 24. В9. 6. В10. 1,8.
3.5. Дополнительные упражнения.
Задание №3.5.1
1. Вычислите 
.
Ответ:
2. Вычислите 
.
Ответ:
3. Вычислите 
.
Ответ:
4. Вычислите 
.
Ответ:
5. Вычислите 
.
Ответ:
6. Вычислите 
.
Ответ:
7. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
8. Вычислите 
.
Ответ:
9. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
10. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
11. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
12. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
13. Найдите значение выражения 
Ответ:
14. Вычислите 
.
Ответ:
15. Вычислите 
.
Ответ:
16. Вычислите 
.
Ответ:
17. Вычислите 
Ответ:
18. Вычислите 
Ответ:
19. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
20. Вычислите 
.
Ответ:
21. Найдите 
, если 
.
Ответ:
22. Найдите 
, если 
.
Ответ:
23. Известно, что 
. Найдите 
.
Ответ:
24. Известно, что 
. Найдите 
.
Ответ:
25. Найдите значение выражения 
, если 
.
Ответ:
Ответы к заданию 3.5.1. 1. 4,2. 2. 
. 3. 1,5. 4. 
. 5. 7. 6. 196. 7. 
. 8. 0,04. 9. 5. 10. 1,2. 11. 4. 12. 30. 13. 6,5. 14. 2. 15. 3. 16. 3. 17. 1. 18. 
. 19. 2. 20. 
. 21. . 22. . 23. 
. 24. 
. 25. 0,375.
Задание №3.5.2
Базовый уровень
1. Вычислите 
.
1) | 2) | 3) | 4) |
;
;
.2. Вычислите 
.
1) 2; | 2) –1,5; | 3) 0,5; | 4) |
3. Найдите значение выражения 
.
1) –1; | 2) | 3) 27; | 4) |
.4. Вычислите 
1) 2; | 2) 400; | 3) | 4) 85. |
5. Вычислите 
1) | 2) –2; | 3) 2; | 4) –15. |
6. Вычислите 
1) –1; | 2) 2,5; | 3) 1; | 4) |
7. Вычислите 
.
1) 121; | 2) | 3) 22; | 4) |
8. Вычислите 
1) –16; | 2) 256; | 3) | 4) |
;
9. Вычислите 
1) 49; | 2) | 3) 3; | 4) |
10. Найдите значение выражения 
1) 9; | 2) 3; | 3) | 4) 18. |
11. Найдите 
, если 
.
1) | 2) | 3) | 4) |
;
;
;
.12. Найдите 
, если 
1) | 2) | 3) | 4) |
Ответы к заданию 3.5.2. 1. 1. 2. 3. 3. 3. 4. 1. 5. 2. 6. 1. 7. 1. 8. 4. 9. 3. 10. 1. 11. 4. 12. 2.
Задание №3.5.3
Повышенный уровень
1. Найдите значение выражения 
Ответ:
2. Найдите значение выражения 
Ответ:
3. Найдите значение выражения 
Ответ:
4. Вычислите 
Ответ:
5. Вычислите 
Ответ:
6. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
7. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
8. Найдите значение выражения 
Ответ:
9. Найдите значение выражения 
, если 
.
Ответ:
10. Найдите значение выражения 
, если 
Ответ:
Ответы к заданию 3.5.3. 1. 6. 2. –2. 3. 0,5. 4. 3. 5. 5. 6. 90. 7. 1. 8. –24. 9. 5. 10. 7.
3.6. Дополнительные тесты.
Тест №3.6.1
Отметьте номер правильного ответа в заданиях А1 – А7.
А1. Вычислите 
.
1) 6; | 2) 1,5; | 3) 2,5; | 4) 3. |
А2. Найдите значение выражения 
.
1) | 2) | 3) 0,5; | 4) –8. |
;А3. Найдите значение выражения 
.
1) 1144; | 2) 144000; | 3) 100000; | 4) 4320. |
А4. Найдите 
, если известно, что 
.
1) | 2) ; | 3) | 4) |
;
;
.А5. Найдите значение выражения 
1) | 2) | 3) | 4) |
;
;
.А6. Вычислите 
.
1) –5; | 2) 4; | 3) | 4) – 4. |
А7. Известно, что 
. Найдите 
1) | 2) – 9; | 3) – 1; | 4) |
;
Ответом в заданиях В8 – В10 должно быть целое или записанное в виде десятичной дроби число.
В8. Вычислите 
.
Ответ:
В9. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
В10. Найдите значение выражения 
, если 
.
Ответ:
Тест №3.6.2
Отметьте номер правильного ответа в заданиях А1 – А7.
А1. Вычислите 
.
1) 3; | 2) 5; | 3) 2,5; | 4) 4,5. |
А2. Найдите значение выражения 
.
1) 10; | 2) 0,1; | 3) 10000; | 4) 0,0001. |
А3. Найдите значение выражения 
.
1) | 2) 193; | 3) | 4) |
;
.А4. Найдите 
, если известно, что 
.
1) | 2) | 3) | 4) |
А5. Найдите значение выражения 
1) 2; | 2) 7; | 3) | 4) 9,8. |
;А6. Вычислите 
.
1) 6; | 2) 8; | 3) 12; | 4) |
.А7. Известно, что 
. Найдите 
1) 7; | 2) 10; | 3) 1,8; | 4) 1,2. |
Ответом в заданиях В8 – В10 должно быть целое или записанное в виде десятичной дроби число.
В8. Вычислите 
.
Ответ:
В9. Найдите значение выражения 
.
Ответ:
В10. Найдите значение выражения 
, если 
.
Ответ:
Ответы теста №3.6.1: А1. 4. А2. 1. А3. 2. А4. 1. А5. 3. А6. 4. А7. 3. В8. 8. В9. 7. В10. 7,4.
Ответы теста №3.6.2: А1. 2. А2. 4. А3. 3. А4. 1. А5. 1. А6. 3. А7. 1. В8. 5. В9. 7. В10. –11,5.
