Числовые ряды

Числовые ряды.

Определение. Числовым рядом называется

.

Например, .

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если последовательность частичных сумм этого ряда:

.

Суммой числового ряда в этом случае называется предел

: .

Пример. Исследуем на сходимость .

()

При : .

Если , то ряд расходится.

Если , то . Ряд сходится и .

Если или , то поскольку не имеет конечного предела, ряд расходится.

Итак,

сходится при .

Если предел не существует либо бесконечен, то ряд расходится.

Теорема. О необходимом условии сходимости ряда.

Если ряд сходится, то (при ).

Обратное утверждение неверно, у ряда общий член , но ряд расходится.

Простейшие свойства рядов.

1. Линейность.

Если ряды и сходятся (и суммы соответственно равны и ), то линейная комбинация тоже сходится (к сумме ).

Это свойство вытекает из линейности предела:

.

2. На сходимость ряда не влияет изменение первых членов ряда:

и сходятся или расходятся одновременно, если при (конечно, суммы, в которые сходятся ряды разные).

Дело в том, что частичные суммы при этих рядов отличаются на постоянную величину: (при ). Следовательно, если имеет предел, то и имеет его (и наоборот).

Знакоположительные числовые ряды.

Речь идёт о рядах с .

Теорема. Критерий сходимости знакоположительных рядов.

Ряд сходится последовательность частичных сумм ограничена.

Теорема. 1-ый признак сравнения.

Пусть . Тогда:

1. Если сходится, то сходится.

2. Если расходится, то расходится.

Теорема. 2-ой признак сравнения.

Пусть и - знакоположительные ряды, причём при . Тогда эти два ряда сходятся или расходятся одновременно.

Теорема. Признак Даламбера.

Пусть . Тогда:

1. Если , то ряд сходится.

2. Если , то ряд расходится.

Теорема. Радикальный признак Коши.

Пусть и существует предел (). Тогда:

1. Если , то ряд сходится.

2. Если , то ряд расходится.

Теорема. Интегральный признак Коши.

Пусть определена на , непрерывна там и является невозрастающей. Тогда ряд сходится сходится интеграл .

Пример. Исследование ряда Дирихле.

().

монотонно убывает, непрерывна.

сходится при и расходится при . Следовательно:

сходится при и расходится при .

Оценить частичные сумма ряда можно следующим способом (следует из доказательства теоремы об интегральном признаке Коши):

.

Пример оценки для гармонического ряда.

при .

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.

Определение. Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид:

(или ), где .

Ряды, не являющиеся знакопостоянными ( или ) называются знакопеременными.

Например, - знакочередующийся ряд, - знакопеременный ряд.

Признак Даламбера и оба признака Коши в случае знакопеременных и знакочередующихся рядов не работают!

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится.

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но не является абсолютно сходящимся.

Теорема. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Теорема. Признак Лейбница.

Пусть монотонно невозрастает и . Тогда ряд сходится.

Функциональные последовательности и ряды.

Определение. Пусть множество ограничено сверху (т. е. ). Тогда супремумом называется минимальное из чисел , таких что .

Максимальным из чисел множества заменить нельзя. Такого может не быть.

Теорема. Супремум ограниченного сверху множества существует и единственен.

Определение. Пусть множество ограничено снизу (т. е. ). Тогда инфиниумом называется наибольшее из чисел , таких что .

Определение. Пусть ограничена сверху на множестве (т. е. при ). Тогда , где , а - множество значений функции при .

Аналогично определение для .

Вообще говоря, супремум – это замена понятия максимума, если у функции нет точки максимума.

Пример.

Определение. Рассмотрим последовательность , зависящую от параметра , .

, т. е. последовательность функций с областью определения .

При любом значении параметра последовательность может быть сходящейся или расходящейся.

Множеством (областью) сходимости последовательности называется множество , при которых является сходящейся. Предел этой последовательности обозначается через , а область определения – через .

Пример.

, .

Если , то . Если , то . При остальных последовательность расходится.

Следовательно, множество сходимости , а предельная функция .

Определение. Говорят, что сходится к равномерно на множестве , если при .

Теорема. Пусть состоит их непрерывных на множестве функций и сходится равномерно к . Тогда тоже непрерывна.

Определение. Пусть - функциональная последовательность, . Рассмотрим ряд . Этот ряд сходится при некоторых , и множество таких называется множеством (областью) сходимости этого ряда.

Сумма ряда зависит от : .

Определение. Ряд называется равномерно сходящимся, если последовательность частичных сумм сходится равномерно к .

Следствие из теоремы о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности.

Пусть непрерывна на и равномерно сходится на . Тогда является непрерывной на .

В самом деле, - это непрерывная функция. сходится к равномерно на , следовательно, непрерывна.

Теорема. Вейерштрасса о равномерной сходимости рядов.

Пусть , и сходится. Тогда сходится равномерно. Т. е. если функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым, то сходится равномерно.

Теорема. Об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.

Пусть сходится равномерно на к . Тогда сходится равномерно к ().

Следствие. Пусть ряд сходится равномерно к на . Тогда сходится равномерно к .

Т. е. функцию можно интегрировать почленно.

Пример.

, причём ряд сходится равномерно на (). Тогда

- новая формула.

Теорема. Пусть ряд удовлетворяет следующим условиям:

1.  непрерывно дифференцируема на .

2.  равномерно сходится к на .

3.  сходится хотя бы в одной точке .

Тогда исходный ряд сходится равномерно на к некоторым и .

Пример.

.

Формально дифференцируем:

- этот ряд сходится равномерно на , т. к. мажорируется сходящимся числовым рядом.

; - сходится.

По третьему условию теоремы: ряд сходится в

- сходится (т. к. ).

Следовательно, , причём .

Степенные ряды.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

,

где - коэффициенты степенного ряда, - центр ряда.

Теорема. Абеля.

Пусть ряд сходится в точке . Тогда он сходится при любом , удовлетворяющем неравенству , причём на любом отрезке внутри интервала сходимость равномерная.

Следствие из теоремы Абеля.

Если ряд расходится в точке , то он расходится и при .

Действительно, если бы он сходился при , то он сходился бы и в точке по теореме Абеля.

Теорема. О радиусе сходимости.

Для каждого степенного ряда существует , удовлетворяющее свойствам:

1.  Если , то ряд сходится только при .

2.  Если , то ряд сходится при .

3.  Если , то ряд сходится при и расходится при .

Сходимость на любом отрезке внутри интервала равномерная.

Это число называется радиусом сходимости степенного ряда.

Утверждение о равномерной сходимости.

Если , то в точке () ряд сходится, следовательно, по теореме Абеля он сходится равномерно на .

Теорема. Формулы для радиуса сходимости степенного ряда.

1. Если существует (конечный или бесконечный) предел , то радиус сходимости степенного ряда вычисляется по формуле:

.

2. Если существует (конечный или бесконечный) предел , то:

.

Замечание. Ряд с центром сводится к заменой .

Все наши результаты переносятся на общие степенные ряды.

В частности, ряд сходится на и расходится вне соответствующего отрезка.

Теорема. Если ряд имеет радиус сходимости , то такой же радиус сходимости имеют ряды и .

Итак, если формально проинтегрировать или продифференцировать ряд , то радиус сходимости не изменится.

Следствие.

Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать внутри интервала сходимости , т. е. если , то

.

Указанные ряды сходятся равномерно на любом отрезке . Это является обоснованием следствия и из него вытекает, что функции можно сколько угодно много раз дифференцировать.

При этом

.

Итак,

.

Это – формула для коэффициентов Тейлора-Маклорена функции . Т. о. если , то ().

Пример.

Рассмотрим ряд

Это означает, что . Функция с такими производными: .

().

Пример.

Здесь формулы для радиуса сходимости напрямую не работают, т. к. все нечётные коэффициенты равны . Замена: .

, т. е. ряд сходится.

, т. е. исходный ряд сходится при .

Пример.

Пример.

Т. е. ряд сходится на .

Можно показать, что , т. е. ряд сходится и при (к ).

Пример.

Пример.

1.

2. Интеграл Пуассона.

()

3. Интегральный синус.

()

4. Интеграл Френеля.

Три слагаемых дают ответ с погрешностью .

Ряды Фурье.

Рассмотрим простейшую гармоническую функцию:

,

где - амплитуда, - фазовый сдвиг. Функция периодична с периодом .

, т. е. функция вида .

Но функция вида также является -периодической.

Определение. Тригонометрическим многочленом степеней (периода ) называется сумма

.

(период ).

Предложение. Коэффициенты и для тригонометрического многочлена вычисляются при помощи формул:

Однако, эти формулы имеют смысл не только для тригонометрического многочлена, но и для любой непрерывной на функции.

Теорема. О равномерной сходимости ряда Фурье.

Пусть - -периодичная непрерывная на всей оси функция, имеющая кусочно-непрерывную производную . Тогда ряд Фурье этой функции равномерно сходится на всей оси.

Теорема. О поточечной сходимости ряда Фурье.

Пусть - -периодичная функция, удовлетворяющая условию Дирихле: - кусочно-непрерывная функция и отрезок можно разбить на интервалы, на каждом из которых функция ограничена, монотонна и непрерывна.

Тогда ряд Фурье сходится всюду на оси, причём

Пояснение.

, - односторонние пределы в .

Предложение. О скорости убывания коэффициентов Фурье.

Пусть непрерывна и имеет непрерывные производные до порядка включительно и .

Тогда и .

«Геометрические» методы в теории рядов Фурье.

Напомним, что линейным пространством (векторным пространством) называется множество объектов (векторов), которые можно складывать и умножать на числа.

Рассмотрим линейное пространство , состоящее из кусочно-непрерывных функций на . Над функциями определены операции умножения на число и сложения, причём результирующие функции будут являться кусочно-непрерывными.

Скалярным произведением в линейном пространстве назовём число , сопоставленное любой паре векторов и , обладающее свойствами:

1.  .

2.  , причём .

3.  .

В можно ввести скалярное произведение: .

Свойства скалярного произведения:

1.  .

2.  , причём .

3.  , вытекает из линейности интеграла.

В евклидовом пространстве (пространстве с определённым в нём скалярным произведением) есть следующие понятия.

1. Ортогональность (перпендикулярность).

2. Неравенство Коши-Буняковского.

В :

3. Норма (длина) вектора.

в :

В дальнейшем чтобы отличать норму в , будем обозначать .

Из свойств скалярного произведения (в любом евклидовом пространстве) вытекают свойства норм:

, причём .

(неравенство треугольника).

.

В нетривиальным является только неравенство треугольника:

.

Пространство не является конечномерным, т. е. в нём нет конечного базиса.

Рассмотрим функции

.

Эти функции попарно ортогональны: при . Или: при .

при

при .

Итак, - ортогональный набор векторов.

Среднее квадратичное отклонение.

Напомним, что . Норма порождает понятие расстояния в пространстве :

.

Такая величина называется средним квадратичным уклонением от .

На рисунке - малая величина, а - большая величина.

Определение. Пусть - последовательность функций в . Она называется сходящейся в смысле средних квадратов (в среднем) к , если

.

(равномерно сходится к нулю).

Пример.

при .

Отметим, что не сходится равномерно к нулю, т. к.

.

Есть ещё поточечная сходимость функциональных последовательностей. Напомним, что поточено, если .

Задача о наилучшем приближении.

Пусть и - ортонормированная система элементов :

Нужно найти линейную комбинацию наименее уклоняющуюся в смысле средних квадратов от .

Теорема. О наилучшем приближении.

Решение задачи о наилучшем приближении:

, где .

Такие коэффициенты называются коэффициентами Фурье функции по системе .

Доказательство.

Рассмотрим

при .

.

Видно, что правая часть минимальна если , т. е. .

Замечание. Из доказательства видно, что квадрат уклонения равен

.

Геометрический смысл.

.

Лучший выбор – проекция.

.

Что будет, если увеличивать ? Пусть у нас есть бесконечный набор . Из замечания видно, что .

При получаем - неравенство Бесселя.

Кроме того, из формулы получаем:

при при , т. е. .

Ряд называется рядом Фурье функции по бесконечной системе .

Ряд Фурье сходится в смысле квадратов, если в смысле квадратов.

Из написанного вытекает, что - равенство Персеваля.

Определение. Система называется полной в , если справедливо равенство Персеваля

(или, что то же самое, ряд Фурье сходится к ).

Неравенство Бесселя для неортонормированных ортогональных систем.

- ортогональная, не нормированная система;

Теорема. Ортогональная система является полной в пространстве , т. е. ряд Фурье по этой системе сходится в смысле средних квадратов .

Вычислим нормы.

Равенство Персеваля для неортонормированных ортогональных систем.

В силу теоремы есть полнота системы выполнено равенство Персеваля.

Имеем равенство Персеваля: