Выполнение задания

Выполнение задания

1. Задание для решения нелинейных уравнений:

·  уравнение ;

·  методы решения нелинейных уравнений для ручного расчета – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд;

·  методы решения нелинейных уравнений для расчета на ПК – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

2.  Отделение корней

Следовательно, уравнение имеет единственный корень на отрезке [1; 1,2].

Вычислим корень уравнения аналитически средствами MathCad и MatLab.

>> solve('1-x+sin(x)-ln(1+x)=0') ans = 1.

В качестве точного решения уравнения примем х*=1,147439.

Метод половинного деления

3.  Исследование задания для «ручного расчета»

Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [1; 1,2] функция меняет знак и монотонна (f’(x)<0), то условие сходимости выполняется.

Выберем за начальное приближение середину отрезка .

4.  Результаты «ручного расчета» трех итераций

Результаты вычислений.

n	a	b	y(a)	y(b)	(a+b)/2	y( (a+b)/2)	b-a
1	1	1.2	0.148	-0.056	1.1	0.049	0.2
2	1.1	1.2	0.043	-0.056	1.15	-0.0027	0.1
3	1.1	1.15	0.046	-0.003	1.125	0.023	0.125
4	1.25	1.15	0.023	-0.003	1.137	0.01	0.025

После трех итераций приближение к корню x3=1.137.

5.  .Погрешность численного решения нелинейных уравнений

В качестве точного решения уравнения примем х*=1,147439., а x3=1.137

Оценим погрешности результатов . Погрешность равна

.

6.  Исследование задания для «расчета на ПК»

Исследование для метода половинного деления приведено в п. 1 настоящего примера.

7.  Схема алгоритмов, программа и контрольное тестирование

Базовая схема алгоритма метода половинного деления приведена на рис.6.2.3-2 в [2], а программу студенты должны написать самостоятельно и провести контрольное тестирование.

Схема алгоритма

Программа и контрольное тестирование

8.  Результаты «расчета на ПК»

Результаты расчета приближенного корня уравнения с различной точностью по программе, написанной по схеме алгоритма с различными значениями точности, приведены в следующей таблице:

E	n	x	у(x)	Погрешность
0. 01	3	1,1525	-5,3Е-3	5,0Е-3
0. 001	6	1,1481	-3,34Е-4	3,7Е-4
0.0001	10	1,1474	3,85Е-5	3,9Е-5

В качестве точного решения уравнения примем х*=1,147439.

9.  Зависимость числа итераций от точности в логарифмическом масштабе

Для метода половинного деления по данным таблицы построим зависимость

ε	0.01	0.001	0.0001
n	3	6	10

Метод итераций

3.  Исследование задания для «ручного расчета»

Приведем уравнение y(x)=0 к виду . Тогда рекуррентная формула . Для сходимости процесса итерации необходимо, чтобы при . Если то сходимость не обеспечена.

В случае, когда свободный х выразить не удается, целесообразно воспользоваться следующим приемом, позволяющим обеспечить выполнение условий сходимости.

Построим функцию где параметр может быть определен по правилу: если то если то где .

Приведем уравнение y(x)=0 к виду и проведем исследование.

Функция во всех точках интервала

Выберем начальное значение (в методе итераций x0 – произвольное значение из отрезка [a;b]), например, x0=1, и с использованием итерационной функции выполним три итерации.

4.  «Ручной расчет» трех итераций

Результаты вычислений удобно представить в виде табл.

к	Xк	у(xк)
0	1	1-9,3Е-4
1	1.14832	5.15Е-5
2	1.14739	4.21 • 10-2
3	1,14744	--2.8Е-6

5.  Погрешность численного решения нелинейных уравнений

Оценим погрешность результата, полученного после трех итераций.

Погрешность результата, вычисленного методом итерации, можно оценить с помощью выражения 6.2.3-4 в [2]:

.

6.  Исследование задания для «расчета на ПК»

Исследование для метода итерации приведено в п. 1 настоящего примера.

7.  Схема алгоритмов, программа и контрольное тестирование

Базовая схема алгоритма метода итерации приведена на рис.6.2.3-5 в [2], а программу студенты должны написать самостоятельно и провести контрольное тестирование.

Схема алгоритма

Программа.

8.  Результаты «расчета на ПК» и погрешность результата «расчета на ПК»

Результаты расчета приближенного корня уравнения с различной точностью, по программе, написанной по схеме алгоритма рис. 6.2-3-5 с различными значениями точности, приведены в следующей таблице:

Принимаем за точное решение x*=1. тогда погрешность результатов «расчета на ПК».

	i	x	у(x)	Погрешность
0. 01	2	1.143582	4E-3	3.86E-3
0. 001	3	1.147645	-2E-4	2.06E-4
0.0001	4	1.147428	1E-5	-1.1E-5

9.  Зависимость числа итераций от точности в логарифмическом масштабе

Метод Ньютона

3.  Исследование задания для «ручного расчета»

Из условия для уравнения где , а выберем начальное приближение к корню: .

Для получения решения уравнения методом Ньютона воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

В нашем случае

4.  «Ручной расчет» трех итераций

Представим вычисления в виде следующей табл.

k	Xk	f(xk)
0	1	0.148
1	1.154553	-7.5Е-3
2	1.147456	-1.7Е-5
3	1.147439	-9.6Е-11

5.  Погрешность численного решения нелинейных уравнений

x*=1.; x3=1..

После 3-ей итерации результат до 18-го знака после запятой не отличается от принятого точного решения. Погрешности результатов после 2-ой итерации

Оценку погрешности результата, вычисленного методом Ньютона, можно проводить по формуле 6.2.3-11 в [2]:

Оценим погрешность после трех итераций:

Метод хорд

3.  Исследование задания для «ручного расчета».

Проверка выполнения условий сходимости. Для сходимости метода необходимо знакопостоянство на отрезке [a;b].

Выбор начального приближения. Вид рекуррентной формулы зависит от того, какая из точек a или b является неподвижной. Неподвижен тот конец отрезка [a;b] , для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точку х0.

Рекуррентная формула метода хорд (6.2.3-13) в [2]:

где - неподвижная точка.

Для функции на отрезке [1; 1.2] неподвижной точкой является точка x=b=1.2, так как

Таким образом, полагая x0=a=1, получим сходящуюся последовательность приближений к корню.

В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид

Условие окончания процесса уточнения корня. Оценку погрешности можно проводить по любой из формул (6.2.3-15 или 6.2.3-16) в [2].

4.  «Ручной расчет» трех итераций

Для получения решения уравнения методом хорд воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

Результаты вычислений удобно представить в виде следующей таблицы:

n	Xn	y(xn)
0	1	0.147
1	1.144888	2.7У-3
2	1.147395	4.6Е-5
3	1.	8У-7

5.  Погрешность численного решения нелинейных уравнений

x*=1.; x3=1..

Погрешность результата

Погрешность результата, вычисленного методом хорд, оцениваем по формуле
6.2-3-15 в [2]. Тогда после трех итераций