«Теория ортогональных систем функций»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Математический факультет

Кафедра математического анализа

РАБОЧАЯ

ПРОГРАММА

по дисциплине

«Теория ортогональных систем функций»

(название дисциплины)

для специальности

511200___Математика. Прикладная математика

(шифр и название специальности)

_______________очная_________________

(форма обучения)

Курс ………………………………………………..3
Семестр …………………………………………....6
Всего аудиторных часов ……………………….48
Лекции, час ……………………………………...32
Лабораторные работы, час ……………………..0
Практические (семинарские) занятия, час ….16
Самостоятельная работа, час …………………36
Экзамен (семестр) ………………………………..6
Зачет (семестр) ……………………………............6

Ижевск 2010

Рабочая программа составлена на основании _________________________________________________________

(название документа, дата утверждения)

Составители рабочей программы

старший преподаватель, к. ф.-м. н., ____________

(должность, ученое звание, степень) (подпись) (Ф. И.О.)

Рабочая программа утверждена на заседании кафедры ________________________________________________

«________» _______________ 2009г.

Заведующий кафедрой ________________ ___________

(подпись) (Ф. И.О.)

«________» _______________ 2009г.

Решение методической комиссии ____________________________________________ факультета

«_________» ______________ 2009г.

Председатель

методической комиссии ________________ ____________________________

(подпись) (Ф. И.О.)

Согласовано с библиотекой УдГУ «_____________» ________________________ 2009 год

Директор библиотеки УдГУ __________________ ____________________________

(подпись) (Ф. И.О.)

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Системы функций, являющиеся ортогональными, обладают свойствами, которые позволяют широко использовать их в различных теоретических вопросах и многих прикладных задачах. Большая часть курса посвящена изучению классических ортогональных многочленов, поскольку они являются наиболее простыми специальными функциями математической физики.

В последнее время активно разрабатывается теория общих ортогональных рядов, поэтому данный курс включает в себя вопросы, связанные с ортогональными системами в пространствах со скалярным произведением.

1.  ТЕМАТИЧЕСКИЙ План УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

п/п	Наименование разделов и тем	Количество часов при очной форме обучения
Всего	Лекции	Лабораторные	Практические	Самостоятельные
1	Классические ортогональные многочлены	40	24	0	16	36
2	Ортогональные системы в пространствах со скалярным произведением	8	8	0

2.СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННОГО КУРСА

номер занятия	Наименование темы	кол-во часов
	Элементарные свойства общих ортогональных многочленов
1	Определение системы ортогональных многочленов. Терема существования. Критерий ортогональности.	2
2	Алгебраические свойства ортогональных многочленов.	2
3	Ряды Фурье по ортогональным многочленам.	2
4	Исследование достаточных условий сходимости с помощью неравенств Лебега.	2
5	Свойства нулей ортогональных многочленов.	2
	Общие свойства классических ортогональных многочленов
6	Дифференциальное уравнение для классических ортогональных многочленов.	2
7	Обобщенная формула Родрига.	2
	Примеры систем ортогональных многочленов и их применение
8	Многочлены Чебышева. Многочлены Лежандра.	2
9	Многочлены Чебышева-Эрмита. Многочлены Чебышева-Лагерра. Многочлены Якоби.	2
10	Применение многочленов Чебышева-Эрмита в квантовой механике.	2
11	Квадратурные формулы интерполяционно-ортогонального типа.	2
12	Параболические координаты и многочлены Чебышева Эрмита.	2
	Ортогональные системы в пространствах со скалярными произведением
13	Понятие ортогональной системы в пространстве со скалярным произведением.	2
14	Ряд Фурье в пространстве со скалярным произведением.	2
15	Система Хаара.	2
16	Системы Фабера-Шаудера и Франклина.	2

3. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ И ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

1	Построение систем ортогональных многочленов. Примеры систем ортогональных систем многочленов, имеющих важное теоретическое и прикладное значение.	2
2	Формула Крстоффеля-Дарбу. Представление ортогональных многочленов через моменты весовой функции.	2
3	Обобщенная формула Родрига.	2
4	Производящие функции для основных систем ортогональных многочленов.	2
5	Примеры разложения функций в ряды Фурье-Лежандра.	2
6	Примеры разложения функций в ряды Фурье по Многочленам Чебышева-Эрмита.	2
7	Квадратурные формулы интерполяционно-ортогонального типа.	2
8	Многочлены, ортогональные на конечной системе точек.	2

4. ОТЧЕТНОСТЬ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1.  Определения. Лемма о представлении многочлена степени n через систему многочленов.

2.  Теорема существования и единственности системы ортонормированных многочленов.

3.  Необходимое и достаточное условие ортогональности.

4.  Теорема о виде ортогонального многочлена при условии четности весовой функции и симметричности промежутка интегрирования.

5.  Рекуррентная формула для трех соседних ортогональных многочленов.

6.  Формула Кристоффеля-Дарбу.

7.  Представление ортогональных многочленов через моменты весовой функции.

8.  Ряды Фурье по ортогональным многочленам. Сходимость в среднем.

9.  Теорема о сходимости ряда Фурье в точке.

10.  Исследование достаточных условий сходимости с помощью неравенств Лебега.

11.  Свойства нулей ортогональных многочленов. Теорема 1.

12.  Свойства нулей ортогональных многочленов. Лемма 1. Лемма 2.

13.  Свойства нулей ортогональных многочленов Теорема 2.

14.  Теорема о линейном преобразовании аргумента x=at+b системы ортогональных многочленов.

15.  Дифференциальное уравнение для классических ортогональных многочленов. Теорема.

16.  Обобщенная формула Родрига.

17.  Многочлены Чебышева.

18.  Многочлены Лежандра.

19.  Многочлены Чебышева-Эрмита.

20.  Применение многочленов Чебышева-Эрмита в квантовой механике.

21.  Квадратурные формулы интерполяционно-ортогонального типа.

22.  Понятие ортогональной системы в пространстве со скалярным произведением.

23.  Ряд Фурье в пространстве со скалярным произведением.

24.  Система Хаара.

25.  Многочлены, ортогональные на конечной системе точек.

5. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

ОСНОВНАЯ

1.  Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. Т. III / Пред. и прим. . -8-е изд. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 20с.

2.  Суетин ортогональные многочлены. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1976, 328 с.

3.  Бадков в единую теорию алгебраических и тригонометрических ортогональных полиномов: Учеб. пособие.- Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 20с.

4.  , Саакян ряды. Изд. 2-е, доп. - М.: Изд-во АФЦ, 19с.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

1.  Демидович основы квантовой механики: Учебное пособие. 2-е изд., испр. - СПб.: Издательство «Лань», 20с.

2.  Miroslav Laitoch К прoблеме oртoгoнальных cиcтем функций c веcoм http://dml. cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/119773/ActaOlom_ 1_2 . pdf