Оглавление

Оглавление:

	Стр.
Индивидуальное задание	2
Обоснование выбора и краткое содержание методов решения, использованных в работе	2
Проверка условий теорем о сходимости методов	3
Структурные схемы алгоритмов	4
Программа	6
Результат работы программы	7
Отладочный вариант	7
Проверка математическими пакетами	9

Использованная литература 10

Вариант №2

Вычислить минимум функции на отрезке [a, b] с точностью ε.

P(x1) и P(x2) – значения интерполяционного многочлена, построенного для таблично заданной функции f(x) в точках x1,x2.

Исходные данные:

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
p(x)	1.858625	1.851659	1.851401	1.848081	1.841914	1.833125	1.821948

a = 0

b = 2

x1=0.04177

x2=0.587282

ε = 10-4

План решения задачи

Решение данной задачи разделяется на 2 подпрограммы: первая – это нахождение параметров p(x1) и p(x2), что делается одним из методов интерполяции функций, и вторая – нахождение минимума одним из методов одномерной интерполяции.

Обоснование выбора и краткое содержание методов решения, использованных в работе.

В первой подпрограмме я использовал многочлен Лагранжа.

Многочлен Лагранжа – многочлен вида

Во второй подпрограмме я использовал метод золотого сечения, т. к. при его использовании для решения задачи с заданной точностью требуется меньше вычислений в каждой итерации, чем при использовании других методов.

Метод золотого сечения заключается в разбиении отрезка на 2 части таким образом, что отношение большей части разбитого отрезка ко всему отрезку равно отношению меньшей его части к большей части.
Графическая иллюстрация данного метода:

Проверка условий теорем о сходимости методов.

2) Задача одномерной оптимизации имеет только одно решение, если функция f(x) на отрезке неопределенности имеет лишь один экстремум. Достаточными же условиями являются:

1) Производная функции f’(x) является неубывающей
2) Вторая производная f’’(x) ≥ 0 на всем отрезке неопределенности

Проверим графически:

Из графика видно, что на отрезке [0,2] график имеет одну точку минимума.

Проведем дополнительное исследование функции:

Как видно из таблиц, на отрезке [0,2] выполняются все достаточные условия унимодальности.

Структурные схемы алгоритмов:

Метод золотого сечения:

Метод Лагранжа:

Программа:

DIM px1 AS SINGLE, px2 AS SINGLE, R AS SINGLE

DIM a AS SINGLE, b AS SINGLE, e AS SINGLE

DIM X(6) AS SINGLE, Y(6) AS SINGLE

DIM x1 AS SINGLE, x2 AS SINGLE

INPUT "a, b,e, x1,x2="; a, b, e, x1, x2

FOR i = 0 TO 6

PRINT "X, Y("; i; ")=";

INPUT X(i), Y(i)

NEXT i

px1 = LX(6, X(), Y(), x1)

px2 = LX(6, X(), Y(), x2)

PRINT "P(X1)=", px1

PRINT "P(X2)=", px2

PRINT

R = ZolSec(a, b, e, px1, px2)

PRINT

PRINT "p(x1)="; px1, "p(x2)="; px2, "Minimum="; R

FUNCTION f (X AS SINGLE, px1 AS SINGLE, px2 AS SINGLE)

f = px1 * X ^ * px2 * X - 3

END FUNCTION

FUNCTION LX (k AS SINGLE, X() AS SINGLE, Y() AS SINGLE, xl AS SINGLE)

DIM l AS SINGLE, l1 AS SINGLE, i AS INTEGER, j AS INTEGER

l = 0

FOR i = 0 TO k

l1 = 1

FOR j = 0 TO k

IF i <> j THEN

l1 = (xl - X(j)) / (X(i) - X(j)) * l1

END IF

NEXT j

l = l + l1 * Y(i)

NEXT i

LX = l

END FUNCTION

FUNCTION ZolSec (a AS SINGLE, b AS SINGLE, e AS SINGLE, px1 AS SINGLE, px2 AS SINGLE)

DIM k1 AS SINGLE, k2 AS SINGLE

DIM x1 AS SINGLE, x2 AS SINGLE, f1 AS SINGLE, f2 AS SINGLE, xf AS SINGLE, ff AS SINGLE

k1 = (3 - SQR(5)) / 2

k2 = (SQR/ 2

x1 = a + k1 * (b - a)

x2 = a + k2 * (b - a)

f1 = f(x1, px1, px2)

f2 = f(x2, px1, px2)

DO UNTIL ABS(b - a) < e

IF f1 < f2 THEN

b = x2

x2 = x1

x1 = a + k1 * (b - a)

f2 = f1

f1 = f(x1, px1, px2)

ELSE

a = x1

x1 = x2

x2 = a + k2 * (b - a)

f1 = f2

f2 = f(x2, px1, px2)

END IF

PRINT USING "####.#####"; a; b; x1; x2; f(x1, px1, px2); f(x2, px1, px2)

LOOP

xf = (a + b) / 2

ff = f(xf, px1, px2)

ZolSec = xf

END FUNCTION

Результат выполнения программы:

Отладочный вариант:

Примем все точки в интерп. многочлене p(x)=x:

x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
p(x)	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6

x1 = 0.15; x2=0.35; f(x)=x^2 * px1 + px2

Тогда минимум будет равен fmin = f(0) = px2 = 0.35

Проверим программу на ПК:

Результаты сошлись.

Проверка результатов с помощью мат. пакета MathCAD

Использованная литература:

, , Шакин решения вычислительных задач (Учебное пособие) – МТУСИ, 2003