Лекция 3

Лекция 3

1.4 Аксиоматика теории вероятностей.

Все рассмотренные ранее определения имели ограниченный характер их применения, связанный с конкретными математическими моделями случайных экспериментов. Так, классическое определение применяется для случая конечной группы равновероятных исходов, геометрическое определение для той же схемы, но с бесконечным числом равноправных исходов и т. д. Однако, для теоретических построений, важно лишь то, что каждому событию можно поставить в соответствие вероятность этого события, обладающую определенными свойствами. Поэтому в современной математике понятие вероятности вводят аксиоматически, абстрагируясь от конкретного содержания изучаемых событий.

1.4.1 -алгебра событий.

Даже если эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, не для любого множества вероятность может быть вычислена как отношение мер. А если не для всех подмножеств мы можем определить их вероятность, то следует сузить класс множеств, которые мы называем событиями, оставив только те, для которых мы можем определить их вероятность.

Пусть - некоторое множество подмножеств множества .

Определение 1. Множество , состоящее из подмножеств множества называется -алгеброй событий, если

А1)  (-алгебра содержит достоверное событие).

А2)  Если , то (вместе с событием -алгебра содержит дополнение события).

А3)  Если , то (вместе с любым конечным или счетным набором событий -алгебра содержит объединение этих событий).

Условия А1-А3 называют аксиомами -алгебры. Заметим, что если множество содержит конечное число исходов, то множество всех подмножеств множества является -алгеброй событий.

-алгебра событий обладает следующими свойствами:

Свойство 1. .

Доказательство. По (А1) , а по (А2) .

Свойство 2. Если, то .

Доказательство. По законам де Моргана , а по (А2) и (А3) .

Таким образом, применение счетного числа операций, таких как, объединение, пересечение, дополнение к множествам из снова дает множество из , или, как говорят, множество замкнуто относительно этих операций.

Множество будем также называть полем событий, связанных с данным испытанием.

Пример. Подбрасывается игральная кость. Пусть , где -ый исход означает, что выпало очков. Тогда, например, следующие множества являются -алгебрами:

1)  - тривиальная -алгебра;

2)  ;

3)  - множество всех подмножеств множества .

В качестве множества не являющегося -алгеброй можно взять, например, такое: .

Определение 2. Любое множество принадлежащее -алгебре событий называется событием.

1.4.2 Аксиоматическое определение вероятности.

Пусть - пространство элементарных исходов некоторого испытания, а - -алгебра событий, определенная на этом пространстве. Каждому событию множества ставится в соответствие величина , называемая вероятностью события и удовлетворяющая следующим условиям:

А1. .

А2. Вероятность достоверного события .

А3. Если в последовательности событий события попарно несовместны (т. е. ), то .

Таким образом, вероятность есть функция , удовлетворяющая условиям А1-А3, или, как говорят, нормированная (вероятностная) мера, заданная на множестве . Аксиомы А1-А3 называются аксиомами теории вероятностей.

Заметим, что аксиома А3 эквивалентна двум следующим аксиомам (без доказательства):

А4. Если и несовместны, то .

А5. Если и , или и , то .

Определение 3. Тройка , где - пространство элементарных исходов, - -алгебра его подмножеств, а вероятностная мера на называется вероятностным пространством.

1.4.3 Свойства вероятности (основные теоремы теории вероятностей).

Свойство 1. Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство: , но события и несовместны, следовательно, по (А3) . Откуда .

Свойство 2. Вероятность противоположного события: .

Доказательство: Так как и события и несовместны, то: .

Свойство 3. Если , то .

Доказательство: Событие можно представить в виде суммы несовместных событий: . Тогда . Откуда (Рис 13).

Свойство 4. Если , то .

Доказательство: Из предыдущего свойства, если , то . Но по А1

Свойство 5. .

Доказательство: по А1, а т. к. , то из предыдущего свойства .

Свойство 6 (Теорема сложения вероятностей). Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

(1.10)

Доказательство: Запишем событие в виде суммы несовместных событий: . Тогда . Но, . Следовательно, по свойству 3 (Рис 14).

Отметим, что если события и несовместны, то и .

Данная формула может быть обобщена на случай произвольного числа событий.

Свойство 7. (Общее правило сложения вероятностей).

Вероятность суммы событий может быть вычислена по формуле:

(1.11)

где все суммы расписываются по различным значениям индексов.

Доказательство:

Докажем методом математической индукции. Для формула уже доказана. Докажем ее справедливость для суммы событий, в предположении, что она справедлива для события.

Для суммы события имеем:

Для суммы события по той же формуле имеем:

Тогда, представляя сумму событий в виде суммы двух событий и получим:

В частности для трех событий:

.

Свойство 8.

Доказательство: Вытекает из свойства 6.

1.5 Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий

Определение 1. Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место событие , называется условной вероятностью события относительно события и обозначается .

Легко заметить, используя классическое или геометрическое определение вероятности, что (см. рис14), однако для произвольного пространства , доказать это невозможно, поэтому в аксиоматической теории понятие условной вероятности дается как определение.

Определение 2. Условной вероятностью события относительно события называется величина, равная

, (1.12)

(при условии .

Теорема 1 (теорема умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

(1.13)

В общем случае:

Теорема 2 (общая теорема умножения вероятностей). Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

(1.14)

(при условии, что соответствующие условные вероятности определены).

Определение 3. События и называются независимыми, если

. (1.15)

Теорема 3. Если события и независимы и , то .

Доказательство: По теореме умножения , а так как события независимы, то . Следовательно, .

Полученное равенство можно также использовать в качестве определения независимости событий.

Пример 1. Испытание заключается в подбрасывании игральной кости. События: - выпало два очка; - выпало четное число очков. Найти , , , и выяснить, зависимы или нет события и .

Решение. По классической формуле вероятностей находим . Если событие наступило, то выпало либо два, либо четыре, либо шесть очков. Следовательно: Если событие наступило, то это событие влечет событие , следовательно, Так как, , то событие зависит от события . Аналогично событие зависит от события .

Теорема 4. События называются независимыми в совокупности, если для любого сочетания этих событий вероятность произведения событий равна произведению вероятностей:

, . (1.16)

Пример 2. В корзине находятся два белых и три черных шара. Вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Введем события: - вынуты два белых шара, - первый вынутый шар белый, - второй вынутый шар белый. Тогда, по классической формуле вероятностей вероятность вынуть первым белый шар . После того, как из корзины был извлечен белый шар, в корзине осталось 4 шара, среди которых один белый. Следовательно, вероятность вынуть вторым белый шар, при условии, что первым был вынут белый шар: .

Отметим, что эту задачу можно было решить не привлекая теорему умножения вероятностей, а используя формулы комбинаторики в классической схеме.

Пример 3. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго - 0,8. Определить вероятности следующих событий: а) ровно один стрелок попадет в цель; б) хотя бы один из стрелков попадет в цель.

Решение. Пусть событие - попал в цель первый стрелок, событие - попал второй стрелок.

а) Событие ровно один стрелок попадет в цель есть событие . Так как события и несовместны, а события и независимы, то .

б) Событие попал в цель хотя бы один стрелок можно представить в виде суммы событий и : . Так как события и независимы, то: .

Как мы уже отмечали ранее, если речь идет о появлении хотя бы одного события, данный вариант вычислений является не самым удобным, особенно, если число событий велико. Лучше в такой ситуации перейти к противоположному событию, определив , тогда:

.

Правило. Если противоположное событие распадается на меньшее число вариантов, чем прямое событие, то имеет смысл при вычислении вероятностей перейти к противоположному событию.

Вероятность появления события хотя бы один раз

Пусть производится серия из испытаний в одних и тех же условиях, результатом каждого из которых является появление события с вероятностью или не появление его с вероятностью . Требуется найти вероятность того, что в испытаниях событие появится хотя бы один раз.

Обозначим через - события, заключающиеся в появлении события соответственно при 1-ом, 2-ом, …, -ом испытании, а через - событие, заключающееся в появлении хотя бы один раз при испытаниях. Очевидно, что противоположным событию является событие, заключающееся в том, что событие не произойдет ни в одном испытании, то есть: . Следовательно: или: .

Пример 4. Монета бросается 10 раз. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится орел.

Решение: Так как в нашем случае , то вероятность того, что хотя бы один раз появится орел в 10 испытаниях:

.

Пример 5. Сколько раз надо сыграть в спортлото, чтобы с вероятностью большей 1/2 угадать хотя бы один раз 6 номеров из 49.

Решение. Вероятность угадать 6 номеров из 49 в одном розыгрыше можно определить по классической формуле:

Вероятность хотя бы одного такого события в розыгрышах (событие ) выразим через вероятность противоположного события: . Вероятность, что в испытаниях ни разу не будет угадано 6 номеров: .

Тогда . Так как по условиям задачи данная вероятность должна быть больше 1/2, то получаем уравнение для нахождения :

.

Логарифмируя, получим: , или .