Матриці та визначники

Матриці та визначники

Розглянемо множину чисел aij, при кожному з яких стоять букви i та j, які називаються індексами (i – першим, j – другим). i = 1,m, j = 1,n. Тоді множину {aij} можна записати {aij}={a11, a12,..., a1n, a21, a22,..., a2n,..., am1, am2,..., amn}.

Елемени цієї множини розташуємо у вигляді прямокутної таблиці:

А =

a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n .................... am1 am2... amn

, яка

називається матрицею розміром mxn, число aij – елементом матриці, i – індексом рядка, j – індексом стовпчика; впорядкована сукупність елементів ai1 ai2 ... ain – i-им рядком матриці, a1j a2j... amj – j-им стовпчиком, тощо.

Якщо m=n, то матриця називається квадратною, а кількість рядків (або стовпців) – її порядком.

Дві матриці, що мають однакову кількість рядків і стовпців, називаються матрицями одного типу.

Дві матриці A(aij) =, B = (bij) однакового типу називаються рівними, якщо aij = bij при усіх i та j.

Елементи квадратної матриці, які мають однакові значення індексів, складають головну діагональ, а елементи квадратної матриці порядку n, сума індексів кожного з яких дорівнює n + 1 – побічну діагональ.

Сума елементів головної діагоналі квадратої матриці називається слідом матриці.

Квадратні матриці, у яких всі елементи поза головною діагоналлю рівні нулю, називаються діагональними.

Діагональна матриця, елементи aij якої дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею (Е).

Квадратна матриця, всі елементи якої, що стоять нижче (вище) головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається трикутною.

Перетворення елементів квадратної матриці, що полягає в заміні рядків відповідними стовпцями, називається транспонуванням матриці.

Транспоновану матрицю до матриці А будемо позначати Ат.

Операції над матрицями - додавання, віднімання, множення матриці на число, множення матриць.

Сумою (різницею) двох матриць А і В однакових розмірів називається матриця того ж розміру елементи якої дорівнюють сумам (різницям) відповідних елементів матриць А і В; отже якщо:

А = (aij); В = (bij); А + В = (aij ± bij).

Операція знаходження добутку матриці на число називається множенням матриці на число.

Добутком матриці А = (aij) на число λ називається матриця, елементи якої одержуються з відповідних елементів матриці А множенням їх на число λ.

Отже, якщо А = (aij), то λА = (λ aij).

Добуток А×В матриці на матрицю В визначається тільки в тому випадку, коли кількість стовпчиків матриці А дорівнює кількості рядків матриці В

Нехай А = (aij) mхn; В = (bij) nхj, тоді матриця С = А×В = (сij), де

сij = ai1× bi1 + ai2 × bi2 + .... + ain × bnj = iλbλj

Операція знаходження добутку двох матриць називається множення матриць.

Розглянемо квадратну матрицю другого порядку

А =

а11 а12 а21 а22

і поставимо у відповідність до неї число В = а11 * а22 - а12 * а21.

Це число називається визначником матриці другого порядку, або визначником другого порядку.

Якщо матриця А - третього порядку, тобто

А =	а11 а12 а13 а21 а22 а23 а31 а32 а33

, то

їй у відповідність ставиться число D, що дорівнює :

D = а11 а22 а33 + а21 а32 а13 + а12 а23 а31 - а13 а22 а31 - а12 а21 а33 – а23 а32 а11, яке називається визначником третього порядку.

Визначник другого порядку містить 2! членів, які є добутками двох елементів матриці, взятих по одному з кожного рядка і стовпчика матриці другого порядку.

Визначник третього порядку містить 3! = 6 членів, які є добутками трьох елементів з різних рядків і стовпчиків матриці третього порядку, взятих по одному.

Знак члена визначника визначається парністю підстановки із індексів його елементів.

Підстановкою з n елементів називається взаємно-однозначне відображення скінченої множини М із n елементів на себе.

Кількість різних підстановок із n елементів дорівнює n!

Підстановка називається парною, якщо в ній парне число інверсій і непарною – в противному випадку.

Два елементи і та j утворюють інверсію, якщо і > j, але істоїть перед j.

Узагальнюючи поняття матриці n-го порядку, сформулюємо означення визначника n-го порядку.

Означення. Визначником n-го порядку називається алгебраїчна сума n! членів, кожний з яких є добутком n елементів матриці А, взятих по одному з кожного рядка і стовпчика; член визначника береться зі знаком „+”, якщо підстановка з індексів його елементів парна, і зі знаком „-”, якщо ця підстановка непарна.

Властивості визначника.

1.  При транспонуванні матриці її визначник не змінюється.

2.  Якщо всі елементи деякого рядка визначника є нулі, то визначник дорівнює нулю.

3.  Від перестановки двох рядків визначник змінює знак.

4.  Визначник з двома однаковими рядками дорівнює нулю.

5.  Спільний множник усіх елементів деякого рядка визначника можна винести за знак визначника.

6.  Визначник з двома пропорційними рядками дорівнює нулю.

7.  Якщо всі елементи і-ого рядка визначника є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких усі рядки, крім і-ого тіж, що і у данного визначника, і-ий рядок другого – з других доданків елементів і-ого рядка.

8.  Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка додати відповідні елементи другого рядка, помножені на одне і те ж число.

Нехай |A| - визначник n-ого порядку. Викреслимо в ньому будь-який рядок і будь-який стовпчик (наприклад, і-ий рядок і j-ий стовпчик). Визначник, що залишився, має (n-1)-ий порядок. Він називається мінором елемента aij визначника n –ого порядку, позначається Мij. Величина, Аij=(-1)і+jМij називається алгебраїчним доповненням елемента. аij

Теорема 1. Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

|A|=∆=aikAik+arkArk+...+ankAnk.

Теорема 2. Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів другого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Формули розкладу визначника за елементами рядка (стовпця) дають можливість звести обчислення визначника n –ого порядку до обчислення n визначників (n-1)-х порядків, тобто знизити порядок визначника на одиницю. Задача обчислення визначника спрощується при наявності в його рядках(стовпчиках) нулів. Цього можна досягти, використавши властивості визначника.

Лінійні системи з двома і трьома невідомими можна розв’язувати за допомогою визначників другого та третього порядків.

Розв’язати систему лінійних рівнянь означає:

1.  дослідити її на сумісність;

2.  визначити кількість розв’язків;

3.  знайти ці розв’язки.

Формули Крамера:

, де

∆ - основний визначник системи лінійних рівнянь, складений із коефіцієнтів при невідомих.

∆хі – визначник, який одержується із основного визначника, заміною і –ого стовпчика стовпчиком із вільних членів системи рівнянь.

Нехай А – квадратна матриця ∆=|A| - її визначник.

Якщо існує матриця Х така, що АХ=ХА=Е – де Е – одинична матриця, то матриця Х називається оберненою до матриці А, а сама матриця А – оборотною. Для кожної оборотної матриці існує тільки одна обернена

Обернена матриця позначається А-1. Матриця А має обернену матрицю А-1 тоді і тільки тоді, коли визначник матриці А відмінний від нуля. Нехай
А= (аij); |аij|≠0; Аij – алгебраїчне доповнення елемента аij, i, j=1, n.

Матриця

А* =

А11 А21 ... А n 1 А12 А22 ... А n 2 .................... А1n А2n... Аnn

Називається приєднаною до матриці А.

Обернена матриця .

Розглянемо прямокутну матрицю А

А =

a11...a1n a21...a2n .................... am1...amn

mxn

Виділимо в ній k рядків і таку ж кількість стовпчиків. Елементи матриці А, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, утворюють квадратну матрицю k –ого порядку. Визначник цієї матриці називається мінором k –ого порядку матриці А. Якщо не всі числа аij матриці А дорівнюють нулю, то завжди можна вказати число r таке, що у матриці А знайдеться мінор r–ого порядку, відмінний від нуля, а будь який мінор (r+1) - ого пордку та вище, дорівнює нулю. Тоді число r, що має відмічену властивість, називається rang А.

Відмінний від нуля мінор r–ого порядку матриці А (таких мінорів у матриці А може бути декілька, але всі вони мають один і той-же порядок r) називається базисним мінором матриці А. Рядки і стовпчики, з яких побудований базисний мінор, називається базисними.

Теорема. Будь-який рядок матриці А є лінійною комбінацією її базисних рядків.

Ранг матриці не змініться, якщо до неї приписати рядок, який є лінійною комбінацією рядків матриці.

Ранг матриці не зміниться, якщо викреслити з неї рядок, який є лінійною комбінацією інших рядків матриці.

До елементарних перетворень матриці відносяться наступні:

1.  перестановка місцями двох рядків матриці;

2.  додавання до елементів одного з рядків відповідних елементів іншого рядка, помножених на будь-яке число

3.  викреслювання рядка, що складається з нулів.

Елементарні перетворення не змінюють ранга матриці.

Знаходження рангу матриці.

1.  Обчислюючи ранг матриці, зручніше переходити від мінорів менших порядків до мінорів вищих порядків.

Якщо знайдено мінор r-ого порядку, відмінний від нуля, то на наступному кроці треба обчислювати мінори (r+1)-ого порядку, що оточують попередній мінор.

Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює r.

2.  Другим простим способом обчислення рангу матриці є метод Гаусса, заснований на елементарних перетвореннях, що виконуються над матрицею.

3.  Шляхом елементарних перетворень приводимо матрицю А до виду:

B =

b11 b12 ... b1n 0 b22 ... b2n .................... 0 0... bmn

В якому всі діагональні елементи b11 b12 ... bіn відмінні від нуля, а елементи інших рядків розташовані нижче діагональних, дорівнюють нулю. Оскільки ранг не змінюється при елементарних перетвореннях, маємо rang А = rang В.

Література:

1.  , "Алгебра и геометрия". – М., Высш. шк., 1989.

2.  "Алгебра и теория чисел". – М., Высш. шк., 1979.

3.  Колесник – Х. ХГПИ, 1992.