Задача 2 | |
Соединив 100 г 20%-ного раствора кислоты, немного 30%-ного раствора кислоты и 250 г воды, получили 400 г нового раствора. Каково процентное содержание нового раствора? | Решить уравнение
В ответ записать наибольшее решение. |
Задача 3 | Задача 4 |
Решить уравнение | Решить неравенство: |
Задача 5 | Задача 6 |
Найти значение параметра m, при котором сумма квадратов действительных корней уравнения
| Решить неравенство
|
Задача 7 | Задача 8 |
Решить неравенство:
| Решить уравнение |
Задача 9 | Задача 10 |
Дана точка Р, удаленная на 7см от центра окружности с радиусом 11см. Через эту точку проведена хорда длиной I8см. Каковы длины отрезков, на которые делится хорда точкой Р? В ответ записать сумму квадратов длин искомых отрезков. | Упростить алгебраическое выражение: |
Российская аэрокосмическая олимпиада школьников 2009 г
Российская аэрокосмическая олимпиада школьников 2009 г.
Задание № 16
Председатель Председатель методической предметной
оргкомитета олимпиады комиссии
__________________________ _____________________
Указания:
Задача считается решенной, если получены все ответы. Контрольные ответы записывать в виде десятичной дроби без наименований. Если требуемый ответ или решение отсутствует – ответ писать в талоне ответов слово НЕТ. При записи ответа, дроби округлять до 0,01 (0,555…≈0,56). √2 = 1,41, √3 = 1,73, π = 3,14 .
Российская аэрокосмическая олимпиада школьников 2009 г.
Задание № 16
Задача 1. Соединив 100 г 20%-ного раствора кислоты, немного 30%-ного раствора кислоты и 250 г воды, получили 400 г нового раствора. Каково процентное содержание нового раствора?
Решение.
Эта задача требует знаний о процентной концентрации раствора. Это определение рассматривается в курсе химии. Процентная концентрация – это количество грамм вещества в 100 граммах раствора. Если известно это определение, то решение задачи не вызывает затруднений.
Действительно, если получили 400 г нового раствора, то было взято 30% раствора: 400 – (100+250) = 50 г.
Полученный раствор содержит кислоту в количестве:
а) в 100 г 20% раствора: 20 г
б) в 50 г 30% раствора: 30:2= 15 г
Т. е. в 400 г раствора содержится 35 г кислоты, а в 100 г раствора содержится 35:4 = 8,75 г кислоты.
Это и есть процентное содержание полученного раствора.
Ответ: 8,75
Задача 2. Решить уравнение
В ответ записать наибольшее решение.
Решение. Большинство задач, содержащих модули, удобнее начинать с определения точек, в которых выражение в модуле обращается в ноль.
Изображаем эти точки на числовой оси. Раскрываем модули. Для этой задачи имеем:
 |
Имеем 3 интервала, на которых следует по разному раскрыть модули.
1) x < 3/4: 7- 6х – (6 – 8х) = -5х + 5; 1 + 2х = -5х + 5; 7х = 4; х = 4/7 ≈ 0,57 – этот корень подходит;
2) 3/4 < х < 7/6: 7- 6х – (8x - 6) = -5х + 5; -14x + 13 = -5х + 5; -9x + 8 = 0; х = 8/9 ≈ 0,89 – этот корень подходит;
3) х > 7/6: 6х - 7 – (8x - 6) = - x = 8/9 5х + 5; -2x -1 = -5х + 5; 3x – 6 = 0; x = 2; – этот корень подходит;
Имеется три корня, наибольшее решение: 2
Примечание. Поскольку требовалось найти наибольший корень, то для уменьшения объема вычислений можно было не вычислять все корни, а начать их вычисление с самого правого интервала. Если на нем имеется корень, то он и является наибольшим. Для записи ответа остальные корни можно было бы и не вычислять.
Ответ: 2
Задача 3. Решить уравнение 
В ответ записать сумму корней.
Решение.
Такие задачи следует начинать с выяснения области определения функций. Это позволяет исключить побочные корни и уменьшить объем решения.
Область определения. а) х ≥ -1; b) x ≤ 4; Объединим: -1 ≤ x ≤ 4
Избавимся от иррациональности:
Первый корень не входит в область определения, подходит только второй корень.
Ответ: х = 2
Задача 4. Решить неравенство: 
В ответ записать наибольшее целое значение х.
Решение.
Область определения: 
Для умножения на знаменатель следует учитывать его знак. Поэтому рассматриваем два случая.
С учетом области определения получим: 
Наибольшее целое из полученного диапазона: х = -1
Ответ: х = -1
Задача 5. Найти значение параметра m, при котором сумма квадратов действительных корней уравнения
будет наибольшей.
Запишем решение квадратного уравнения:
Уравнение имеет корни, если дискриминант неотрицательный:
Составим сумму квадратов:
Из этого выражения очевидно, что минимальная сумма квадратов корней уравнения (она равна 29) получается при m равным -1. Это значение входит в допустимый интервал m
Ответ: -1
Решить неравенство |
Задача 6.
В ответ записать наименьшее положительное значение суммы х + у.
Решение. Это неравенство содержит две переменные. В общем случае оно не решается, т. к. для решения уравнений (и неравенств) для двух переменных необходимо иметь два уравнения. Поэтому, вероятно, здесь имеется особый случай. Исследуем это неравенство.
Обозначим:
Найдем максимум В. Он совпадает с максимумом подкоренного выражения:
Найдем минимум А – показательная функция при этом будет иметь максимальное значение.
Таким образом, оказывается, что искомое неравенство выполняется при экстремальных значениях x и y. А именно, при значении показательной функции равном 5 и квадратном корне равном 3. Значения x и y определены выше. Решение нестрогого неравенства реализуется равенством: 15 = 15. Это единственное решение, т. к.:
Запишем ответ: 
Задача 7.
Решить неравенство:
В ответ записать наибольшее целое решение.
Решение. Область определения:
Ответ: 2
Задача 8.
Решить уравнение 
В ответ записать сумму решений (в градусах), удовлетворяющих условию.
Решение.
Задача 9.
Дана точка Р, удаленная на 7см от центра окружности с радиусом 11см. Через эту точку проведена хорда длиной I8см. Каковы длины отрезков, на которые делится хорда точкой Р? В ответ записать сумму квадратов длин искомых отрезков.
Дано:
R = 11 см
АВ = L = 18 см
OP = 7см
Найти: AP2 + PB2 = ?
Решение. Проводим из центра окружности перпендикуляр ОМ к хорде АВ. Это будет высота ОМ из вершины О равнобедренного треугольника ОАВ.
Тогда прямоугольные треугольники ОАМ и ОВР равны, АМ = МВ = ½ АВ = 9 см.
Из ΔОАМ по теореме Пифагора: ОМ2 = R2 – АМ2 = 112 – 92 =121 – 81 = 40;
Из ΔОМР по теореме Пифагора: РМ2 = ОР2 – ОМ2 = 72 – 40 =49 – 40 = 9; РМ = √9 = 3.
Тогда: АР = АМ + РМ = 9 + 3 = 12 см; РВ = МВ – РМ = 9 – 3 = 6 см. AP2 + PB2 = 122 + 62 = 144 + 36 = 180
Ответ: 180
Задача 10.
Упростить алгебраическое выражение: 
и вычислить при x = З.
Решение.
Приводим выражения в круглых скобках к общему знаменателю:
