Программа курса 10-11 классы элементы комбинаторики, статистики, вероятность

Программа курса 10-11 классы

Элементы комбинаторики, статистики, вероятность.

Пояснительная записка.

Курс "Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности" предназначен для изучения в 10-11 классах. Программа включает материал о понятиях случайности, которые относятся к числу основных принципов, присущих современной естественно-научной картине мира. Вероятностные законы в той или иной степени определяют ход почти всех природных процессов и лежат в основе многих явлений, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни. Вероятностное поведение характерно для молекулярно-кинетических явлений в физике, с вероятностью тесно связаны законы генетики и т. д. Случайность играет значительную роль не только в природных, но и общественных, социальных и экономических процессах. В школьном курсе математики разделы теории вероятности и статистики только начинают появляться, поэтому актуальность разработки элективного курса, посвященного вопросам случайности несомненна.

Задачи курса:

-  расширить кругозор учащихся;

-  дать представление о комбинаторных задачах;

-  показать возможность использования математических методов и технологии статистической обработки в различных исследованиях.

Интеграция этого курса с другими предметами на этапе выполнения завершающего проекта по теме позволит определить учащимся ту область, которая их интересует и даст возможность продолжить исследования в данной области. Применение компьютерных технологий в процессе изучения курса поможет определиться с выбором профессии в этом направлении. Успешное решение заданий по теории вероятности при сдаче ЕГЭ.

Содержание.

§1. Тематическое планирование.

§2.  Элементы комбинаторики.

§3.  Элементы теории вероятностей.

§4..  Случайные величины.

§5.Список литературы.

Введение. 

Во всех действующих учебниках для общеобразовательных классов по математике темы: «Элементы комбинаторики, статистики, вероятность» нет, хотя при сдаче экзаменов задания есть. Учебники по теории вероятности и статистике для вузов не подходят для школьников, т. к. при работе с ними нужны знания  выходящие  за рамки программы школы, и требуется гораздо больше времени на изучение этого курса, поэтому передо мной стояла задача: отобрать материал из вузовских учебников для изучения курса «Теория вероятностей и статистика» из расчета 50 часов изучения. Содержание теоретического и практического материала, включенного в этот курс, я старалась изложить в соответствии  с требованиями:

  1.Отобранный материал должен обеспечивать выполнение  обязательного минимума содержания образования для 10-11 классов.

  2.Задачи комбинаторики, теории вероятностей и статистики, включенные в этот курс, призваны познакомить ребят с многообразием вероятностных задач, с методами обработки статистических данных, вызвать  у учащихся интерес к дальнейшему изучению этой темы в вузе.

  3.Доказательство всех утверждений  представляется мне невозможным провести строго из-за недостатка времени и знаний по смежным дисциплинам, поэтому многие вопросы изучаются на конкретных примерах, интуитивно, а затем по аналогии происходит обобщение.

  Все задачи, включенные в программу, приводятся с решениями или ответами. В приложении имеется набор практикумов по нескольким темам курса, самостоятельных и контрольных работ.

§1. Обязательный минимум содержания образования для профильного уровня изучения по теме «Элементы комбинаторики, статистики, вероятность»

1.  Размещения и сочетания. Формулы размещений и сочетаний. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

2.  Поле событий. Элементарные и сложные события в классической модели вероятности. Вероятность сложного события. Условная вероятность. Независимые события. Вероятность наступления независимых событий.

3.  Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Закон распределения случайной величины. Понятие о нормальном распределении вероятностей.

Требования к уровню подготовки выпускников по теме.

Изучение темы «Элементы комбинаторики, статистики, вероятность» должно предоставить учащимся возможность:

- усвоить основные формулы комбинаторики;

- развить представления о классической модели вероятностей и ее применении;

- получить представления о случайных величинах и их характеристиках, о законах распределения случайных величин.

§2. Тематическое планирование (50 часов).

1.  Элементы комбинаторики. (10 часов)

1.1 Перестановки, размещения, сочетания 4 часа

1.2 Размещения и сочетания с повторениями 3 часа

1.3 Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных

коэффициентов. Треугольник Паскаля. 3 часа

2. Случайные события.(10 часов)

2.1 Элементарные события. Сложные события. 4 часа

Определение вероятности. Теоремы о вероятности.

2.2 Условная вероятность. Формула Бейеса. 3 часа

2.3 Независимые, однородные испытания. Схема

Бернулли. 3 часа

3. Случайные величины. (10 часов)

3.1 Основные понятия. 2 часа

3.2 Числовые характеристики случайной величины. 3 часа

Свойства математического ожидания, дисперсии. 2 часа

3.3 Некоторые законы распределения. 3 часа

4.  Практикум по решению задач . (10 часов)

5.  Тесты. (10 часов)

§3. Элементы комбинаторики.

Размещения.

Определение. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов.

Рассмотрим задачу.

Задача1. Сколькими способами можно составить различные двузначные числа из четырех цифр 1,2,3,4 ?

Решение.

В этой задаче речь идет о размещениях из четырех элементов по два.

1 способ. Перебор вариантов.

Рассмотрим все такие числа :34

21

Всего таких чисел 12.

Правило суммы.

Если элемент a можно выбрать m способами, а элемент b – n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор “a или b” можно сделать m + n способами.

Правило произведения.

Если из некоторого множества А элемент ai можно выбрать КA способами, а элемент bj из множества В – КB способами, то совокупность (ai ; bj ) можно образовать КA* КB способами. Правило верно и для совокупностей, состоящих из большего, чем 2 числа элементов.

2 способ. С применением правила произведения.

Первая цифра числа выбирается 4 способами из данных цифр, а вторая цифра числа выбирается 3 способами ( из оставшихся трех цифр). По правилу произведения 4 * 3=12 ( способов).

Формула для вычисления числа размещений.

Первый элемент размещения выбирается n способами, второй элемент ( n -1) способами, …, k-ый элемент (n -(k -1)) способами, т.е. можно ввести формулу для числа вариантов

= (n –1)·(n – 2) …·(n – (k – 1))

или = , где - число размещений из n по k,

( n! читается n - факториал); n!=1*2*3*….* n ; 0!= 1 по определению;

1!= 1.

3 способ. Применение формулы для вычисления числа размещений.

= = = 3 · 4 =12 .

Задача 2. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Сколько различных вариантов нужно набрать, чтобы дозвониться, если абонент помнит, что цифры различны?

Решение:

= = 9 · 10 = 90

1.  Перестановки.

Определение. Пусть дано множество N из n объектов. Всевозможные последовательности из всех n объектов называются перестановками.

Задача 1. Сколькими способами можно рассадить n человек на n местах?

Решение:

1 способ . Перебор вариантов.

1)  n = 1. Число возможных вариантов 1.

2)  n = 2. Возможные варианты: 12 и 21 , всего их 2.

3)  n = 3. Возможные варианты: , всего их 6.

4)  n = 4 Возможные варианты: 123

113

121

132

131

112 Всего их 24.

С увеличением числа n этот способ становится очень трудоемким. Можно заметить, что перестановки являются частным случаем размещений из n элементов по n, значит

= n! т. к. == = = n!.

2 способ. Применение формулы перестановок.

= 2!=1·2=2; =3!=1·2·3=6 ; =4!=1·2·3·4=24;

3 способ. Применение правила произведения. (для n = 4)

1.  на 1 место человека можно посадить четырьмя способами : 1, 2, 3, 4

2.  на 2 место только тремя способами : пример

3.  на 3 место только двумя способами : пример

4.  на 4 место только одним способом : пример 1234

всего вариантов : 4·3·2·1=24

Задача 2. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 6 различных предметов? Решение: = 6!=1·2·3·4·5·6=720

Задача 3. Сколько различных «слов» можно составить из букв слова математика?

Решение: В слове математика 10 букв, значит перестановок будет =10! Однако буква а повторяется 3 раза, буква т –2 раза , буква м – 2 раза и их перестановки не дают новых вариантов, значит

= = =151200

Задача 4. Для дежурства по классу в течение недели ( кроме воскресения) выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит один раз? Решение: P=6!=720.

Задача 5. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр

1,2,3,4,5,6, при условии, что цифры в числе не повторяются?

Решение: Последняя цифра должна быть 5, предыдущие цифры могут быть составлены из оставшихся пяти цифр 1,2,3,4,6.

Р=5!=120 .

2.  Сочетания.

Определение. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.

Задача 1. Сколько наборов из двух книг можно скомпоновать из четырех книг?

Решение:

1 способ. Перебор вариантов.

Возможны следующие наборы ( указываются номера книг

всего 6 наборов.

Формула числа сочетаний.

Число сочетаний можно получить через число размещений, если учесть, что при вычислении числа сочетаний не считаются разными варианты, составленные из перестановок элементов внутри каждого размещения, которых имеется k! , т. е.

. = ,

Замечание. = – формула, связывающая сочетания с размещениями.

2 способ. Применение формулы для вычисления числа сочетаний. = = = 6 .

Задача 2. Сколькими способами можно составить из 14 преподавателей зкзаменационную комиссию из 7 членов?

Решение:

Задача 3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?

Решение:

Задача 4. В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Сколькими способами можно выбрать из вазы букет, состоящий из двух красных и одной белой розы?

Решение:(по правилу произведения)· = =10 · = 100.

Задача 5. В чемпионате страны по футболу ( высшая лига) участвуют 18 команд, причем каждые две команды встречаются между собой два раза. Сколько матчей играется в течение сезона?

Решение: в первом круге =153

Во втором круге =153

Всего : 153 ·2 =306 встреч.

Задачи на применение формул комбинаторики.

Задача 1. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выделить для дежурства двух человек, если: а) один из них должен быть старшим; б) старшего быть не должно?

а) = =29 · 30 =870 ; б) = =435.

Задача 2. В хирургическом отделении работают 40 врачей. Сколькими способами из них можно образовать бригаду в составе: а) хирурга и ассистента; б) хирурга и четырех его ассистентов? Решение: а) 1 способ. = = 40 · 39 = 1560 ;

2 способ. 40 · =40 · = 40 · 39 = 1560 ;

б) 40 · = 40 · = = 3290040 .

Задача 3.На плоскости даны n точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Сколько можно провести замкнутых k-звенных ломаных линий с вершинами в данных

точках? В С

 

А Д

где ( k = 4) , ABCD и DCBA - это одна и та же ломаная.

Решение: всего ломаных , но каждая ломаная встретится 2 раза, поэтому всего ломаных : .

4. Размещения и сочетания с повторениями.

Пусть даны элементы а1 , а2 , . . . , аn (а)

Определение. Размещением с повторениями из n элементов по k элементов называется всякая упорядоченная последовательность из k элементов, членами которой являются данные элементы (а). В размещении с повторениями один и тот же элемент может находиться на нескольких различных местах.

Формула для числа размещений с повторениями.

Каждый элемент может быть выбран n способами, поэтому : = ,где - обозначение размещений с повторениями.

Пример : размещения с повторениями из 4 элементов 1 , 2 , 3 и 4 по 3 ; 111 ; 112 ; 121 ; 211; и т. д.

= 4= 64.

Определение . Сочетанием с повторениями из n элементов по k элементов называется всякая последовательность из k элементов, членами которой являются элементы (а ) .

Пример: сочетания с повторениями из четырех элементов 1,2,3,4, по два

1124всего их 10)

= - формула сочетаний с повторениями.

= = = = 10.

ЗАДАЧА 1. Сколько различных двухзначных чисел можно образовать из цифр 1,2,3,4 ?

РЕШЕНИЕ: = = 16 .

ЗАДАЧА 2. Сколько различных двухзначных чисел можно образовать из цифр 1,2,3, при условии, что все цифры различны?

РЕШЕНИЕ: = = = 12 .

ЗАДАЧА 3. Автомобильные номера состоят из тех букв (всего 30 букв) и четырех цифр (используется 10 цифр) . Сколько автомобилей можно занумеровать таким способом, чтобы никакие два автомобили не имели одинаковые номера?

РЕШЕНИЕ:Это размещение с повторениями. Применим правило произведения. = = .

ЗАДАЧА 4.Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеется 4 сорта пирожных?

РЕШЕНИЕ : = = = = =120.

5 . ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК, ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ, ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ.

ЗАДАЧА 1. Упростить выражение: .

Решение: = = = = 1.

ЗАДАЧА 2. Вычислить.

а) ,

б) .

Решение : а) = = = 1 .

б) = = 7 = 56 .

ЗАДАЧА 3. Решить уравнение:

= 20 .

Решение: = 20 ; = 20 , при этом x + 1 , а x .

= 20 ; = 20 ; x= 20;

не подходит подходит

Ответ: х = 4 .

ЗАДАЧА 4 .Решить неравенство.

Решение неравенства :; ; ОДЗ:

- + - +

0 2 7 x с учетом ОДЗ:

Ответ : 3;4;5;6;7.

ОБУЧАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

Найдите: Ответ: 0 .

Решить неравенство: < 24 . Ответ : 1;2;3.

Решить систему уравнений: Ответ: (18;8).

6. БИНОМ НЬЮТОНА.

Биномом Ньютона называют формулу представляющую выражение

при целом положительном n в виде многочлена.

Знакомые формулы :

Бином Ньютона :

Можно проверить для n = 2: .

для n = 3 :.

Формулы выполняются.

Числа называются биномиальными коэффициентами.

Задача 1.

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ.

Биномиальные коэффициенты можно получить, пользуясь только сложением, следующим образом.

В верхней строке пишутся две единицы. Все следующие строки начинаются и оканчиваются единицей. Промежуточные числа получаются сложением соседних чисел вышестоящей строки.

1 1

1 2 1 n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

7 1 n = 7

28 8 1 n = 8

n = 9

152 n = 10

и т. д.

Свойства биномиальных коэффициентов.

1)коэффициенты членов ,равноудаленных от концов разложения, одинаковы.

2)сумма коэффициентов разложения (a + b)равна 2.

Например:

3) сумма коэффициентов стоящих на нечетных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на четных местах и составляет : 2.

Например: 1+ 15 + 15 + 1 = 2;

6 + 20 + 6 = 32 = 2.

Задача 1. Найти рациональные члены в разложении

Решение : 24 = 14 +10.

Рациональным является член :

Задача 2.Найдите коэффициенты при в разложении

Решение:

будет в слагаемых :

Итого : 3360 + 4320+ 405= 8085.

Ответ : 8085.

§4 . Элементы теории вероятностей.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

1. Случайные события.

Основные понятия.

Рассмотрим простой опыт, заключающийся в подбрасывании монеты. Этот опыт имеет два исхода : либо монета упадет так, что сверху окажется герб, либо она ляжет гербом вниз. Тот или иной исход опыта зависит от многих причин, которые не поддаются учету, и заранее предсказать результат опыта нельзя. Событие, состоящее в том, что ’’выпал герб’’ , является примером случайного события. Другими примерами случайных событий могут служить : появление единицы при бросании игрального кубика, выход из строя электролампы до определенного срока и т. д.

Результат некоторого опыта или наблюдения будем называть событием.

Элементарным исходом будем называть элементарное, неразложимое событие.

События называются элементарными, если они обладают свойствами:

-  взаимно исключают друг друга, и в результате опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;

-  каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло событие А

Элементарные события обычно обозначаются греческими буквами, а их совокупность - Ώ будем называть пространством элементарных событий.

Пример. При бросании игрального кубика элементарными событиями можно считать появление любого числа от 1 до 6. Очевидно, что в этом опыте всего имеется 6 элементарных событий.

2.  Алгебра событий.

Событие называется достоверным, если оно наступает в результате любого элементарного события. Обозначается достоверное событие Ώ (омега).

Пример: при бросании кубика выпадет натуральное число , меньшее 7. Это достоверное событие.

Невозможным называется событие, не наступающее ни при каком элементарном событии. Невозможное событие обозначается символом Ǿ . Пример: в опыте с кубиком выпадет отрицательное число.

Суммой двух событий А и В назовем событие А+В или (АƯВ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В.

Пример:Событие « выпало четное число» является суммой событий : выпало 2,выпало 4, выпало 6.

Очевидные соотношения :

А+ Ǿ=А ; А+ Ώ= Ώ ; А+А=А.

Произведением событий А и В назовем событие АВ или (А∩В), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и А, и В.

Пример: при бросании игрального кубика «выпало 5» является произведением событий : выпало нечетное и выпало больше трех. Очевидно соотношение:

А Ǿ= Ǿ ; А Ώ=А ; АА=А.

Два события назовем несовместимыми, если их одновременное появление в опыте невозможно, т. е. АВ= Ǿ.

ПРИМЕР: Выпало четное и нечетное число при бросании игрального кубика – события несовместимые.

Событие назовем противоположным к событию , если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие .Очевидно соотношение:

+= ; А = Ǿ ;= А.

ПРИМЕР: Выпало четное и нечетное число (при бросании одного игрального кубика) - события противоположные.

Разностью событий A и B назовем событие A\ B, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие ,но не происходит событие тогда и только тогда, когда не происходит событие В. Очевидные соотношения:

.

ПРИМЕР 1 . Производится два выстрела по цели. Пусть событие A - попадание в цель при первом выстреле, В – при втором, тогда:

– промах при первом выстреле; - промах при втором выстреле.

Пусть поражение цели событие С (когда достаточно хотя бы одного попадания) выразим через А и В.

- попадание при двух выстрелах;

– промах при первом выстреле и попадание при втором;

– попадание при первом и промах при втором. Тогда :

С= А + В + АВ.

С другой стороны :

С = - событие, противоположное двум промахам.

ПРИМЕР 2. Бросание монеты. Пусть монета подбрасывается три раза. Обозначим Г –выпадание герба при одном бросании, Р- решки. Пространство элементарных исходов состоит из 8 точек:

ГГГ ГГР ГРГ РГГ ГРР РГР РРГ РРР.

Событие А «Выпало не менее двух гербов» это : ГГГ ГГР ГРГ РГГ.

Событие В « Выпало ровно одна решка» означает : ГГР ГРГ РГГ.

3. Определения вероятности.

Классическое определение вероятности события формулируются следующим образом:

Вероятность Р( А) события А равна отношению числа возможных результатов опыта (М) ,благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов опыта (N) :

Примеры вычисления вероятности по классической формуле :

Пример 1.Подбрасывание игральной кости один раз.

Событие А – «Выпавшее число очков - четно». В этом случае N=6 – число граней куба, М= 3 – число граней с четными номерами. Тогда Р(А)= 3: 6= 0,5.

Пример 2.Подбрасывание монеты два раза.

Событие А - «Выпало ровно два герба» . В этом случае N=4 (ГГ ГР РГ РР ), М=1,т. к. А=ГГ.

Пример 3.Вытягивание шара из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара.

Событие А - «Вытянули черный шар». N= 2+3=5 ( всего шаров в урне), М=3 ( число черных шаров).

Пример 4.Набирая номер телефона абонент забыл две последние цифры. Какова вероятность того, что он с первого раза наберет эти цифры правильно, если он помнит, что они различны?

Решение: Событие А - «Две последние цифры набраны правильно».

М=1 (Один вариант верный ) .

Пример 5.В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

РЕШЕНИЕ: Обозначим событие А – «Вынули 2 белых шара».

(Всего вариантов)

(Благоприятных вариантов)

.

4.СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ.

Вероятность любого события А удовлетворяет неравенствам.

Т, к. в формуле классической вероятности .

Вероятность достоверного события равна .

Вероятность невозможного события равна Р( Ǿ )=0.

Вероятность суммы событий равна А+В равна Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) ;

Если события А и В несовместимы, то формула суммы двух событий упрощается

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

С помощью этой формулы можно найти вероятность противоположных событий:

А + = Ω , Р(А + ) = Р( Ω) , Р(А) + Р() = 1 , Р() = 1–Р(А).

События называются независимыми , если происхождение одного события не зависит от того произошло ли другое событие или нет.

При зависимых событиях А и В имеет смысл говорить об условной вероятности (Р(А|В)) событие А при условии, что событие В уже произошло.

При независимых событиях Р(А| В) =Р(А).

Вероятность произведения событий АВ выражается формулой P(AB) = P(A|B)·P(B) или Р(АВ) =Р(А В)·Р(В).

ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СВОЙСТВ ВЕРОЯТНОСТИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ.

Прибор, работающий в течении время t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независим от других, может выйти из строя в течении времени t. отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. За время t Надежность (вероятность безотказной работы) первого узла 0,9 ; второго узла 0,8 ,а третьего – 0,7. Найдите надежность прибора в целом?

РЕШЕНИЕ: А – безотказная работа прибора;

А1 – безотказная работа 1 узла ;

А2 – безотказная работа 2 узла ;

А3 - безотказная работа 3 узла ;

А= А1·А2·А3; А1,А2,А3 – независимые события.

Р(А)=р(А1·А2·А3)= Р(А1) ·Р(А2) ·Р(А3)= О,9·0,8·0,7=О,504.

Студент пришел сдавать зачет, зная из 30 вопросов только20. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на первый вопрос преподаватель задает еще один?

РЕШЕНИЕ:

А – студент сдаст зачет ;

В – студент ответил на первый вопрос ;

С – студент ответил на второй вопрос.

А = В + ·С , т. е. студент сдаст зачет, если он ответит на первый вопрос или, не ответив на первый, ответит на второй.

Р(А) = Р(В + С) = Р(В) + Р(С) – Р(ВС)

ВС = Ǿ , т. к. В и не могут выполняться одновременно, значит : Р(А) = Р(В) + Р(С);

Р(В) = ; Р(С) = Р(С |) · Р().

Р() = 1 – Р(В) = ; Р(С|) = ,т. к. осталось 29 вопросов, из них студент знает 20.

Р(А) =

3. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,8 ; а вторым 0,7. Стрелки делают по цели по одному выстрелу одновременно. Определить вероятность того, что цель будет поражена ,если стрелки стреляют не зависимо друг от друга.

РЕШЕНИЕ:

1 Способ.

А1 – цель поражена первым стрелком ;

А2 – цель поражена вторым стрелком ;

А – цель поражена.

А = А1 + А2. по правилу сложения :

Р(А) = Р(А1 + А2) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1А2) = 0,8 + 0,7 – 0,8 · 0,7 = 0,94.

2 СПОСОБ.

– цель поражена.

А = 1 * 2

Р() = Р(1· 2) = Р(1) · Р(2) = (1 – 0,8) · (1 – 0,7) = 0,06.

Р(А) = 1 – Р() = 1 – 0,06 = 0,94.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А , которое может произойти вместе с одним из событий Н1 ,Н2,Н3,…,НN, которые являются независимыми. Эти события будут называться гипотезами. В этом случае вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность событий при этой гипотезе :

Эта формула называется формула полной вероятности.

ПРИМЕРЫ: Имеются 3 одинаковые на вид урны: в первоцй урне 2 белых и 1 черный шар ; во второй урне 3 белых и 1 черный; в третьей – 2 белых и 2 черных шара. НЕКТО ВЫБИРАЕТ Некто выбирает наудачу одну из урн и выбирает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар - белый.

РЕШЕНИЕ : Рассмотрим три гипотезы :

Н1 – выбрана 1 урна;

Н2 – выбрана 2 урна ;

Н3 – выбрана 3 урна.

Р (Н1) = Р (Н2) = Р (Н3) =

Условные вероятности события А при этих гипотезах :

Р (А | Н1) = ; Р (А | Н2) = ; Р (А|Н3 ) = ;

Р (А) = .

2. Пластмассовые изделия изготавливаются на трех прессах. Первый пресс вырабатывает – 50% всех изделий , второй – 30 % и третий – 20 %.

При этом первый пресс дает 0,025 % брака, второй - 0,02 % , а третий – 0,015 %.

Найдите вероятность того, что наугад взятое со склада изделие соответствует стандарту.

РЕШЕНИЕ:

Н1 – появление изделий с 1 пресса ;

Н2 – появление изделий со 2 пресса ;

Н3 – появление изделий с 3 пресса.

А – соответствует стандарту.

.

1.  Некто вышел из бара и не может вспомнить, какая улица ведет к его дому. Он выбирает наугад один из возможных путей ( см. рисунок). Какова вероятность того, что он при этом попадет домой?

Бар

Дом

Решение: обозначим Нi – выбор дороги.

Событие D – путник добрался до дома.

7 . Формула Бейеса. |

Если событие А произошло, то можно вычислить условную вероятность того, что вместе с событием А осуществилась гипотеза Нi.

Примеры использования формулы Бейеса.

1.  На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На 1 линии производится 20% изделий от всего объема их производства, на 2 – 30% , на 3 – 50%. Каждая линия характеризуется соответственно следующими процентами брака: 5%, 2%, 3;. Наугад взятое изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что оно сделано на первой линии?

Решение:

Нi – изделие произведено на i-той линии.

А – изделие оказалось бракованным.

По формуле Бейеса:

3. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетворительно и 1 – плохою Имеется 20 вопросов, причем : отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный – на 16 , удовлетворительно подготовленный – на 10 и плохо подготовленный – на 5.

Вызванный наугад студент, ответил на три заданных ему случайным образом вопроса. Найти вероятность того, что этот студент плохо подготовлен и ему просто повезло с вопросами.

Решение:

А – случайно выбранный студент ответил на все доставшиеся ему вопросы.

Н1 – студент подготовлен отлично,

Н2 – студент подготовлен хорошо,

Н3 – студент подготовлен удовлетворительно,

Н4 – студент плохо подготовлен, .

P(A|H1) =1; P(A|H2) =

По формуле Бейеса:

8. Задача «контроля качества».

Среди K поставленных единиц товара L не удовлетворяет предъявленным условиям. Найти вероятность того, что среди k K, отобранных для выборочного контроля качества, ровно

l L не будут удовлетворять этим требованиям.

Решение: опыт заключается в случайном отборе k образцов. Следовательно, исходы этого испытания равновозможны и их общее число равно . Событие А состоит в том, что из k отобранных ровно l будут удовлетворять этим требованиям. Число исходов, благоприятствующих А, согласно правилу произведения -

здесь первый множитель дает число вариантов отбора хороших, а второй плохих образцов.

Задача1. В партии товара из 100 электрических ламп 3% бракованных. Найти вероятность

того, что в коробке из 10 ламп окажется ровно одна бракованная.

Здесь К=100; L= 100 · 0,03=3; |

К=10; l = 1.

А – ровно одна бракованная.

Задача2. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них найдется:

а) 2 белых шара;

б) меньше, чем 2 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Решение:

Всего исходов

а) число благоприятных исходов :

б) А2 – событие «среди вынутых шаров меньше, чем 2 белых»

(т. е. B1 – один белый и 3 черных или B2 – нет ни одного белого)

в) A3- среди вынутых шаров хотя бы один белый.

9. Геометрическая схема вероятности.

Рассмотрим отрезок [0;m].

Бросаем на этот отрезок точку случайным образом ( попадания в любую точку равновозможны).

Событие А – попадание точки на отрезок [ a ; b ], входящий в отрезок [ o ; m ].

Решение: P( A ) = k ( b – a ) – вероятность пропорциональна длине отрезка.

-  достоверное событие попадания на отрезок [ o ; m ],

P ( Ω ) = 1 = k ( m – o )

k = ; P (A) = · (b – a ).

Задача. Случайное событие – вероятность падения в промежуток [4 ; 5] точки, брошенной на отрезок [1 ; 9].

Аналогично для плоской фигуры.

, где S(Ω) и S(A) - площади соответствующих фигур.

Задача. В квадратном окне со стороной а есть квадратная форточка со стороной в. Во время игры мяч случайно попадает в окно. Какова вероятность, что окно при этом : а) не разобьется;

б) разобьется?

Решение:

а)

б)

10. Повторные испытания. Схема Бернулли.

Предположим, что событие А происходит в результате n независимых испытаний, притом в каждом испытании вероятность события А постоянна и равна Р. Результатом каждого испытания является либо событие А, либо событие . Последнее происходит с вероятностью q=1 – р.

Если рассматривать все n испытаний как одно испытание, то его результатом является произведение вероятностей событий А и . Здесь ввиду независимости исходных испытаний важен не порядок событий, а число повторений события А. Частоту повторения события А обозначим k, (0kn). Вероятность появления события А k раз вычисляют по формуле Бернулли: где

Задача1. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из 5 посеянных зерен взойдет не меньше 4 ?

Решение:

Задача2. Вероятность того, что образец бетона выдержит нормативную нагрузку, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 7 образцов испытания выдержат: а) ровно 5; б) не менее 5.

Решение:

а)

б)

§5. Случайные величины.

1. Основные понятия

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Число отличных отметок на экзамене, число ничейных результатов в шахматном турнире, расстояние точки падения диска от точки метания, вес наугад взятого зерна пшеницы, число избирателей, которые могут отдать свои голоса определенному политическому блоку, - примеры случайных величин, относящихся к различным областям жизни.

Случайной величиной называется переменная величина, значения которой зависят от случая. Пусть Х – случайная величина, х - действительное число. Вероятность того, что Х примет значение, меньшее, чем х, называется функцией распределения вероятностей случайной величины:

Дискретные случайные величины – это случайные величины, которые могут принимать только конечное или счетное ( бесконечное множество, все элементы которого можно занумеровать натуральными числами) множество значений.

Примеры:

- число появлений герба при трех бросаниях монеты ( возможные значения 0,1,2,3);

- число выстрелов в цель до первого попадания (возможные значения 1,2,…,N, где N - число имеющихся в наличии патронов);

- число опечаток в книге. Непрерывные случайные величины – это величины, возможные значения которых образуют некоторый конечный или бесконечный интервал.

Примеры:

- интервал между поездами метро 2 мин. Человек попадает на платформу в случайный момент времени. Время ожидания поезда ;

- длительность безаварийной работы различных машин и приборов;

- случайное отклонение при затаривании мешков сахаром;

- урожай с одной сотки.

Свойства функции распределения дискретной случайной величины:

1)  - неубывающая функция. Это следует из определения функции распределения

2) 

3) 

Пример. Абитуриент сдает два вступительных экзамена : по математике и физике. Составить закон распределения случайной величины Х, числа полученных пятерок, если вероятность получения пятерки по математике равна 0,8 , а по физике – 0,6.

Решение:

Возможные значения случайной величины Х есть 0,1,2, причем

Р(х=0) = 0,2·0,4 = 0,08,

Р(х=1) = 0,8·0,4 + 0,2·0,6 = 0,44,

Р(х=2) = 0,8·0,6 = 0,48.

х	0	1	2
р	0,08	0,44	0,48

График функции распределения.

1

0,5

 

0 1 2

2. Числовые характеристики случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х назовем сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

х	0	1	2
р	0,08	0,44	0,48

Вернемся к предыдущему примеру.

Количество пятерок из двух экзаменов вероятно 1,4.

Свойства математического ожидания.

1.  Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной. M (c) = c

Это следует из того, что случайная величина принимает единственное значение С с вероятностью 1.

2.  Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

M (cx) = c·M(x)

Это следует из того, что при умножении на С возможные значения случайной величины также умножаются на С, при сохранении соответствующих вероятностей.

3.  Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых ( приводится без обоснования).

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Для практических расчетов чаще применяют другую формулу.

Свойства дисперсии.

1 . Дисперсия постоянной равна 0.

D (c) =0

D (c) =

2.  Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

D(cx) = c

Доказательство :

3.  Дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых.

D(x + y) = D(x) + D(y).

(без обоснования)

Среднеквадратическим отклонением называют

.

Итак : математическое ожидание является тем «средним» значением вокруг которого распределены все возможные значения случайной величины. Случайные величины при одинаковом среднем могут меняться в узких пределах или в широких. Для того, чтобы охарактеризовать разброс, рассеяние случайной величины применяют дисперсию или среднеквадратическое отклонение.

Задачи. 1. Случайная величина Х задана рядом распределения:

1

2

3

4

5

Решение: p (x <2)= 0,1; p (x >4) = 0,1;

P(2) = 0,2 + 0,4 + 0,2 = 0,8;

M(x) = 1·0,1 + 2·0,2 + 3·0,4 + 4·0,2 + 5·0,1 = 3;

D(x) = 1·0,1+ 2·0,2+ 3·0,4+ 4·0,2+ 5·0,1 - 3= 1,2;

M(y) = M(2x + 2) = M(2x) + M(2) = 2·M(x) + 2 =2·3 + 2 = 8;

D(y) = D(2x + 2) = D(2x) + D(2) =4·D(x) + 0 = 4·1,2 = 4,8 .

0,1

0,2

0,4

0,2

0,1

Найти p(x < 2) , p(x >4) , p().

Найти M(x),D(x) . Вычислить M(y) , D(y) , если Y = 2x + 2.

Модой (М0) называется значение случайной величины, которое встречается чаще всего, т. е. имеет максимальную вероятность( для дискретной случайной величины).

Медианой (Ме) называется значение, которое делит область значений случайной величины на две равных по вероятности части.

3. Задачи математической статистики.

Назовем множество всех изучаемых однородных объектов генеральной совокупностью. Выборочной совокупностью или кратко, выборкой, назовем объекты, отобранные для исследования из генеральной совокупности, а их число n объемом выборки.

Назовем относительной частотой значения частоту ,где - число повторения значений в выборке объема n · назовем вариантами. Соответствие между вариантами, записанными в порядке возрастания, и относительными частотами, задаваемое таблицей статистического распределенcия выборки, называется статистическим (или эмпирическим) распределением выборки.

Формулы для вычисления медианы и моды.

1.  Медиана вариационного ряда.

2.  Медиана интервального ряда.

- начало медианного интервала, т. е. в котором содержится серединный элемент ;

k - длина медианного интервала ;

n – объем выборки ;

- сумма частот предшествующих интервалов ;

- частота медианного интервала.

3.  Мода вариационного ряда – значение , имеющее максимальную частоту.

4.  Мода интервального ряда.

1.  Мода вариационного ряда – значение, имеющее максимальную частоту.

2.  Мода интервального ряда.

, где

- начало модальнного интервала,

- длина интервала,

n i - частота модального интервала,

n i-1- частота предшествующего интервала,

n i+1 - частота последующего интервала.

Практикум по теории вероятности и математической статистики.

Задача. По данной выборке составить :

- вариационный ряд;

- вычислить относительные и накопленные часоты;

- построить полигон и гистограмму ;

- составить эмпирическую функцию распределения ;

- построить график эмпирической функции распределения ;

- вычислить числовые характеристики вариационного ряда :

(выборочное среднее)

(выборочную дисперсию)

(средне квадратическое отклонение )

(моду )

(медиану ).

Выборка :

2	4	2	4	3	3	3	2	0	6	1	2
0	2	4	3	2	2	3	3	1	3	3	3
7	4	3	4	2	3	2	3	3	1	4	3
3	6	4	1	3	2	4	1	3	1	0	0
3	2	2	4	3	3	5	1	1	1	2	3
1	4	3	1	1	4	5	3	4	2	4	5
4	6	4	7	4	1	3	-	-	-	-	-

всего 79 чисел.

			накопленная частота
0	4	0,0506	0,0506
1	13	0,1646	0,2152
2	14	0,1772	0,3948
3	24	0,3038	0,6962
4	16	0,2025	0,8987
5	3	0,0380	0,9367
6	3	0,0380	0,9747
7	2	0,0225	1,000

79 1,000 -