Оценка функции распределения времени эффективного функционирования большемасштабных распределенных вычислительных систем

ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ЭФФЕКТИВНОГО ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ БОЛЬШЕМАСШТАБНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ*

1, 2

1Кемеровский технологический институт пищевой промышленности, Кемерово

2Учреждение Российской академии наук Институт физики полупроводников им. Сибирского отделения РАН, Новосибирск

TIME DISTRIBUTION FUNCTION ESTIMATION OF EFFECTIVE FUNCTIONING LARGE-SCALE DISTRIBUTED COMPUTER SYSTEMS

V. A. Pavsky1, K. V. Pavsky2

1Technological Institute of the Food Industry, Kemerovo, Russia

2A. V. Rzhanov Institute of Semiconductor Physics of Siberian Branch of the RAS, Novosibirsk, Russia

Mathematical model allowing to calculate robustness indices of large-scale distributed computer systems (CS) with structural redundancy is offered. Estimation of time distribution function of effective functioning CS is received.

Введение

Для вычислительных систем (ВС), состоящих из десятков и сотен тысяч элементарных машин (ЭМ), понятие надежности приобретает качественно другой смысл, а понятие отказа, если и употребляется, то в смысле недостаточной производительности, поскольку системы, имеющие такой огромный вычислительный ресурс (число ЭМ), просто не должны отказать. Поэтому вполне разумно говорить о высокой производительности ВС или низкой в зависимости от объема рабочего ресурса [1]. Это расширяет возможности анализа эффективности функционирования ВС. В самом деле, при оценке работы одной ЭМ или ВС с небольшим ресурсом, мы исследуем процесс функционирования машины или системы только до отказа. Для больших ВС, которые не отказывают, исследование можно проводить для систем, которые находятся как в состоянии высокой производительности (эффективного функционирования), так и в состоянии низкой. Если удается оценить функционирование системы с одной стороны, то оценка другой может быть получена переходом к противоположному состоянию.

Математическая модель.

Имеется ВС, состоящая из N ЭМ, n из которых составляют структурную избыточность, а N-n - основную подсистему. Время работы каждой ЭМ является случайной величиной подчиненной экспоненциальному закону с параметром l - интенсивностью выхода ЭМ из строя. Вышедшая из строя ЭМ основной подсистемы мгновенно заменяется на ЭМ из структурной избыточности, а сама попадает в восстанавливающую систему (ВУ). Если для очередной отказавшей ЭМ основной подсистемы замены нет, то ВС переходит из состояния высокой производительности в низкую. Время восстановления ЭМ находящихся в ВУ является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону с параметром m - интенсивностью восстановления. Предполагается, что, независимо от числа ЭМ, находящихся в ВУ, среднее время восстановления . Предположим также, что функционирование ВС происходит достаточно длительное время. Это позволяет нам считать, что поток отказов ЭМ - пуассоновкий с параметром равным » [2].

Требуется вычислить - вероятность того, что в момент времени t, , в состоянии отказа находится k ЭМ, .

Система дифференциальных уравнений для вероятностей эквивалентна системе, полученной в работе [3], и имеет вид:

(1)

с начальными условиями , и условием нормировки

, .

Общее решение системы (1) приведено в работе [3].

Если ВС функционирует достаточно долго, то для вероятностей достаточно иметь решение для случая когда ,

,

которое имеет вид

, , . (2)

Учитывая (2) и формулировку модели, вероятность нахождения ВС в состоянии низкой производительности

.

Зададим вероятность g того, что ВС находится в состоянии высокой производительности, тогда

. (3)

Логарифмируя (3) и полагая , находим

,

где - среднее число ЭМ, составляющих структурную избыточность.

Зависимость среднего числа ЭМ структурной избыточности от числа ЭМ в ВС при , , 1/ч, 1/ч представлена в табл. 1

Таблица 1. Зависимость среднего числа ЭМ структурной избыточности от числа ЭМ в системе.

N l
	8	62
	5	32

Из таблицы следует, что при числе ЭМ в ВС близких к структурная избыточность не превышает 0,15% от общего числа ЭМ в ВС, находящихся в состоянии высокой производительности.

Перейдем к нахождению оценки функции распределения - вероятности того, что ВС выйдет из состояния высокой производительности (эффективного функционирования) в течение времени t при условии, что режим функционирования стационарный. Предположим, что за время t, , в ВС число отказов ЭМ не более чем число ЭМ в системе.

Пусть ВС функционирует достаточно долго, тогда вероятность ее нахождения в любом из состояний в любой момент времени постоянна и совпадает с начальными условиями, а вероятность того, что за время t в ВС откажет k ЭМ

,

где - среднее число отказавших ЭМ за время t, (заметим, что при , получаем суммарную интенсивность отказов ). Учитывая (3), для вероятности того, что ВС будет находится в течение времени t в состоянии низкой производительности, получаем

.

Тогда функция распределения времени эффективного функционирования ВС запишется в виде

, (4)

где - вероятность в любой момент времени застать ВС в состоянии низкой производительности, при условии, что режим работы стационарный.

Учитывая, что - монотонно возрастающая, , , то заключаем, что (4), в самом деле, можно рассматривать как оценку функции распределения [1] времени эффективного функционирования ВС до выхода в состояние низкой производительности.

На рис. 1 представлены зависимости функции от времени t при 1/ч и данных табл. 1.

а)	б)

Рис. 1. Зависимость функции распределения времени эффективного функционирования ВС от времени t при 1/ч а) ; б) : 1 – , ; 2 – , ; 3 – , ; 4 – ,

Из рисунков видно, что - для ВС состоящих из числа ЭМ близких к , при среднем времени работы ЭМ не менее ч, времени восстановления ч, числе ЭМ структурной избыточности не превосходящего 0,062% (см табл. 1) - промежуток времени эффективного функционирования системы, с вероятностью не менее 0,98, будет не менее чем часов.

Из сравнения рисунков с таблицей (в которой расчеты проведены для стационарного режима моментного состояния ВС) следует, что результаты практически совпадают для промежутка времени до ч, а далее различие становится существенным. Этот факт демонстрирует эффективность использования показателей надежности полученных для промежутка времени. С другой стороны, для сложных задач, время решения которых не годы, а месяцы, расчеты для момента времени более эффективны в силу простоты вычислений.

Заключение

Рассчитаны показатели живучести для многомашинных ВС. Получена оценка функции распределения времени эффективного функционирования до выхода системы в состояние низкой производительности. Установлено, что при одинаковых начальных условиях (исследуется стационарный режим работы системы), анализ функционирования ВС на промежутке времени дает более надежные результаты, чем анализ ее состояния в момент времени.

Список литературы

1.  Хорошевский вычислительных систем: Учеб. пособие. для вузов. – 2-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2008. – 520 с.

2.  Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979. – 432 с.

3.  Павский показателей осуществимости решения задач на распределенных вычислительных системах// Вестник компьютерных и информационных технологий. – 2008. - №4. – С. 61 – 68.

*) Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №) и Совета по грантам Президента РФ (грант № НШ-5176.2010.9).