Задача 1

Задача 1.

Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая) о рабочих завода за месяц:

По исходным данным:

1. А) постройте статистический ряд распределения рабочих по заработной плате, образовав 4 группы с равными интервалами. Постройте график ряда распределения.

1. Б) рассчитайте характеристики ряда распределения рабочих по заработной плате: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

Указание: при расчете средней арифметической и среднего квадратического отклонения примените способ «моментов». Сделайте выводы.

2. С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки средней заработной платы рабочих и границы, в которых будет находиться средняя заработная плата рабочих завода.

3. Методом аналитической группировки выявите характер зависимости между заработной платой рабочих и процентом выполнения норм выработки. Результаты оформите в виде рабочей и аналитической таблиц.

Сделайте выводы.

Решение:

Построим интервальный ряд распределения с 4-мя равными интервалами.

Величина интервала в случае равных интервалов рассчитывается по формуле:

где n – число выделенных интервалов.

n=4.

Подставив эти значения в формулу получим:

Сгруппируем данные:

№ группы	интервалы заработной платы	№предприятия	заработная плата
1	9-13,3	1	9
4	10,2
5	11,5
6	10,4
2	13,3-17,6	3	15,4
14	16,5
15	15,8
16	14,6
18	17,3
20	14,2
3	17,6-21,9	7	18,3
8	21,8
10	19,4
13	19,4
17	18
19	21,6
4	21,9-26,2	2	26,2
9	23,1
11	25
12	22,8
21	24,2
22	24,9

Построим полигон частот по данному интервальному распределению выборки приняв за значение варианты середину интервала. Определение варианты как полусуммы верхней и нижней границ интервального ряда исходит из предположения, что индивидуальные значения признака внутри интервала распределяются равномерно и, следовательно, средние значения интервалов достаточно близко примыкают к средней арифметической в каждой группе.

№ группы	интервал	середина интервала (варианта Хi)	частота ni
1	9-13,3	11,15	4
2	13,3-17,6	15,45	6
3	17,6-21,9	19,75	6
4	21,9-26,2	24,05	6

Построим гистограмму частот:

№ группы	интервал	частота ni	плотность частоты
1	9-13,3	4	0,930
2	13,3-17,6	6	1,395
3	17,6-21,9	6	1,395
4	21,9-26,2	6	1,395

Рассчитаем среднюю арифметическую и дисперсию вариации методом условных моментов.

Средняя арифметическая, вычисленная методом моментов:

где - середина модального интервала.

- условные варианты.

интервал	середина интервала (варианта Хi)	условная варианта Zi	частота ni
9-13,3	11,15	-1	4
13,3-17,6	15,45	0	6
17,6-21,9	19,75	1	6
21,9-26,2	24,05	2	6

Определим дисперсию методом условных моментов:

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент вариации:

Итак, средняя величина заработной платы на предприятии составляет 18,186 тыс. руб..

Среднеквадратическое отклонение показывает, что значение признака в совокупности отклоняется от средней величины в ту или иную сторону в среднем на 4,592 тыс. руб.

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков, а, следовательно, об однородности состава совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по составу. В нашем случае коэффициент вариации достаточно мал, что дает основания говорить что совокупность в достаточной мере однородна.

Определим с вероятностью 0,954 ошибку выборки средней заработной платы рабочих.

Механическая выборка представляет собой отбор единиц через равные промежутки (по алфавиту, через временные промежутки, по пространственному способу и т. д.). При проведении механического отбора генеральная совокупность разбивается на равные по численности группы, из которых затем отбирается по одной единице. Следовательно применим формулу расчета предельной ошибки средней бесповторной случайной выборки:

Для P = 0.954 коэффициент доверия t = 2

Доля лиц вошедших в выборочную совокупность:

Подставив получаем:

Определим границы в которых с заданной вероятностью будет находиться средняя заработная плата по генеральной совокупности:

Итак, с вероятностью 0,954 можно сказать, что средняя величина признака (заработной платы) генеральной совокупности находится в пределах от 16,328 тыс. руб. до 20,044 тыс. руб.

Аналитическая группировка позволяет изучать взаимосвязь факторного и результативно признаков.

Основные этапы проведения аналитической группировки – обоснование и выбор факторного и результативного признаков, подсчет числа единиц в каждой из образованных групп, определение объема варьирующих признаков в пределах созданных групп, а также исчисление средних размеров результативного показателя. Результаты группировки оформляют в таблице.

Рассчитаем число интервальных групп на которые будет разбит ряд величины выработки по формуле Стреджесса:

Рассчитаем теперь размер равных интервалов:

Представим полученные результаты в виде таблицы:

Заработная плата	Процент выполнения норм выработки	Итого
80-90	90-100	100-110	110-120
9-13,3	2	2			4
13,3-17,6			6		6
17,6-21,9		1	4	1	6
21,9-26,2			2	4	6
Итого	2	3	12	5	22

Строим рабочую таблицу распределения предприятий по проценту выполнения норм выработки:

№ группы	Группировка по выполнению норм	№предприятия	Выполнение нормы выработки	Заработная плата
1	80-90	1	80	9
6	89	10,4
Итого	2	169	19,4
В среднем на одно предприятие	84,5	9,7
2	90-100	4	98	10,2
5	92	11,5
17	100	18
Итого	3	290	39,7
В среднем на одно предприятие	96,67	13,23
3	100-110	3	103	15,4
		7	105	18,3
		8	107	21,8
		9	109	23,1
		13	106	19,4
		14	104	16,5
		15	104	15,8
		16	102	14,6
		18	107	17,3
		19	105	21,6
		20	106	14,2
		21	108	24,2
Итого	12	1266	222,2
В среднем на одно предприятие	105,5	18,52
4	110-120	2	120	26,2
10	111	19,4
11	114	25
12	113	22,8
22	118	24,9
Итого	5	576	118,3
В среднем на одно предприятие	115,2	23,66
ВСЕГО	22	2301	399,6

Теперь по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу:

№ группы	Группировка по выполнению норм	количество предприятий	Выполнение норм выработки	Заработная плата
всего	в среднем на одно предприятие	всего	в среднем на одно предприятие
1	80-90	2	169	84,5	19,4	9,7
2	90-100	3	290	96,67	39,7	13,23
3	100-110	12	1266	105,5	222,2	18,52
4	110-120	5	576	115,2	118,3	23,66
итого	-	22	2301,00	104,59	399,60	18,16

Вычисляем коэффициент детерминации по формуле:

где - межгрупповая дисперсия, находящаяся по формуле:

- общая дисперсия результативного признака, находящаяся по формуле:

Теперь находим:

Для каждой группы предприятий рассчитаем значение и внесем в таблицу:

№ группы	Группировка по выполнению норм	Кол-во предпр.	Выполнение норм выработки	Заработная плата
всего	в среднем на одно предприятие	всего	в среднем на одно предприятие
1	80-90	2	169	84,5	19,4	9,7	71,633	143,266
2	90-100	3	290	96,67	39,7	13,23	24,308	72,924
3	100-110	12	1266	105,5	222,2	18,52	0,125	1,496
4	110-120	5	576	115,2	118,3	23,66	30,210	151,050
итого	-	22	2301,00	104,59	399,60	18,16	126,276	368,736

Находим межгрупповую дисперсию:

Для нахождения общей дисперсии, нужно рассчитать:

Вычисляем коэффициент детерминации:

Эмпирическое корреляционное отношение составляет:

Это говорит о том, что связь между факторным и результативным признаками очень тесная, т. е. это свидетельствует о существенном влиянии на выполнение норм выработки уровня заработной платы.