Ответы

Ответы

1)  Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

Решение: Последняя цифра в записи числа 4. Значит основания систем счисления должны быть больше 4 т. е 5,6 …. Таким образом, нужно найти все целые число N>=5, такие, что остаток от деления числа 22 на N, был равен 4 или 22=k*N+4 или k*N=18. делители числа 18: 1,2,3,6,9,18.

Нам подходит 6,9,18

2)  В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.

Решение: Пусть основание неизвестной системы счисления –х. Тогда 110х=1210 или х2+х=12. Получаем квадратное уравнение х2+х-12=0, решая которое находим правильный ответ х=3. (отрицательный корень отбрасываем)

3)  Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 39 оканчивается на 3.

Решение: Последняя цифра в записи числа 3. Значит основания систем счисления должны быть больше 3 т. е 4,5,6 …. Таким образом, нужно найти все целые число N>=4, такие, что остаток от деления числа 39 на N, был равен 3 или 39=k*N+3 или k*N=36. делители числа 36: 1,2,3,4,6,9,12,18,36.

Нам подходит 4,6,9,12,18,36.

4)  Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.

Решение: Последняя цифра в записи числа 5. Значит основания систем счисления должны быть больше 5 т. е 6,7 …. Таким образом, нужно найти все целые число N>=6, такие, что остаток от деления числа 29 на N, был равен 5 или 29=k*N+5 или k*N=24. делители числа 18: 1,2,3,4,6,8,12,24.

Нам подходит 6,8,12,24.

5)  В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 129 записывается как 1004. Укажите это основание.

Решение: Пусть основание неизвестной системы счисления –х. Тогда 1004х=12910 или х3+4=129. Получаем кубическое уравнение х3=125, решая которое находим правильный ответ х=5. (отрицательный корень отбрасываем)

6)  Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 40 оканчивается на 4.

Решение: Последняя цифра в записи числа 4. Значит основания систем счисления должны быть больше 4 т. е 5,6 …. Таким образом, нужно найти все целые число N>=5, такие, что остаток от деления числа 40 на N, был равен 4 или 40=k*N+4 или k*N=36. делители числа 36: 1,2,3,4,6,9,12,18,36. Нам подходит 6,9,12,18,36.

7)  В системе счисления с некоторым основанием число десятичное 25 записывается как 100. Найдите это основание.

Решение: Пусть основание неизвестной системы счисления –х. Тогда 100х=2510 или х2=25. Получаем квадратное уравнение х2=25, решая которое находим правильный ответ х=5. (отрицательный корень отбрасываем)

8)  Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 27 оканчивается на 3.

Решение: Последняя цифра в записи числа 3. Значит основания систем счисления должны быть больше 3 т. е 4,5,6 …. Таким образом, нужно найти все целые число N>=4, такие, что остаток от деления числа 27 на N, был равен 3 или 27=k*N+3 или k*N=24. делители числа 24: 1,2,3,4,6,8,12,24..

Нам подходит 4,6,8,12,24

9)  Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22?

Решение: Переведем число 26 в троичную систему счисления: 2610=2223. Это максимальное число. Оно нам подходит. Найдем другие числа. Так как в конце должно быть две двойки, находим еще два числа в троичной системе счисления, не превосходящие 222. Это числа 223=8 и 1223=17. Располагая числа в порядке возрастания, получим правильный ответ: 8,17,26.

10)  Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в четверичной системе счисления оканчивается на 31?

Решение: Переведем число 30 в четверичную систему счисления: 3010=1324. Это максимальное число. Оно нам не подходит, так как в конце должно быть 31. Найдем другие числа. Так как в конце должно быть 31, находим еще два числа в четверичной системе счисления, не превосходящие 132. Это числа 314=13 и 1314=29. Располагая числа в порядке возрастания, получим правильный ответ: 13.29.

11)  Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры?

Решение: Переведем число 17 в троичную систему счисления: 1710=1223. Это максимальное число. Оно нам подходит, так как в конце две одинаковые цифры. Найдем другие числа. Так как в троичной системе счисления используются только цифры 0,1,2, то в конце могут быть варианты 00,11,22.Находим эти числа в троичной системе счисления, не превосходящие 221 и оканчивающиеся на две одинаковые цифры. Это числа 113= 4, 223 =8, 1003=9 и 1113=13 . Располагая числа в порядке возрастания, получим правильный ответ: 4,8,9,13,17.

12)  Укажите, сколько всего раз встречается цифра 3 в записи чисел 19, 20, 21, …, 33 в системе счисления с основанием 6.

Решение: Переведем крайние числа 19 и 33 в систему счисления с основанием 6: 1910=316; 3310=536

Между ними располагаются: 31,32,33,34,35,40,41,42,43,44,45,50,51,52,53. Считаем тройки. Их 8. Это правильный ответ.

13)  Укажите, сколько всего раз встречается цифра 1 в записи чисел 12, 13, 14, …, 31 в системе счисления с основанием 5.

Решение: Переведем крайние числа 12 и 31 в систему счисления с основанием 5: 1210=225; 3110=1115

Между ними располагаются: 22,23,24,30,31,32,33,34…. Видим, что в интервале от 30 до 34 располагается только одна 1. Аналогично для интервалов от 40,50,60,70,80,90. Получаем 7 единиц. Продолжаем дальше 100,101,102,103,104,110,111. Еще 11 единиц. Складывая, получаем правильный ответ 18 раз.

Считаем тройки. Их 8. Это правильный ответ.

14)  Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 1.

Решение: Последняя цифра в записи числа 1. Значит основания систем счисления должны быть больше 1 т. е 2,3,4,5,6 …. Таким образом, нужно найти все целые число N>=2, такие, что остаток от деления числа 23 на N, был равен 1 или 23=k*N+1 или k*N=22. делители числа 22: 1,2,11,22.

Нам подходит 2,11,22.

15)  Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 63 оканчивается на 23.

Решение: Неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через .

Пока будем считать, что запись числа 63 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (23) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:

2 1 0 ← разряды

6310 = k 2 3N = k·N2 + 2*N1 + 3*N0 = k·N2 + 2*N + 3

Итак, нужно найти все целые числа, N > 3 (двоичная система не может использоваться) ,такие что k·N2 + 2*N + 3=63 или k·N2 + 2*N=60, где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

Сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

Из преобразования формулы получаем (k*N + 2)*N=60.Так что, задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 60 и отобрать только те из них, для которых уравнение разрешимо при целом , то есть, = (60- 2*N)/ N2– целое число.

выпишем все делители числа 60, большие или равные 3: 3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.

из всех этих делителей только для 3,5 и 30 значение = (60- 2*N)/ N2 – целое число (оно равно соответственно 6,2 и 0)

Таким образом, верный ответ – 3, 5, 30.

16)  Десятичное число, переведенное в восьмеричную и в девятеричную систему, в обоих случаях заканчивается на цифру 0. Какое минимальное натуральное число удовлетворяет этому условию?

Решение: Это число 8*9=72. Только для него одновременное деление на 8 и на 9 даёт последнюю цифру 0.

17)  В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.

Решение: Пусть основание неизвестной системы счисления –х. Тогда 100х=4910 или х2=49. Получаем квадратное уравнение х2=49, решая которое находим правильный ответ х=7. (отрицательный корень отбрасываем)

18)  Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 70 трехзначна.

Решение:

обозначим через неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 70 в этой системе имеет вид

XYZN=70

вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:

поскольку запись трехзначная, , поэтому

с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому

объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание удовлетворяет двойному неравенству

учитывая, что – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 5 и 6:

минимальное из этих значений – 5

таким образом, верный ответ – 5 .

19)  Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 двузначна.

Решение:

обозначим через неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 50 в этой системе имеет вид

XYN=50

вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:

поскольку запись двузначна, , поэтому

с другой стороны, третьей цифры нет, то есть, во втором разряде – ноль, поэтому

объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание удовлетворяет двойному неравенству

учитывая, что – целое число, методом подбора находим решение этого неравенства

Это минимальное значение

таким образом, верный ответ – 8 .

20)  Сколько значащих цифр в записи десятичного числа 357 в системе счисления с основанием 7?

Решение: Десятичное число 357 в системе счисления с основанием 7 равно 1020. Ответ 4 значащих цифры.

21)  Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием 6 начинается на 4?

Решение: Число 25 в 6СС равно 41. Нас интересуют числа от 1 до 41. Таким образом, находим нужные числа 4, 40,41. В десятичной системе счисления они соответственно равны 4,24,25.

Другое решение:

Сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления с основанием 6:

Поскольку 61<25<62, в интересующих нас числах может быть от 1 до 2 цифр.

Рассмотрим однозначные числа: Это только число 46=410.

Рассмотрим двузначные числа: 4Х6= 4*61+Х*60=Х+24, где Х=0,1,2,3,4,5. Нам подходят только числа 40 и 41. В десятичной системе счисления они соответственно равны 24 и 25.

Правильный ответ 4,24,25.

22)  Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 20, запись которых в системе счисления с основанием 3 начинается на 2?

Решение: Число 20 в 3СС равно 202. Нас интересуют числа от 1 до 202. Таким образом, находим нужные числа 2,20,21,22,200,201. В десятичной системе счисления они соответственно равны 2,6,7,8,18,19.

23)  Какое десятичное число при записи в системе счисления с основанием 5 представляется как 12345?

Ответ 194

24)  Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101?

Решение: Переведем число 25 в 2СС : 11001. Это максимальное число, которое нам не подходит так как не оканчивается на 101. Необходимые нам числа: 1012=510; 11012=1310;101012=2110. Ответ 5,13,21

25)  Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 30 оканчивается на 8.

Решение: Последняя цифра в записи числа 8. Значит основания систем счисления должны быть больше 8 т. е 9,10 …. Таким образом, нужно найти все целые число N>=9, такие, что остаток от деления числа 30 на N, был равен 8 или 30=k*N+8 или k*N=22. делители числа 22: 1,2,11,22.

Нам подходит 11,22.

26)  Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 4.

Решение: Последняя цифра в записи числа 4. Значит основания систем счисления должны быть больше 4 т. е 5,6 …. Таким образом, нужно найти все целые число N>=5, такие, что остаток от деления числа 31 на N, был равен 4 или 31=k*N+4 или k*N=27. делители числа 27: 1,3,9,27. Нам подходит 9,27.

27)  В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 83 записывается в виде 123. Укажите это основание.

Решение: Пусть основание неизвестной системы счисления –х. Тогда 123х=8310 или х2+2*х+3=83. Получаем квадратное уравнение х2+2*х-80=0, решая которое находим правильный ответ х=8. (отрицательный корень отбрасываем)

28)  В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 144 записывается в виде 264. Укажите это основание.

Решение: Пусть основание неизвестной системы счисления –х. Тогда 264х=14410 или 2*х2+6*х+4=144. Получаем квадратное уравнение 2*х2+6*х-140=0, решая которое находим правильный ответ х=7. (отрицательный корень отбрасываем)

29)  Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 32 оканчивается на 4.

Решение: Последняя цифра в записи числа 4. Значит основания систем счисления должны быть больше 4 т. е 5,6 …. Таким образом, нужно найти все целые число N>=5, такие, что остаток от деления числа 32 на N, был равен 4 или 32=k*N+4 или k*N=28. делители числа 28: 1,2,4,7,14,28. Нам подходит 7,14,28.

30)  Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 27, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 110?

Решение: Переведем число 27 в 2СС : 11011. Это максимальное число, которое нам не подходит так как не оканчивается на 110. Необходимые нам числа: 1102=610; 11102=1410;101102=2210. Ответ 6,14,22

31)  Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 21?

Решение: Переведем число 25 в 3СС : 221. Это максимальное число, которое нам подходит, так как оканчивается на 21. Необходимые нам числа: 213=710;. 1213=1610;. Ответ 7,16,25

32)  Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 45, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 1010?

Решение: Переведем число 45 в 2СС : 101101. Это максимальное число, которое нам не подходит так как не оканчивается на 1010. Необходимые нам числа:

10102=1010; 110102=2610;1010102=4210. Ответ 10,26,42