ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
Задание 7.1. Способы задания последовательности
1) Выпишите первые четыре члена последовательности (an), если:
а) 
= 
б) = 
в) 
2) По заданным первым числам последовательностей подобрать одну из формул общего члена:
a) 
, 
, 
, 
, 
, …
б) 
, 
, 
, 
, …
3) Для рекуррентно заданной последовательности докажите, что её общий член может быть задан приведённой формулой:
4)* Пусть 
известно также, что 
Чему равен y, если 
?
Задание 7.2 Свойства последовательностей
1. Докажите, что последовательность (
) монотонно убывающая и ограниченная:
а) =
; б) =
- 
2. Последовательность (a
) задана рекуррентно:
a
=a, a
=2a-1. При каких значениях a последовательность (a
) является монотонно возрастающей?
3. Найдите наименьший член последовательности (), если =
Задание 7.3 Свойства последовательностей
1. Последовательность (a) неограниченная. Выясните какие из следующих последовательностей обязательно являются неограниченными, какие могут быть неограниченными.
a) x = 
b) x=|a+3| c) x=sin(a) d) x=
2. Известно, что x
[A;B], начиная с некоторого номера N. Докажите, что последовательность (x) ограничена.
3. Докажите, что последовательность (a) является монотонной, начиная с некоторого номера, если
a) a=log
(n
-8n+17) b) a=
4. Последовательность (a) задана условиями a
=4, a= a+n
Найдите a
5. Последовательность (a) задана начальными условиями x
=2, x=6 и соотношениями
x=
Докажите, что x<100 при всех натуральных n.
Задание 7.4. Определение предела последовательности.
1) Дана последовательность (bn): 
.
а) Вычислите первые шесть членов последовательности (bn) и изобразите их точками на координатной прямой.
б) Докажите, что, начиная с некоторого номера, все члены последовательности (bn) находятся в промежутке [3,5;4].
в) Какое предположение о пределе последовательности (bn) можно сделать? Проведите доказательство.
2) Дана последовательность (xn), такая, что последовательность 
сходится. Выясните, обязательно ли сходится последовательность (xn).
3) Известно, что 
. Верно ли, что 
?
4) Докажите, что последовательность (xn):
предела не имеет.
Задание 7.5. Свойства предела последовательности.
1) Докажите, что последовательность 
(дробная часть числа 
) не имеет предела.
2) Приведите пример немонотонной сходящейся последовательности.
3) Пусть xn≥b для бесконечного множества номеров n и 
. Докажите, что a≥b.
4) Найдите 
, если известно, что при 
.
5) Верно ли утверждение: если 
, то 
для всех n, начиная с некоторого номера.
Задание 7.6 Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности
1. Приведите пример последовательности, стремящейся к бесконечности, но не к 
и не к 
.
2. Доказать, что последовательность с общим членом
=
sin[(2n-1)
]
бесконечно мала при n
3. Для данного условия приведите пример последовательности, удовлетворяющей этому условию и не удовлетворяющей ему (если такие существуют). Охарактеризуйте множество всех последовательностей, удовлетворяющих данному условию.
a)
б) 
4. Известно, что 
и 
Докажите, что 
Задание 7.7. Арифметические действия с пределами
1. Найдите 
a) 
= 
б) = 
в) =
г) =
д) =
е) =sin(p
) 
2. Постройте на координатной плоскости совокупность точек с координатами (х, у), удовлетворяющими уравнению 
Задание 7.8 Вычисление пределов. Разные методы
1. Выясните, существует ли последовательность {xn} такая, что 
=0 и xn > 
для любого n
2. Вычислите
a) 
б) 
3. На графике функции y=x2 задаются точки An и Bn с абциссами
Соответственно и. Через An и Bn и начало координат проводится окружность с центром в точке Сn. Найдите предел последовательности точек Сn
Задание 7.9. Предел монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса.
1. Доказать по теореме Вейерштрасса, что последовательность имеет конечный предел, если 
2. Найти 
если 
3. Доказать, что 
сходиться: 
Контрольное задание.
1. Исследуйте последовательность 
на монотонность. Докажите, что начиная с некоторого номера все члены последовательности удовлетворяют условию 
2. Вычислите предел последовательности:
а) 
б) 
в) 
г) 
3. Имеет ли последовательность предел (ответ обоснуйте):
а) 
б) 
в) 
г) 
4. Существует ли последовательность, сходящихся к 0 и удовлетворяющая следующим условиям: 
5. Докажите, что последовательность 
имеет предел. Найдите этот предел.
6. Дана последовательность 
а) Докажите, что 
при всех 
б) Известно, что 
Верно ли, что 
в) Пусть 
Существует ли арифметическая прогрессия, среди членов которой содержатся все числа 
