Оценка устойчивости САР по ее структуре
При синтезе системы автоматического регулирования возникает задача выбора таких значений параметров ее звеньев, при которых система будет устойчива. Чтобы произвести такой выбор, следует подставить значение интересующих нас параметров в характеристическое уравнение или передаточную функцию и записать условия, при которых автоматическая система будет устойчива.
Основные задачи структурного анализа автоматических систем:
- изучение способов соединения между звеньями и влияния этих соединений на потребительские качества автоматической системы;
- изучение влияния параметров звеньев и их соединений на свойства автоматической системы в целом;
- преобразование многоконтурных структурно-динамических схем к эквивалентным одноконтурным схемам с целью определения по ним требуемых передаточных функций для последующего анализа устойчивости и качества работы.
Любую автоматическую систему можно представить с достаточной степенью достоверности как состоящую из типовых звеньев, включенных в схему в определенной комбинации. При этом можно судить о некоторых динамических свойствах автоматической системы, зная лишь структуру цепи управления.
На практике приходится решать задачу создания такой рациональной структурной схемы автоматической системы, которая обеспечивала бы наиболее высокие ее качественные показатели работы.
Автоматическая система, которую можно сделать устойчивой путем изменения ее параметров (постоянных времени, коэффициентов усиления), не изменяя при этом ее структуры.
Структурно-устойчивыми называются автоматические системы, которые при любых изменениях значений их параметров остаются устойчивыми.
Структурно-неустойчивыми называются автоматические системы, которые не могут стать устойчивыми ни при каких комбинациях значений их параметров.
|
Чаще всего вопросы структурной устойчивости возникают при введении дополнительных звеньев, т. е. получаемая автоматическая система должна остаться структурно-устойчивой. В ряде случаев по виду функциональной схемы автоматической системы можно определить, является автоматическая система структурно-устойчивой или структурно-неустойчивой.
Примером структурно неустойчивой автоматической системы может служит автоматическая система, состоящая из последовательно включенных апериодического и двух интегрирующих звеньев. Характеристическое уравнение такой автоматической системы имеет вид
Характеристическое уравнение такой автоматической системы вследствие отсутствия составляющего р в первой степени, ни при каких значениях параметров схемы, не может иметь все корни с отрицательными вещественными частями и, следовательно, эта автоматическая система не может быть устойчивой.
|
Примером структурно-устойчивых автоматических систем могут служить автоматические системы, состоящие, например, из трех последовательно соединенных апериодических звеньев. Характеристическое уравнение такой автоматической системы имеет вид
Автоматическая система является структурно-устойчивой, если в ее состав входят только устойчивые инерционные и колебательные звенья.
Если автоматическая система состоит из одного интегрирующего и нескольких инерционных и колебательных звеньев является структурно-устойчивой.
Автоматическая система, содержащая два и более интегрирующих звена и любое количество устойчивых инерционных и колебательных звеньев, структурно-неустойчива.
Производя анализ или синтез автоматических систем, необходимо убедиться в том, что система структурно-устойчива. Как можно упростить решение задачи синтеза, исходя из условий устойчивости? Для этого необходимо знать, какие факторы способствуют появлению неустойчивости автоматической системы.
|
Таким образом, при анализе проектируемых автоматических систем следует заранее отбросить те варианты, которые являются структурно-неустойчивыми. Сделать структурно-неустойчивую автоматическую систему устойчивой можно, только изменив ее структурную схему путем введения в нее корректирующих (стабилизирующих) звеньев.
1. Большой коэффициент усиления (k) разомкнутой является одним из признаков возможной неустойчивости автоматической системы.
В этом легко можно убедиться, используя, например, критерий Найквиста-Михайлова. В этом случае увеличение коэффициента усиления увеличивает модуль АФЧХ, поэтому точка пересечения АФЧХ с вещественной осью перемещается влево, и система в конце концов может превратиться из устойчивой в неустойчивую. Увеличение коэффициента усиления k увеличивается модуль АФЧХ, поэтому точка пересечения АФЧХ с вещественной осью перемещается влево, и система в конце концов может превратиться в из устойчивой в неустойчивую.
Как это объяснить с физической точки зрения? При большом коэффициенте усиления выходной сигнал разомкнутой автоматической системы, который при замыкании подается на вход автоматической системы, значительно превосходит поданный входной сигнал. Автоматическая система усиливает этот сигнал, и он снова подается на вход. Процесс нарастает лавинообразно, и автоматическая система быстро уходит от первоначального устойчивого состояния.
D-разбиение. Задача синтеза системы автоматического регулирования значительно облегчается, если построить области устойчивой работы в плоскости тех параметров, которые необходимо выбрать. Для этого служит построение областей устойчивости, т. е. определение таких областей значений параметров, при которых автоматическая система оказывается устойчивой.
Различают построение областей устойчивости в плоскости одного параметра и в плоскости двух параметров. Построение областей устойчивости особенно удобно, если число варьируемых параметров не более двух. Области устойчивости включают в себя те значения параметров, при которых синтезируемая автоматическая система будет устойчивой.
|
Для этого в характеристическом уравнении или в передаточной функции системы те параметры, которые нас интересуют, записывают в общем виде. Для получения условия, соответствующего границе устойчивости можно использовать различные критерии устойчивости. Затем на основании выбранного критерия устойчивости записывается условие нахождения автоматической системы на границе устойчивости. На основании этих уравнений строят зависимости в области параметров, отделяющие области устойчивой и неустойчивой работы автоматической системы по данному параметру. В конечном итоге получаем область изменения параметров автоматической системы, в которой обеспечивается устойчивая ее работа.
Полная совокупность всех зависимостей на плоскости параметров, разбивающая всю плоскость на области с определенным распределением корней, называется D-разбиением плоскости параметров. Обычно практическое значение имеет лишь часть кривых D-разбиения, соответствующих границе устойчивости.
Из рисунка видно, что областью устойчивости будет часть плоскости (окрашена в зеленый цвет), расположенная во всех квадрантах и ограниченная границами устойчивости рассматриваемых параметров. Следует отметить, что построение областей устойчивости в плоскости параметров значительно проще, чем использование критериев устойчивости. Для того чтобы окончательно убедиться в этом, необходимо для любой точки, лежащей внутри полученной области, по какому-либо критерию проверить устойчивость. Если устойчивость для этой точки будет иметь место, то она будет выполняться и для всех других точек, лежащих в этой области.
Очень важно определить, какие значения параметров системы целесообразно выбрать, если в распоряжении имеются области устойчивости, построенные в плоскости этих параметров. На первый взгляд кажется, что значения параметров могут быть любыми, лишь бы они принадлежали области устойчивости. Однако это не так. Если взять такие значения параметров, которые близки к границе устойчивости, то на практике может оказаться, что в результате естественной неточности изготовления автоматической системы или в результате износа и старения в процессе эксплуатации значения параметров могут оказаться такими, что они не будут соответствовать области устойчивости автоматической системы. Автоматическая система станет неустойчивой и, следовательно, непригодной для эксплуатации.
Чтобы устранить возможность возникновения неустойчивой работы автоматической системы, вводят запас ее устойчивости.
Запас устойчивости - это количественная оценка расстояния значений параметров автоматической системы или ее характеристик от зоны, опасной с точки зрения устойчивости. |
Синтез устойчивых автоматических систем, находящихся вблизи от границы устойчивости и не обладающих необходимым запасом устойчивости, не удовлетворяет ни одну реальную автоматическую систему, так как любое изменение переменных, даже незначительное, может привести автоматическую систему из устойчивого режима. В связи с этим необходимо количественно оценить запас устойчивости.
|
Оценку запаса устойчивости можно произвести по виду кривой переходного процесса в системе автоматического регулирования при некотором типовом входном воздействии, которым может быть как задающее, так и возмущающее воздействие. В качестве типового, как и в предыдущих случаях, рассматривается единичный скачок. В этом случае кривая переходного процесса для регулируемой величины будет представлять собой переходную характеристику автоматической системы.
Корневые методы оценки запаса устойчивости. Как было уже отмечено, вид корней характеристического уравнения определяет характер переходных процессов в автоматической системе. Поэтому можно сформулировать требования по запасу устойчивости, не рассматривая самих переходных процессов, а накладывая определенные условия на корни характеристического уравнения.
Если устойчивость автоматической системы можно оценить путем решения линейных дифференциальных уравнений, то ее называют устойчивостью "в малом". При этом не рассматривают границы отклонения координат, а ставят условие малости этих отклонений.
Если устойчивость автоматической системы без ограничения значений отклонения координат можно оценить с помощью нелинейных дифференциальных уравнений, то ее называют устойчивостью "в большом".
Рассматривая действительные корни характеристического уравнения в качестве частного случая комплексных сопряженных корней, все корни уравнения располагаются на комплексной плоскости. В этом случае каждому корню на выбранной координатной плоскости соответствует вполне определенная точка, а сам корень изображается в виде вектора, длина которого является модулем комплексного числа, а угол наклона - фазой.
Действительные корни располагаются в этом случае на оси абсцисс, а чисто мнимые - на оси ординат.
|
Как известно, границей устойчивости в плоскости корней характеристического уравнения является мнимая ось, поэтому, чем ближе корни характеристического уравнения располагаются к мнимой оси, тем ближе автоматическая система находится к границе устойчивости.
Следовательно, оценить запас устойчивости можно по расположению корней характеристического уравнения. Такой оценкой является степень устойчивости, которая определяется расстоянием h до мнимой оси ближайшего корня.
Таким образом, для затухания переходного процесса и устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней были отрицательными, те лежали слева от мнимой оси плоскости корней.
Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:
- нулевого корня, пары чисто мнимых корней, бесконечного корня.
Запас устойчивости по параметрам характеризует расстояние до граничной кривой, определяющей область разрешенных значений параметров, от границы области устойчивости. На рисунке запас устойчивости по параметрам Tи k обозначен через h.
Запас устойчивости по параметрам T и k
Запас устойчивости по критерию Михайлова равен радиусу окружности r, в которую не должна заходить кривая Михайлова. Центром окружности является "опасная" точка - начало координат.
Запас устойчивости при использовании критерия Михайлова
При использовании критерия Найквиста-Михайлова "опасной" точкой является точка с координатами -1, 0. Оценка запаса устойчивости, исходя из этого критерия, производится по амплитуде и по фазе. Запас устойчивости по амплитуде равен расстоянию от точки пересечения АФЧХ разомкнутой системы вещественной оси до точки -1, 0.
Запас устойчивости по амплитуде при использовании критерия Найквиста-Михайлова
Запас устойчивости по фазе равен углу между вещественной осью и вектором, проведенным из начала координат в точку пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса.
Независимо от принятой формы запас устойчивости является количественной характеристикой, и применение его при расчетах есть своеобразной гарантией устойчивости системы в реальных условиях.
На практике выбор параметров системы обычно производят, исходя не только из условия устойчивости, но и из условия обеспечения требуемого качества переходных процессов.
Методы повышения устойчивости. Многочисленными наблюдениями за поведением автоматических систем при нарушении условий устойчивости и их теоретический анализ показывают, что при малом нарушении условий устойчивости автоматическая система может вести себя двояко:
- в автоматической системе могут генерироваться незатухающие колебания, амплитуда которых может быть сколь угодно малой;
- автоматическая система может перейти к новому положению равновесия или в ней могут генерироваться колебания, амплитуда которых не может быть сделана меньше некоторого конечного числа, как бы мало ни были нарушения условия устойчивости.
Повышение запаса устойчивости, или демпфирование, автоматической системы сводится в конечном счете к рациональному перераспределению полюсов и нулей передаточной функции замкнутой автоматической системы для задающего или возмущающего воздействия. Передаточная функция замкнутой автоматической системы связана с передаточной функцией разомкнутой системы жесткими соотношениями. Поэтому под демпфированием можно понимать также рациональное перераспределение полюсов и нулей передаточной функции разомкнутой автоматической системы.
Ответить на вопрос, каким образом необходимо перераспределить полюсы и нули передаточной функции замкнутой автоматической системы, можно на основании применения критериев устойчивости и критериев качества.
Деформация амплитудно-фазовой характеристики с целью получения устойчивости, а также запаса устойчивости может производиться посредством использования корректирующих звеньев различного типа. Деформация амплитудно-фазовой характеристики может быть произведена четырьмя основными способами:
Выведение амплитудно-фазовой характеристики из запретной зоны может быть осуществлено посредствомдемпфирования с подавлением высоких частот, которые превышают некоторое заранее заданное значение. Подавление усиления на высоких частотах всегда сопровождается появлением отрицательных фазовых сдвигов. Это может осуществляться различными способами. Наиболее просто это получается при введении последовательно в цепь регулирования апериодического звена первого порядка с относительно большой постоянной времени и коэффициентом передачи k = 1.
Достоинством демпфирования с подавлением высоких частот является то, что автоматическая система оказывается менее подверженной действию высокочастотных помех, так как корректирующее звено представляет собой фильтр низких частот.
Недостатком депфирования с подавлением высоких частот является то, что снижение полосы пропускания автоматической системы означает понижение быстродействия. Поэтому такой метод демпфирования может применяться в тех случаях, когда снижение быстродействия автоматической системы является допустимым.
Демпфирование с поднятием высоких частот выводит амплитудно-фазовую характеристику из запретной зоны путем поворота ее высокочастотной части в положительном направлении. Положительный фазовый сдвиг может быть получен посредством включения в канал регулирования звеньев дифференцирующего типа.
В случае, если положительный фазовый сдвиг, вносимый дифференцирующим звеном, является недостаточным для выведения амплитудно-фазовой характеристики из запретной зоны, могут применяться два дифференцирующих звена, включенных последовательно, что соответствует введению первой и второй производных от сигнала ошибки.
Демпфирование посредством поднятия высоких частот является универсальным, так как позволяет получить требуемый результат практически при любых передаточных функциях исходной системы, в том числе и при наличии в канале автоматического регулирования неминимально-фазовых звеньев. Однако это не означает, что данный метод может быть рекомендован для использования во всех случаях. Поднятие верхних частот расширяет полосу пропускания автоматической системы, что приводит к увеличению ее быстродействия и одновременно усиливает влияние на автоматическую систему высокочастотных помех. При большом уровне помех на входе или в канале автоматического регулирования поднятие верхних частот может привести к неприемлемым результатам. Поэтому данный метод демпфирования имеет ограниченную сферу применения. Она определяется, в основном, теми случаями, когда введение положительного фазового сдвига является принципиально необходимым для получения устойчивой работы, а также теми случаями, когда необходимо повысить быстродействие автоматической системы при допустимости возрастания влияния высокочастотных помех.
В некоторых случаях при поднятии верхних частот приходится предусматривать меры одновременного подавления высокочастотных помех путем введения специальных фильтров.
Демпфирование с подавлением средних частот выводит амплитудно-фазовую характеристику из запретной зоны. Подавление средних частот может быть осуществлено включением в цепь автоматического регулирования последовательного интегро-дифференцирующего звена. Вместо пассивного интегро-дифференцирующего звена могут применяться его эквиваленты, например гибкая обратная связь, охватывающая инерционный усилитель.
По своим свойствам демпфирование с подавлением средних частот занимает промежуточное положение между двумя рассмотренными методами. При демпфировании с подавлением средних частот сохраняется быстродействие автоматической системы и сохраняется полоса пропускания. Этот вид демпфирования является наиболее распространенным.
Введение отрицательного фазового сдвига производится использованием последовательных корректирующих звеньев фазосдвигающего типа. Подобные звенья оказываются обычно неминимально-фазовыми.
Демпфирование с введением отрицательных фазовых сдвигов оказывается эффективным в случае наличия в канале разомкнутой автоматической системы консервативных, а также колебательных звеньев со слабым демпфированием.
По своим свойствам этот метод демпфирования сходен со случаем подавления средних частот, так как фазосдвигающие звенья обычно не вносят изменений в амплитудную частотную характеристику и модуль их частотной передаточной функции. В результате сохраняется быстродействие демпфируемой системы и сохраняется ее полоса пропускания.
Рассмотренные методы демпфирования автоматических систем являются основными, которые используются для повышения запаса устойчивости.
Методы повышения устойчивости могут быть разбиты на три группы.
К первой группе относятся параметры, которые заданы и не могут быть изменены в процессе разработки автоматической системы. Таковы, например, параметры объекта регулирования. Такого рода параметры обычно называют заданными.
Ко второй группе параметров относятся параметры, которые в известных пределах могут выбираться конструктором произвольно выбираются в процессе разработки автоматической системы и во время эксплуатации не изменяются. Такие параметры называются конструктивными.
Воздействия по производным вводятся в автоматическую систему как для целей повышения устойчивости автоматической системы, так и для улучшения показателей переходных процессов.
Если при отсутствии воздействий по производным автоматическая система структурно-неустойчива, то при известных условиях она может быть сделана структурно-устойчивой за счет введения воздействия по производным.
Введение местных обратных связей служит для повышения устойчивости и качества переходных процессов за счет изменения характеристик охватываемых звеньев.
Например, шунтирование интегрирующего звена жесткой обратной связью эквивалентно консервативному звену. Т. о. неустойчивое звено включением жесткой обратной связи превращается в устойчивое. Шунтирование колебательного звена жесткой обратной связью приводит к уменьшению постоянных времени и коэффициентов усиления.
Реализация оптимальных частотных характеристик может быть связана со значительными трудностями. Оказывается не всегда объязательно можно получить монотонные переходные процессы, поэтому вводится желаемая ЛАХ. Исходя из требуемого порядка астатизма и предположения о том, что коэффициент усиления является заданной величиной, строится ЛАХ объекта регулирования с учетом заданного значения коэффициента усиления и коэффициента астатизма.
К третьей группе параметров относятся параметры, которые можно изменять во время эксплуатации для изменения настройки автоматической системы. Такого рода параметры называются настроечными.
