Олимпиадные задачи по модели КПВ

Олимпиадные задачи по модели КПВ

1. Разъединение КПВ

В стране Z есть две области, и КПВ каждой из них в производстве апельсинов и грейпфрутов линейна. Известно, что если в стране будет производиться 20 единиц апельсинов, то оставшиеся ресурсы можно будет потратить на производство максимум 50-и единиц грейпфрутов, причем 10 из них должна будет произвести первая область. Если же в стране будет производиться 20 единиц грейпфрутов, то можно будет максимально произвести 40 единиц апельсинов, причем одна из областей должна будет произвести 30 из них. Постройте КПВ каждой из областей.

Решение

Рис.1

Так как по условию КПВ каждой области линейная функция, то общая КПВ будет иметь вид, показанный на рисунке 1. Первая область имеет преимущество в производстве апельсинов, а вторая - в производстве грейпфрутов. С – точка полной специализации: отражает ситуацию, когда первая область производит только грейпфруты в объеме Y, а вторая – только апельсины, в объеме Х, рис.2

 

Рис.2

При А=20 грейпфруты производят обе области, (так как по условию задачи 10 ед грейпфрутов производит первая область) значит точка (50;20) будет лежать на участке СD.

Тогда вторая область полностью использует свои ресурсы на производство Х единиц грейпфрутов, а первая область произведет 10 ед. или (50-Х), тогда 50-Х=10 или Х=40 ед. грейпфрутов.

Аналогично, при количестве грейпфрутов, равном 20, апельсины производят также обе области, поэтому точка (20: 40) должна лежать на отрезке ВС.

При количестве грейпфрутов, равном 20, одна их областей производит Y, а другая – (40 – Y) единиц апельсинов. Так как по условию сказано, что одна из областей должна произвести 30 из 40, следовательно, первая область использует все свои возможности, произведя Y=30 ед. апельсинов, а на долю второй области достанется производство 10 ед, рис.3.

При этом, ;

 

Рис.3

Теперь легко определить уравнение КПВ каждой из областей (каждая из этих КПВ является отрезком прямой, на котором нам известны координаты двух точек): КПВ первой области будет задаваться уравнением А=30- G, а КПВ второй области - уравнением А= 20-0,5G.

Ответ:

КПВ первой области: А = 30-G; КПВ второй области: А = 20–0,5G.

2. Крокодилы, кокосы и КПВ

Робинзон и Пятница собирают кокосы и ловят крокодилов, причем альтернативные издержки ловли одного крокодила для каждого из них постоянны. Максимально возможные количества собранных ими вместе кокосов и пойманных ими вместе крокодилов одинаковы и равны 100. За 27 лет на острове сложилось эффективное разделение труда: Робинзон ловит максимально возможное для себя количество крокодилов, а Пятница собирает максимально возможное для себя число кокосов. Однако известно, что если они захотят увеличить количество собираемых ими кокосов на 30%, то им придется отказаться от 70% крокодилов. С другой стороны, для того, чтобы поймать на 30% больше крокодилов, им придется пожертвовать 45% кокосов. Каковы альтернативные издержки ловли одного крокодила для Робинзона и Пятницы соответственно?

Решение:

КПВ Робинзона и Пятницы имеют вид (см. рис.4). Если Робинзон будет специализироваться на ловле крокодилов (по условию задачи), то он поймает их в количестве Х, тогда, если Пятница будет ловить только крокодилов, то он поймает их в количестве (100-Х), аналогично, если Пятница только собирает кокосы, то он соберет их в количестве Y, а Робинзон - в количестве 100-Y.

Рис.4

При этом: . .

Точка С(X;Y) на совместной КПВ (рис.5), в которой первоначально по условию задачи находится экономика, это точка полной специализации. Если произойдет увеличение количества собираемых кокосов на 30% за счет сокращения пойманных крокодилов на 70%, то:

Если они захотят поймать больше крокодилов, то им придется пожертвовать 45% кокосов, тогда:

.

Крокодилы

Рис.5

Определим значения Х и Y, решив уравнения:

. .

Определим альтернативные издержки ловли одного крокодила

a) для Робинзона:

б) для Пятницы:

.

.

Ответ: Для Робинзона -0,5; для Пятницы -1,75.

3. Некоторая страна производит только два товара – G и W. Соответствующая КПВ описывается уравнением: . (количества G и Y могут выражаться не только целыми числами). После вступления в ВТО (Всемирную Торговую Организацию) страна открылась мировому рынку, на котором 1W оценивается в 4G; при этом на мировом рынке можно обменять как любое количество W на G, так и любое количество G на W.

Найдите множество комбинаций (W;G), которые теперь могут быть потреблены в стране. Изобразите это множество на плоскости и найдите уравнение его границы (эта граница иногда называется кривой торговых возможностей). С наступлением эпохи войн и политической нестабильности ВТО вводит против страны санкцию, согласно которой импорт W в страну не может превышать 9 единиц. Как изменится в результате этой меры кривая торговых возможностей страны?

Решение:

Страна выбирает:

Какую точку ей выбрать на (или под) своей КПВ (сколько товаров произвести); Сколько и какого произведенного товара обменять на другой товар на мировом рынке.

КПВ страны имеет вид (см. рис). Если страна получает неограниченные возможности обмена в пропорции 1W на 4G, то она может произвести некоторое количество G и W и поменять их на c с выгодой для себя на мировом рынке в указанной пропорции. Тогда максимальное количество доступных для потребления наборов будет находиться в области, ограниченной касательной, проходящей через точку А на КПВ, координаты которой cоответствуют пропорции обмена X=(-4Y). Определим координаты точки касания. По условию в точке касания X=(-4Y). Тогда: . . Следовательно W=2, G=96.

Пусть уравнение касательной будет иметь вид: , где a=-4. 96= -8+b. b=104.

Тогда G=-4W+104. Если в стране будет произведено 2 единицы товара W, то его можно обменять на 8 единиц товара G, увеличив потребление до 104 ед, если произведенные 96 ед. товара G поменять на 24 ед. товара W, то его максимальное потребление вырастет до 26 единиц. Итоговое множество доступных для потребления наборов на рисунке заштриховано.

А(Х;Y)

Рис. 6

Определим, как изменится кривая торговых возможностей страны в результате введения ВТО санкции?

Количество возможного производства G, исходя из КПВ: . По мировой цене мы сможем получить W в количестве: , но его количество W за счет внешней торговли ограниченно 9 единицами.

То есть: или . Если страна хочет получить 9 дополнительных единиц W, то она может это сделать за счет обмена их на 36 G, произведенных в своей стране.

Общее количество товара W, которое может получить страна в этих условиях, определяется функцией: (где первое слагаемое количество товара W, полученное за счет торговли, а w – за счет собственного производства). Нам необходимо исследовать поведение функции Х на интервале .;.

На промежутке (0;2) функция Х возрастает. Максимум функции будет достигаться при , т. е. за счет внутреннего производства, а от 2 до + бесконечности функция убывает, поэтому с учетом условия максимум убывающей функции будет в точке . Тогда максимально возможное количество товара W, полученное страной, составит 17 единиц: =17, причем 9 ед., получено за счет продажи 36 ед G. Новое множество доступных комбинаций будет иметь следующий вид, рис 7.

Рис. 7

Функция новой КТВ будет выглядеть следующим образом:

4. Мустафа и глиняные горшочки.

Мустафа нашел на чердаке дома своей иранской бабушки глиняные фигурки - 100 птичек и 60 человечков, а также очень большой запас разных красок. Через месяц он уезжает от бабушки и хочет до отъезда заняться раскрашиванием фигурок.

Для того чтобы раскрасить птичку ему нужно всего 1 час, а человечка - 2 часа. На местном рынке нераскрашенные фигурки птичек продаются по 20 ден. ед., а вот фигурки человечков не продаются, потому что изображения людей в Иране запрещены. Но Мустафа смог найти контрабандиста, который готов скупить любое количество нераскрашенных глиняных человечков по 60 ден. ед. за штуку. Своих денег у Мустафы, конечно, нет.

Постройте КПВ Мустафы в координатах раскрашенных птичек и человечков, если на разрисовывание у него есть всего 250 часов. Содержательно объясните построение КПВ.

Пусть по оси Х (оси абсцисс) будет откладываться количество раскрашенных человечков, а по оси Y (оси ординат) – количество раскрашенных птичек.

Решение

Рассмотрим ограничения, которые формируют КПВ.

1) Ограничение по ресурсу – нераскрашенные человечки (Х = 60).

У Мустафы всего 60 нераскрашенных человечков, купить их на рынке нельзя, поэтому максимально он может изготовить только 60 раскрашенных человечков. Сколько бы при этом Мустафа не изготовил птичек – количество человечков будет меньше 60. От точки (0,60) вверх идет прямая линия до точки (60, 100).

Для раскрашивания набора (60,100) Мустафе потребуется: (60∙2 + 100∙1) = 220 часов. В лимит времени -250 часов он укладывается.

2) Если бы у Мустафы не было ограничения по времени, то он смог бы поменять 60 нераскрашенных человечков через куплю - продажу на 180 дополнительных птичек (продав одного человечка, он сможет купить 3 птички). Тогда максимальное количество птичек достигло бы 280. Ограничение по ресурсу – нераскрашенные фигурки с учетом возможности их замены через куплю-продажу на рынке: Y = 280 – 3X, где Х≤60.

3) Однако, из-за лимита времени в 250 часов, если он весь месяц будет заниматься только раскраской птичек, то сможет раскрасить 250 птичек. Увеличивая на единицу количество раскрашиваемых фигурок, он снижает количество нераскрашенных птичек на 2. (альтернативные издержки раскраски одного человечка равны 2 птичкам), поэтому ограничение по ресурсу времени Y=250-2Х. Второе и третье ограничение определяют вид КПВ. Сначала действует ограничение по времени, а затем ограничение по ресурсу с учетом возможности замены нераскрашенных фигурок на птичек. Переход с одного ограничения на другое определим из равенства 250-2Х=280-3Х, X=30. Y=190. На рис. 8, красным цветом обозначена окончательная КПВ.

Рис. 8