Лабораторная работа
«Искусственные спутники и космические аппараты».
Цель работы: Изучение теоретических основ запуска небесных тел.
Пособия: Астрономический календарь (постоянная часть) или Справочник любителя астрономии; таблицы тригонометрических функций; таблицы логарифмов; логарифмическая линейка, или электронный калькулятор,
Литература: [1], глава 2, §59,60; [2], глава 6, §53,54,63,64; Астрономический календарь (постоянная часть), §20, Физмат из, 1962; [6], №№ 000,657,677,681,685,687.
Краткие теоретические основы.
Теоретической основой запуска и движения искусственных спутников (ИС) является ограниченная задача двух тел, а движения космических аппаратов (КА) – ограниченная задача трех и более тел, поскольку массы искусственных небесных тел ничтожно малы в сравнении с массой М Земли, Луны, планет или Солнца. Поэтому для искусственных небесных тел интеграл энергии имеет вид
V²=γΜ(2/r – 1/a), (1)
где γ – гравитационная постоянная, M - масса центрального тела, r – расстояние от центрального тела, a – большая полуось орбиты.
Чтобы создать искусственное небесное тело, ему необходимо при выводе на орбиту сообщить некоторую начальную скорость VH (скорость запуска), величина и направление которой определяется техническими возможностями и задачами запуска. Технически осуществляется с помощью многоступенчатых ракет, последняя ступень которой сообщает искусственному небесному телу требуемую скорость запуска VH и тем самым выводит его на орбиту на некоторой высоте hH над поверхностью естественного небесного тела. Высота запуска зависит от плотности слоев атмосферы, окружающей небесное тело, и, в частности, для Земли всегда hH≥160 км.
При прочих равных условиях наименьшие значения величины начальной скорости получается при ее направлении, перпендикулярном к радиусу небесного тела. Поэтому, как правило, искусственные спутники выводятся на орбиту в горизонтальном направлении. Именно эти условия запуска и будут рассмотрены в дальнейшем.
Величина скорости запуска VH зависит от поставленной задачи. Если нужно создать ИС с круговой орбитой, то ему на расстоянии r от центра небесного тела должна быть сообщена скорость
VH=Va= Ö(γM/r), (2)
где Va – круговая скорость, при которой из уравнения (1) получается r=a, т. е. орбита ИС будет круговой (рис. 1).
При необходимости запуска ИС по эллиптической орбите с большой полуосью a скорость запуска VH определяется неравенством
Va<VH<Vn
Где Vn – параболическая скорость, причем VH вычисляется из уравнения (1) по заданным значениям r и a.
Космические аппараты (КА), предназначенные для исследования далеких областей космического пространства, должны преодолеть притяжение небесного тела, с которого они запущены, а это возможно только в том случае, если сообщаемая им скорость запуска
VH≥ Vn
При подстановке в уравнение (1) значения
VH =Vn=√(2γΜ/r), (3)
получим a=∞, т. е. орбитой КА будет разомкнутая кривая второго порядка – парабола. При VH>Vn движение КА происходит по гиперболе,
если считать, что ИС и КА запускаются непосредственно с поверхности небесного тела с массой М и радиусом R, то в формулах (2) и (3) следует положить r=R и, в частности, для Земли расчетный радиус R=6370км. Вычисленные для поверхности небесного тела (r=R) значения круговой Va и параболической скорости называются первой и второй космической скоростью. Причем параболическая скорость Vn часто называется критической скоростью или скоростью освобождения.
Значения Va и Vn для поверхности небесного тела: r=R, которые мы обозначим, соответственно, через ωa и ωn легко определяются через ускорение силы тяжести q на поверхности небесного тела. В самом деле, поскольку из закона всемирного тяготения следует
q=γΜ/R2 ,
то
γ=qR2/M, (4)
и, подставляя (4) в формулы (2) и (3) при r=R получим
ωa=√qR, (5)
и ωn=√2qR=ωa√2. (6)
в действительности же, как уже указывалось ранее, скорость запуска VH сообщается искусственному небесному телу на некоторой высоте hH над поверхностью небесного тела, поэтому, строго говоря, при расчетах скорости запуска следует полагать
r=R+hH
и согласно выражениям (2), (4), (5), (6) круговая скорость
Va=√qR2 /r=ωa√R/r=ωa√R/(R+hH), (7)
И параболическая скорость
Vn=√q2R2/r=ωn√R/r=ωn√R/(R+hH ), (8)
Причем всегда Vn=Va√2.
Скорость космических тел всегда выражается в км/с., радиусы небесных тел солнечной системы – либо в км, либо в радиусах Земли, массы же этих тел – в массах Земли, а расстояния до них – в км, в радиусах и в астрономических единицах. Поэтому при вычислении скорости необходимо строго придерживаться определенной системы единиц и выбирать соответствующее значение γ. Так, при выражении масс М небесных тел в массах Земли, расстояний r и a – в радиусах Земли, времени t в секундах, а скорости V – в км/с, значение γ=62.50, а √γ =7.906; поэтому уравнение (1) примет вид
V=√M( 2 _ 1 ) , (9)
r a
откуда
Va=7.906√M/r, (10)
и
Vn = 7,906√(2M)/r = 11,18√M/r, (11)
Если же масса М выражена в массах Земли, a и r – в км., t – в секундах и V – в км/с, то γ = 398400 и √γ = 631,1, поэтому
V = 631,1√M(2/r – 1/a), (12)
Va = 631,1√M/r, (13)
и
Vn = 631,1√(2M)/r = 892,5√M/r, (14)
ИСЗ, как правило, выводятся на эллиптические орбиты, общим фокусом которых является центр Наинизшая точка П орбиты ИСЗ над поверхностью Земли называется перигеем (рис 2), а наивысшая точка А – апогеем. По высоте hq перигея и высоте hs апогея над земной поверхностью легко вычислить большую полуось a орбиты, перигейное расстояние q, апогейное расстояние Q и эксцентриситет орбиты l.
Параметры ИС любого другого небесного тела подсчитываются аналогично, но точки П и А имеют другое название (для Луны – переселений и апоселений, для спутников Марса периарий и апоарий), т. к. греческое название Луны – Селена, а Марса – Арес.
Период обращения Т как естественных, так и искусственных спутников небесных тел связан с большой полуосью a орбиты спутника третьим законом Кеплера
(T2 (M + m))/a3 = (4π2 )/γ, (15)
где М – масса небесного тела, m – масса спутника и γ гравитационная постоянная.
Ограниченная задача двух тел позволяет придать третьему закону Кеплера вид
(T2M)/a3 = (4π2)/γ, (16)
поскольку для ИС a всегда задается в км, а Т – в минутах и, кроме того, массы M естественных тел планетной системы в массах Земли, то, положив γ = 398350 и переведя Т в минуты, получим
T2 = 275,25 * 10-10 a3/M, (17)
или
T = 16,59 * 10-5 a√a/M, (18)
При решении обратной задачи
a = 331,2∛MT2 , (19)
Очевидно, что для ИСЗ следует в формулах (19), (17), (18) положить M = 1.
Формула (17) позволяет вычислить массу М небесного тела в массах Земли по известной большой полуоси a и периоду Т его спутника.
Так как, ИСЗ выводятся на орбиту, как правило, в перигее, то скорость запуска спутника VH может быть принята за скорость Vq в перигее и вычислена по интегралу энергии (8) или (11). Подстановкой в него r = q. это же уравнение позволяет вычислить скорости спутника V в любой точке его орбиты на расстоянии r от центра Земли, но проще воспользоваться значением круговой скорости, вычисленной по формуле (9) или (12) при r = a, а затем разделить равенство (1) на
Va2 = γ * M/a
и получить
V = Va√((2a/r) - 1), (20)
Положив в формуле (20) r = q или r = Q получим соответственно Vq или VQ, т. е. скорость ИС в перигее и в апогее.
Расчет орбит КА значительно сложнее расчета орбит ИС, поскольку задача двух тел определяет только нижний предел начальной скорости необходимой для вывода аппарата на орбиту, а сама орбита и скорость движения КА определяется суммарным гравитационным воздействием небесных тел, в поле тяготения которых он находится (ограниченная задача трех и более тел).
Рассмотрим в упрощенном виде некоторые случаи движения КА.
Примем, что запуск КА произведен к Луне в направлении орбитального движения Земли (рис 3) в день, когда фаза Луны близка к последней четверти. При таком запуске начальная скорость аппарата VH относительно Солнца складывается из его скорости запуска VH относительно Земли и из орбитальной скорости Земли VѢ, т. е.
VH = VѢ + VH
причем значение VH ≥VП и VH < VП параболической скорости относительно Солнца на расстоянии 1 а. е. от него.
По мере удаления от Земли скорость КА V относительно Земли (геоцентрическая скорость) постепенно уменьшается за счет земного притяжения, что вызывает уменьшение его скорости V относительно Солнца (гелиоцентрической скорости); поэтому в поле тяготения Солнца КА движется по эллиптической орбите с постепенно уменьшающимся эксцентриситетом.
Рассмотрим изменение геоцентрической скорости КА.
При запуске с Земли его скорость V = VH кинетическая энергия относительно Земли
TH = mVH2/2, (21)
Поле тяготения Земли, направленное против движения КА, уменьшает его скорость V, а поле тяготения Луны, направленное по движению аппарата, увеличивает эту скорость. В результате скорость КА меняется совместным действием полей тяготения обоих небесных тел. Но с целью значительного упрощения задачи мы будем рассматривать ее в рамках ограниченной задачи двух тел. Для этого пренебрегаем действием на КА лунного притяжения вплоть до точки «равного притяжения». То есть той точки пространства между Землей и Луной, в которой гравитационные ускорения обоих небесных тел численно равны друг другу. Обозначив массы Земли и Луны соответственно через М1 и М2 их радиусы – через R1 и R2 расстояние между этими телами – через r0, а расстояние от них точки равного притяжения – через ρ1 и ρ2 = r0 – ρ1 получим
γ * M1/ρ12 = γ * M2/(r0 – ρ1)2, (22)
и помня, что M2 = M1/81 и r0 = 60R найдем ρ1 и ρ2 в радиусах Земли.
В точке равного притяжения скорость КА уменьшается до минимума Vm, причем изменение кинетической энергии аппарата
ΔT = TH – Tm = (mVH2/2) – (mVm2/2)
сопровождается изменением ΔП его потенциальной энергии относительно центра Земли, которая в момент старта аппарата была
ПН = - mγ*M1/R1
а в точке равного притяжения стала
Пm = - mγ*M1/ρ1,
а так как ΔЕ = -ΔП, то
mVH2/2 – mVm2/2 = mγM1(1/R1 – 1/ρ1),
откуда
Vm2 = VH2 - 2γM1(1/R1 – 1/ρ1), (23)
Полагая M1 = 1 и R1 = 1 и принимая, поэтому γ = 62,50, получим простую формулу для скорости Vm КА.
После прохождения аппаратом точки равного притяжения лунное поле тяготения действует сильнее земного, и поэтому по мере приближения аппарата к Луне его скорость снова возрастает. Теперь для простоты расчетов будем считать действие Земли на КА незначительным (хотя это не совсем верно) и учитывать только действие Луны. Тогда конечная скорость VК сближения КА с Луной найдется из аналогичного равенства
VК2 = Vm2 + 2γM2(1/R2 – 1/ρ2), (24)
Расчет орбит для запуска КА, к планетам Солнечной системы также очень сложен и требует учета возмущений. В космическом пространстве такой аппарат, подобно телам Солнечной системы, будет двигаться под действием силы солнечного притяжения, и поэтому его простейшая орбита может быть представлена эллипсом, в одном из фокусов которого находиться Солнце. Начальная скорость VH КА относительно Солнца определяется условиями его полета и различна при запуске к верхним и нижним планетам, орбиты которых в первом приближении можно считать круговыми.
При запуске к верхним планетам перигельное расстояние КА
q0 = a0,
а афелийное расстояние Q = a1, где a0 и a1 – соответственно средние расстояния Земли и планеты от Солнца (рис 23), выраженные в а. е. Из этих соображений можно подсчитать величину большой полуоси a (в а. е.) орбиты космического аппарата и вычислить период Т его обращения вокруг Солнца в годах, который затем, можно перевести в месяцы или сутки.
Очевидно, что
t = T/2, (25)
даст продолжительность полета КА от Земли до планеты.
Скорость Vq в перигелии и VQ в афелии вычисляется из интеграла энергии
V2 = γM0(2/r – 1/a),
или
V = 29,76√(2/r – 1/a), (26)
где M0 – масса Солнца принята за единицу, r и a выражаются в а. е., а V – в км/с.
Проще сначала найти по формуле (26) круговую скорость КА (при r = a), а затем, разделив равенство (26) на выражение для Va, получить формулу, аналогичную (20), по которой уже вычислять Vq и VQ.
Нужно иметь в виду, что вычисленное значение VQ будет, отличатся от действительного значения за счет возмущающего действия на КА главным образом со стороны Земли, Луны и планеты, к которой аппарат направлен. Поэтому вычисленное значение Va правильнее назвать условной скоростью КА в афелии.
Поскольку запуск КА производится в перигелии его орбиты, то его начальная скорость относительно Солнца может быть принята VH = VQ, откуда можно найти скорость КА Vq относительно Земли в направлении ее движения, называемую дополнительной скоростью
Vq = VH - VѢ, (27)
где VѢ – орбитальная скорость Земли.
Однако значение Vq часто оказывается меньшим скорости освобождения с Земли VΠ = 11,18 км/с, и поэтому Vq не может служить начальной скоростью запуска VH КА с Земли. Для расчета величины начальной скорости VH обратимся к интегралу энергии для поля Земного тяготения.
V2 = γM(2/r – 1/a),
Интеграл напишем в виде
V2 = 2γM/r + const, (28)
где M – масса Земли.
Так как можно считать, что запуск КА производится с поверхности Земли при r = R, то согласно (28),
VH2 = 2γM/R + const, (29)
С другой стороны, если бы земное притяжение отсутствовало, то дополнительной скорости Vq было бы достаточно, чтобы аппарат ушел от Земли на расстояние r → ∞, согласно (28)
Vq2 = 2γM/∞ + const = const, (30)
Подставляя значение постоянной величины из (29) в (30) и помня, что
2γM/R = VП2,
получим начальную скорость запуска космического аппарата
VH = √(VП2 + Vq2), (31)
Подобным же образом выбирается простейшая орбита для запуска КА к нижним планетам, но техническое обеспечение начальной скорости VH здесь более затруднено тем обстоятельством, что эта скорость должна быть меньше орбитальной скорости Земли VѢ. Так как при VH = VѢ КА будет обращаться вокруг Солнца по земной орбите. А при VH > VѢ – за орбитой Земли. В то же время скорость запуска VH с Земли должна быть не ниже VП, иначе КА станет спутником Земли. Поскольку в этом случае аппарат запускается в афелии орбиты, то VH = VQ и тогда
Vq = VѢ -VH, (32)
т. е. должна быть направлена против орбитального движения Земли. Скорость запуска вычисляется по формуле (32).
Зная продолжительность полета КА к планете, можно определить конфигурацию планет в моменты t1 запуска и t2 сближения аппарата с планетой. Пусть в момент t1 гелиоцентрическая долгота Земли, находящейся в точке П, равна l0 а гелиоцентрическая долгота планеты Р равна l (рис 4). Через промежуток времени t = t2 – t1 Земля придет в точку S, а планета - в точку А, диаметрально противоположную П, и в момент t2 гелиоцентрическая долгота Земли будет
l0' = l0 + ω0t, (33)
а гелиоцентрическая долгота планеты
l' = l + ω1t = 180˚ + l0, (34)
где ω0 и ω1 – соответственно средние угловые движения Земли и планеты за единицу времени, в которых выражен интервал t.
Разность гелиоцентрических долгот планеты и Земли в момент t1 равна:
l - l0 = 180˚ - ω1t, (35)
а в момент t2
l' - l0' = 180˚ - ω0t, (36)
Из треугольника РСП находим, что для момента t1 конфигурация планеты
Δλ = 180˚ - (l – l0) – δ, (37)
причем
sin Δλ = a1/a0 * sin δ, (38)
Выразив из формулы (74)
sin δ = sin [(l – l0) +Δλ1],
и подставив это выражение в формулу (75) после преобразований получим
сtq Δλ1 = a0/a1 * cosec (l – l0) – ctq (l - l0), (39)
откуда находится конфигурация Δλ1.
Если же для того же момента необходимо вычислить гелиоцентрическое расстояние планеты
ρ1 = √(a02 + a12 - 2a0a1 * cos (l – l0)), (40)
то конфигурацию планеты проще вычислить по формуле
sin Δλ1 = a1/ρ1 * sin (l - l0), (41)
Аналогично вычисляется элонгация планеты Δλ2 = ∠ASC, и ее гелиоцентрическое расстояние ρ2 для момента t2.
Все вычисления можно выполнять на логарифмической линейке с точностью: a и r – до 0,01 а. е., V – до 0,1 км/с, l – до 1˚ и t – до 0,5 суток
Задание
1. Вычислить круговую и параболическую скорость на поверхности Солнца, Луны, Земли и планет: 1) Марса; 2) Юпитера; 3) Сатурна; 4) Урана; 5) Нептуна; 6) Венеры; 7) Меркурия.
2. Вычислить круговую и параболическую скорость на расстояниях, равных 3,8; 8,0 и 35,0 радиуса от поверхности одного из этих тел.
3. Сравнить между собой вычисленные в пунктах 1 и 2 величины и сделать вывод о закономерности их изменения с расстоянием от центра небесного тела.
4. Определить период обращения и орбитальную скорость ИСЗ, обращающегося по круговой орбите на высоте:км;км;км;км;км;км;км;км.
5. По общим результатам пункта 4 построить на одном чертеже графика изменения периода обращения и скорости ИСЗ в зависимости от радиуса его орбиты и, сопоставив графики с результатом пункта 3, сформулировать вывод о причине изменения скорости и периоде обращения с расстоянием.
6. Определить период обращения и орбитальную скорость искусственного спутника, обращающегося на высоте 500 км над поверхностью: 1) Луны; 2) Меркурия; 3) Венеры; 4) Земли; 5) Марса; 6) Юпитера; 7) Сатурна; 8) Урана.
