Оценивание состояния и внешних возмущений в дискретно-непрерывных системах

УДК 517.91

ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЯ И ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
В ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ

, ,

Рассматривается задача оценивания вектора состояния и неизвестных ограниченных внешних возмущений для дискретно-непрерывных систем управления по измеряемому выходу при наличии помех измерений. Приводится способ построения наблюдающего устройства с использованием неявной модели внешних возмущений.

Ключевые слова: оценивание вектора состояния и неизвестных внешних возмущений, наблюдающее устройство.

Во многих задачах управления требуется проводить оценку вектора состояния системы и внешних воздействий. Внешними воздействиями являются возмущения и помехи измерений, которые можно подразделить на регулярные и нерегулярные и случайные воздействия. Регулярные воздействия с заданной точностью представляются в виде решения однородных дифференциальных уравнений при неопределенных начальных условиях, нерегулярные воздействия описываются с помощью неравенств, случайные воздействия с помощью вероятностных характеристик. На практике наиболее реалистичными являются нерегулярные воздействия, ограниченные по величине и скорости изменения.

В зависимости от вида внешних воздействий используются различные подходы к решению задач оценивания.

Наиболее сложной в теории фильтрации является задача оценки состояния и нерегулярных возмущений при наличии помех измерений. Решение данной задачи для дискретной линейной системы рассматривалось в работе [1] с использованием наблюдателя и фильтра Калмана. Однако в работе отсутствуют рекомендации к синтезу наблюдателя, а при использовании фильтра Калмана выдвигается известное требование к помехам измерений в виде белого шума, некоррелированных с процессами внешних возмущений. Этот недостаток отсутствует в методе минимаксного гарантированного оценивания [2], методе эллипсоидов [3], методе матричных систем сравнения [4]. Здесь неопределенные внешние воздействия ограничены с помощью интегральных неравенств, эллипсоидов или матричных неравенств. Полученные в работах [2, 4] алгоритмы оценивания для непрерывных систем являются аналогами фильтра Калмана – Бьюси.

В то же время консервативность ограничений внешних воздействий, принятых в работах [2–4], не позволяет, например, повысить точность оценивания в случае ограниченных нерегулярных внешних возмущений. В связи с этим в работе [5] для непрерывных систем были предложены способы гарантированного оценивания состояния и нерегулярных внешних возмущений с использованием их неявной модели, что позволило существенно повысить точность оценивания. В данной работе предложенный способ применяется для решения задачи оценивания дискретно-непрерывных систем.

Постановка задачи

Пусть в некоторой ограниченной области евклидова пространства возмущенное движение управляемой системы в отклонениях от невозмущенного движения описывается дифференциальным уравнением

(1)

где – вектор состояния; – вектор управляющих сигналов; – вектор измеряемых выходных координат; – вектор приведенных возмущающих воздействий; – вектор помех измерения.

Здесь предполагается выполнение ограничений:

(2)

(3)

(4)

, (5)

где – неотрицательно определенные или положительно определенные матрицы, – положительно определенная матрица; все указанные матрицы считаются заданными.

Предполагается, что – матрицы с непрерывными ограниченными элементами и их производными для причем матрицы ,,полного ранга, – наблюдаемая пара.

Ставится задача построения оценок вектора состояния и возмущения по дискретным измерениям выхода , удовлетворяющих неравенствам

(6)

(7)

при где – время оценивания; – заданные положительно определенные матрицы.

Решение задачи

Согласно работе [5] в качестве наблюдающего устройства используем дискретно-непрерывную модель вида:

(8)

(9)

где – матрицы коэффициентов, подлежащие определению; – малый параметр. Здесь предполагается выполненным условие где

Наблюдающее устройство (8), (9) можно использовать для построения непрерывных и дискретных законов управления с периодом квантования по времени, существенно меньшим интервалов измерений

С помощью расширенного вектора уравнения (8), (9) можно представить в виде

(10)

где

Тогда уравнение в отклонениях где можно переписать в виде

(11)

где – вспомогательная матрица, найденная, например, при синтезе непрерывного наблюдающего устройства [5]; – ограниченный вектор приведенных возмущений, вызванных помехой и дискретизацией измерений.

Из уравнения (11) следует, что для работоспособности наблюдающего устройства должно выполняться условие асимптотической устойчивости для свободных движений системы с матрицей Тогда с учетом ограничений (3), (4) и ограниченности вектора будет ограничено решение

Для синтеза матрицы коэффициентов рассмотрим уравнение, эквивалентное уравнению (11):

, (12)

для которого построим дискретную модель

(13)

Здесь – переходная матрица системы (12).

Для дискретной системы (13) построим оценку для вектора с помощью неравенства Коши – Буняковского:

где Отсюда для произвольного вектора следует оценка из которой при , получим неравенство

Здесь справедливо следующее

Утверждение. Если в матричном неравенстве то справедливо представление где а вектор удовлетворяет неравенству

Тем самым в уравнении (13) можно положить где – – некоторые матрицы.

Вводя матрицу построим оценку с помощью представления на решении системы (13). При этом матрица для с учетом (2), (3) является решением уравнения сравнения:

(14)

которое при следует из неравенств

Найдем матрицу из условия минимума локального критерия для заданной матрицы При этом выполняется неравенство Решение находится с помощью условия оптимальности [6]:

Положим и найдем первую вариацию для локального критерия

Полагая, для произвольной матрицы в силу получим решение

(15)

которое не зависит от матрицы

Поскольку вторая вариация

то решение (15) доставляет минимум функционалу

Параметры выберем из условия минимума критерия Здесь нетрудно показать, что указанный минимум при и достигается для значений

где

Замечание 1. По форме записи уравнение (14) и выражение (15) совпадают с фильтром Калмана [7]. Отличием от фильтра Калмана является наличие в (14), (15) параметров выбор которых оптимизирует гарантированную оценку

или при эквивалентную оценку Кроме того, в (14), (15) присутствует матрица предназначенная для оценки неизвестного нерегулярного возмущения, что существенно повышает точность оценивания.

Замечание 2. Определение условий, при которых выполняются неравенства (6), (7), проводится аналогично [5]. При этом в уравнении (11) учитывается оценка для вектора которая строится с использованием уравнения (13). Очевидно, что при малом периоде дискретности условия для выполнения оценок (6), (7) будут близки к условиям, полученным в работе [5].

Замечание 3. Для повышения точности оценивания здесь так же, как в фильтре Калмана [7], можно использовать дискретную прогнозную модель объекта управления для момента времени представленную уравнением:

(16)

где

Проведенное моделирование предложенных алгоритмов оценивания состояния и возмущений на примере тестовых задач подтвердило их эффективность и соответствие по точности алгоритмам работы [1] для линейных стационарных систем. Полученные алгоритмы могут быть использованы в законах управления для подавления внешних возмущений.

Работа поддержана грантом Правительства РФ для государственной поддержки научных исследований по постановлению Правительства 220 по договору от 30 декабря 2010 г. №11.G34.31.0038.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kwon S. J., Chung W. K. Perturbation compensator based robust tracking control and state estimation of mechanical systems. Berlin – Heidelberg: Springer-Verlag, 20р.

2. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 19с.

3. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М: Наука, 19с.

4. Синтез алгоритмов оценивания состояния нелинейных регулируемых систем с применением матричных систем сравнения // Вестник КГТУ им. . 1998. № 3. С. 54–59.

5. К задаче оценивания ограниченных внешних возмущений в системах управления при неполной информации // Вестник КГТУ им. . 2010. № 2. С. 122–127.

6. , Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 19с.

7. Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир, 19с.

Поступила в редколлегию 5.03.04

ESTIMATION OF THE STATE AND EXTERNAL DISTURBANCES
IN DISCRETE-CONTINUOUS SYSTEMS

V. I. Garkushenko, G. L. Degtyarev, and M. V. Bezbryazov

We consider the problem of estimating the vector of state and unknown limited external disturbances for the discrete-continuous control systems with the respect to the output being measured in the presence of measurement errors. The method of constructing the observing device with the use of the implicit model of external disturbances is presented.

Key words: estimation of the state vector and unknown external disturbances, observing device.

– канд. техн. наук (КНИТУ-КАИ, Казань)

E-mail: *****@***ru

– докт. техн. наук, заведующей кафедрой автоматики и управления (КНИТУ-КАИ, Казань)

E-mail: *****@

– аспирант (КНИТУ-КАИ, Казань)

E-mail: *****@***ru