« Необходимые и достаточные условия оптимизации функции одной переменной»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет»

Факультет информационных систем и технологий

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

Пояснительная записка

к КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ на тему

« Необходимые и достаточные условия оптимизации функции одной переменной»

по дисциплине

ИСТ в Образовании

СТУДЕНТКИ ГИП-105

Самара 2008 г.

Оглавление

Оглавление. 2

Введение. 3

Их использование позволяет: 3

1 Текст изучаемого раздела. 5

2 Конспект лекции для автора курсового проекта как для. 8

Преподавателя. 8

3 Презентация для лекции. 11

4 Сценарий имитационного или мультимедиа-компонента учебного 15

назначения. 15

5 Тест для проверки знаний студента. 18

6 Заключение. 18

7 Оформление отчета. 19

Библиографический список. 20

Введение

Информационное общество кардинальным образом изменяет образовательную систему. Обучение все более приобретает дистанционный характер и распространяется в различных формах на всю жизнь человека. Даже в рамках традиционного очного обучения его технология существенно изменяется. Все большее значение начинает приобретать так называемое смешанное обучение, гибко сочетающее преимущества очной и дистанционной формы. Как указывают разработчики одной из наиболее развитых отечественных систем дистанционного обучения «Прометей» (Московский университет экономики, статистики и информатики), суть смешанной формы заключается в том, что образовательные Интернет-технологии используются в качестве поддержки традиционного очного образования. Студенты получают доступ к системе дистанционного обучения (СДО) университета, в которой находится весь учебный материал, встроена система тестирования, есть доступ к различным онлайн библиотекам и источникам. В смешанной форме обучения часть занятий может проводиться онлайн, некоторые контрольные мероприятия могут проводиться онлайн, а также могут использоваться возможности СДО для групповых коммуникаций при выполнении различных заданий, исследований и групповых проектов.

Их использование позволяет:

 оживляет материал и позволяет студенту «общаться» с ним;

 даёт больше интерактивности и стимулирует активное обучение;

 наглядно демонстрирует некоторые идеи, которые трудно объяснить на лекциях или просто в тексте;

 позволяет заглянуть внутрь изучаемых процессов посредством различных симуляций;

 развивает навыки самостоятельного обучения и самоконтроля ;

 позволяет студентам попробовать невозможные, опасные или дорогие сценарии и ситуации, такие как параллельные миры, радиационное оборудование и прочее.

Специалист по направлению «Информационные системы и технологии» должен уметь разрабатывать электронные обучающие модули различного назначения. Это вызвано тем, что где бы он ни трудился, ему предстоит непрерывно осваивать новые информационные системы и технологии и обеспечивать их применение сотрудниками соответствующих организаций, а это потребует их обучения. Если он сумеет организовать обучение наиболее эффективно, с использованием информационных технологий, это обязательно будет высоко оценено его начальством и скажется на карьерном росте.

Данная работа должна включать следующие разделы:

текст изучаемого раздела для включения в методическое пособие для студентов;

Этот компонент должен содержать изложение учебного материала в виде печатного текста как в обычном типографском учебнике, допускающем цветные иллюстрации. Ясно, что легко было бы включить в него гипертекст, анимации, проверку усвоения материала, однако опыт показал, что все эти средства, как ни странно, на практике не приводят к повышению эффективности обучения на этапе первоначального изучения материала.

1)  конспект лекции для автора курсового проекта как для преподавателя;

Лектор не должен ограничиться лишь сообщением потоку учебного материала. Его задача – добиться, чтобы как можно большее число студентов, по крайней мере, наиболее сильные из них, почти полностью освоили материал. Следовательно, нужно включить в свою лекцию весь арсенал разработанных электронных обучающих ресурсов.

2)  презентацию для лекции;

Все студенты хорошо умеют создавать презентации, однако не все созданные ими презентации являются хорошими, т. е. в наибольшей степень способствуют достижению цели, для которой создаются. Разрабатывая презентацию для лекции, целесообразно придерживаться следующих рекомендаций.

3)  сценарий имитационного или мультимедиа-компонента учебного назначения для использования на лекции, или в лабораторной работе, или при самостоятельном изучении материала студентом и имитационный или мультимедиа-компонент учебного назначения с применением математического моделирования, графики, мультимедиа и т. п.;

Важнейшим и наиболее трудоемким компонентом электронного обучающего модуля является компьютерная программа, которая использует возможности программирования для повышения уровня усвоения обучаемым наиболее сложных элементов учебного материала. Для нее нужно выбрать наиболее сложную для понимания часть учебного материала и предусмотреть возможность многократного использования программы: на лекции, при самостоятельной работе студента, хорошо бы еще и в лабораторной работе.

1 Текст изучаемого раздела

Аналитические методы оптимизации функции.

Необходимые и достаточные условия оптимальности

Цель аналитических методов оптимизации – не обязательно решить задачу оптимизации до конца (т. е. найти элемент минимума и минимальное значение функции), но записать систему условий, которая дала бы столько уравнений, сколько нужно, чтобы найти и f(). Решение же этой системы уже является задачей вычислительной математики.

Условия бывают необходимыми и достаточными.

Условие А называется необходимым условием явления Б, если невыполнение условия влечет за собой отсутствие явления, или иначе: если существование явления влечет за собой наличие условия.

Условие А называется достаточным условием явления Б, если выполнение условия влечет за собой существование явления, или иначе: отсутствие явления влечет невыполнение условия.

Например, непрерывность функции есть необходимое условие ее дифференцируемости, а дифференцируемость – достаточное условие непрерывности.

Решение задачи оптимизации нужно проводить, используя совместно и необходимые и достаточные условия. Одно лишь необходимое условие, выполняясь для некоторого элемента, не позволяет утверждать, что именно он является искомым. Достаточное же условие вообще может не выполняться для искомого элемента (конечно, оно не будет тогда выполняться ни для какого другого, если элемент минимума единственный); в этом случае найти решение с его помощью невозможно.

Почти все условия, которые будем рассматривать при решении конкретных задач оптимизации, основаны на следующих двух Леммах.

Лемма о необходимом условии оптимальности.

Если - элемент минимума f(x) на X и DX – любое содержащее элемент подмножество X, то x есть элемент минимума f(x) на D.

Доказательство. Пусть Лемма неверна, тогда такой, что f(x1), но DX, значит, x1, т. е. 1 такой, что f(x1), а это противоречит определению элемента минимума f(x) на X.

Элемент называется элементом относительного минимума f(x) на X, если существует такая принадлежащая X окрестность D элемента , что

f()

Следствие из Леммы о необходимом условии оптимальности.

Для того, чтобы элемент был элементом минимума f(x) на X, необходимо, чтобы он был элементом относительного минимума.

Следствие позволяет искать элемент минимума, исследуя поведение f(x) в некоторой окрестности , которую можно выбрать достаточно малой, а тогда анализ функции упрощается (можно раскладывать в ряд Тейлора, опускать бесконечно малые высших порядков и пр.).

Лемма Кротова о достаточном условии оптимальности.

Пусть N – некоторое множество, включающее в себя X, XN а F(x) - определенная на N такая функция, что

F(x) = f(x);

Если элемент минимума F(x) на N принадлежит X, то он является и элементом минимума f(x) на X (рис.1), или иначе: для того чтобы X был элементом минимума f(x) на X, достаточно, чтобы X был элементом минимума F(x) на N.

Рисунок 1

Доказательство. По условию Леммы, - элемент минимума F(x) на Т, т. е.

F(),

Но XN, значит,

F().

Однако

F(x)= f(x),

поэтому

F(),

а это совпадает с определением минимума f(x) на X.

Лемма позволяет решать задачу оптимизации на более широком множестве, чем исходное, а это часто бывает значительно проще (например, можно отказаться от ряда ограничений, описывающих множество допустимых решений).

Приступая к решению конкретных задач оптимизации, еще раз отметим некоторые общие замечания.

1.  При решении задачи минимизации нужно иметь в виду, что определение элемента максимума всегда можно свести к задаче о минимуме, изменив знак перед f(x).

2.  Разрабатывая методы оптимизации, начинают исследования со случаев, отвечающих наиболее простой структуре множества X, выделяя элементы относительного минимума. Если все такие элементы найдены, то элемент минимума f(x) на X (если он существует) находится среди них, и его можно найти, определяя наименьшее из значений функции на элементах относительного минимума.

3.  Задачи с наиболее сложной структурой множества X будем сводить к задаче с простой структурой X.

4.  Выполнение для некоторого элемента необходимых условий минимума означает лишь, что он может быть элементом минимума (а может и не быть!). Для окончательного решения вопроса нужно, чтобы выполнялись достаточные условия (или были проведены специальные рассуждения). Например: « Известно, что в задаче существует элемент минимума. Необходимым условиям удовлетворяет лишь один элемент, т. е. только он может быть элементом минимума. Следовательно, он и является таковым».

5.  Невыполнение для некоторого элемента X достаточных условий минимума совсем не означает, что он не является элементом минимума.

2 Конспект лекции для автора курсового проекта как для

Преподавателя

Аналитические методы оптимизации функции.

Необходимые и достаточные условия оптимальности

Цель аналитических методов оптимизации – не решить задачу оптимизации до конца, но записать систему условий, которая дала бы столько уравнений, сколько нужно, чтобы найти и f().

Условия бывают необходимыми и достаточными.

Условие А называется необходимым условием явления Б, если невыполнение условия влечет за собой отсутствие явления, или иначе: если существование явления влечет за собой наличие условия.

Условие А называется достаточным условием явления Б, если выполнение условия влечет за собой существование явления, или иначе: отсутствие явления влечет невыполнение условия.

Решение задачи оптимизации нужно проводить, используя совместно и необходимые и достаточные условия. Необходимое условие - не позволяет утверждать, что именно он является искомым. Достаточное условие может не выполняться для искомого элемента.

Почти все условия, основаны на следующих двух Леммах.

Лемма о необходимом условии оптимальности.

Если - элемент минимума f(x) на X и DX – любое содержащее элемент подмножество X, то x есть элемент минимума f(x) на D.

Доказательство. Пусть Лемма неверна, тогда такой, что f(x1), но DX, значит, x1, т. е. 1 такой, что f(x1), а это противоречит определению элемента минимума f(x) на X.

Элемент называется элементом относительного минимума f(x) на X, если существует такая принадлежащая X окрестность D элемента , что

f()

Следствие из Леммы о необходимом условии оптимальности.

Для того, чтобы элемент был элементом минимума f(x) на X, необходимо, чтобы он был элементом относительного минимума.

Следствие позволяет искать элемент минимума, исследуя поведение f(x) в некоторой окрестности , которую можно выбрать достаточно малой, а тогда анализ функции упрощается (можно раскладывать в ряд Тейлора, опускать бесконечно малые высших порядков и пр.).

Лемма Кротова о достаточном условии оптимальности.

Пусть N – некоторое множество, включающее в себя X, XN а F(x) - определенная на N такая функция, что

F(x) = f(x);

Если элемент минимума F(x) на N принадлежит X, то он является и элементом минимума f(x) на X (рис.1), или иначе: для того чтобы X был элементом минимума f(x) на X, достаточно, чтобы X был элементом минимума F(x) на N.

Рисунок 1

Доказательство. По условию Леммы, - элемент минимума F(x) на Т, т. е.

F(),

Но XN, значит,

F().

Однако

F(x)= f(x),

поэтому

F(),

а это совпадает с определением минимума f(x) на X.

Лемма позволяет решать задачу оптимизации на более широком множестве, чем исходное, а это часто бывает значительно проще.

Общие замечания.

1.  При решении задачи минимизации нужно иметь в виду, что определение элемента максимума всегда можно свести к задаче о минимуме, изменив знак перед f(x).

2.  Разрабатывая методы оптимизации, начинают исследования со случаев, отвечающих наиболее простой структуре множества X, выделяя элементы относительного минимума.

3.  Задачи с наиболее сложной структурой множества X будем сводить к задаче с простой структурой X.

4.  Выполнение для некоторого элемента необходимых условий минимума означает лишь, что он может быть элементом минимума (а может и не быть!).

5.  Невыполнение для некоторого элемента X достаточных условий минимума совсем не означает, что он не является элементом минимума.

3 Презентация для лекции

Для наилучшего усвоения была составлена презентация материала

Рисунок 1 – Тема лекции

Рисунок 2,3 – Необходимые и достаточные условия оптимальности

Рисунок 4 – Лемма о необходимом условии оптимальности

Рисунок 5 – Лемма Кротова

Рисунок 6 – Доказательство Леммы Кротова

Рисунок 7 - Замечания

4 Сценарий имитационного или мультимедиа-компонента учебного

назначения.

Для решения поставленной задачи, - представления обучающего модуля студентам и максимального восприятия рассказанной тематики, нужно разработать программный продукт, позволяющий наиболее лучшим образом усвоить предоставленный материал.

Рассматривая все возможные варианты решения поставленной задачи, мною было установлено, что наилучшее усвоение материала, его закрепления можно достичь, используя Программу.

Выполнение работы велось по этапам.

Шаг1: Разработка сценария

Шаг2: Постановка задачи

Шаг3: Выбор среды написания

Шаг4: Формализация задачи

Шаг5: Написание программы

Шаг6: Отладка

Шаг7: Сдача

Рисунок 8 – Программная реализация оптимизации функции одной переменной

Рисунок 9 – Ввод данных

Рисунок 10 – Расчет

5 Тест для проверки знаний студента

1.  Необходимые условия оптимальности?

2.  Достаточные условия оптимальности?

3.  Найти F’min для функции F = X12+X22 (правильный ответ:4);

4.  Найти F’min для функции F = 3X13-X1+X23-3X22-1 (правильный ответ: -5,2);

5.  Найти F’min для функции F = X13+X23 (правильный ответ:0);

6 Заключение

Разработка электронного обучающего модуля является очень трудоемкой, но в то же время очень важной и востребованной деятельностью.

В наше время обучение все более приобретает дистанционный характер. Для того чтобы дистанционной обучение могло функционировать в полной мере, необходимо огромное количество обработанных с помощью специалистов в области информационных систем и технологий материалов.

Поэтому специалист по направлению «Информационные системы и технологии» должен уметь разрабатывать электронные обучающие модули различного назначения. Это также вызвано и тем, что где бы он ни трудился, ему предстоит непрерывно осваивать новые информационные системы и технологии и обеспечивать их применение сотрудниками соответствующих организаций, а это потребует их обучения. Если он сумеет организовать обучение наиболее эффективно, с использованием информационных технологий, это обязательно будет высоко оценено его начальством и скажется на карьерном росте.

7 Оформление отчета

Отчет по данному курсовому проекту был создан в двух вариантах: единым документом и совокупностью разделов по заданной теме.

Была сделана презентация, содержащая всю информацию по теме «Необходимые и достаточные условия функции одной переменной» с выводом и краткой исторической справкой.

Было сделано:

1. Презентация по теме;

2. Составлен конспект лекций для преподавателя;

3. Написан мультимедиа-компонента учебного назначения;

4. Составлен тест для проверки знаний.

Библиографический список

1.  Малугин для экономистов. Математический анализ. 2005г.

2.  МУ к КП по МОиПР 2007 год.

3.  «Методы Оптимизации и Оптимального Управления», учебное пособие, Самара 2005