Линейные однородные дифференциальные уравнения

Линейные однородные дифференциальные уравнения.

Введение.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка в теории дифференциальных уравнений занимают важное место не только потому, что представляют собой простой и хорошо изученный тип уравнений, но и потому, что многие практические задачи физики, механики, техники и особенно электротехники приводят к решению этих уравнений.

Именно потребности практики вызвали бурное развитие теории линейных дифференциальных уравнений. Теория линейных дифференциальных уравнений в настоящее время развита глубже и основательнее остальных разделов теории дифференциальных уравнений.

1.Общий вид линейного дифференциального уравнения, однородные уравнения.

Большое количество задач математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к особому виду дифференциальных уравнений, так называемым линейным уравнениям. Дифференциальное уравнение вида:

(1)

-называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Здесь коэффициенты уравнения , , и свободный член – заданные функции аргумента х. Если º 0, то линейное уравнение принимает вид:

(2)

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением (или уравнением без правой части). Если же , то уравнение (1) называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением (или уравнением с правой частью).

Например, уравнения

и

являются линейными, причем первое из них неоднородное, а второе – однородное.

Уравнения

и

не принадлежит к виду (1) и не является линейным. Первое из них содержит квадрат производной, а второе – член с произведением второй производной на искомую функцию.

Решим уравнение (1) относительно :

(3)

Так как это уравнение является частным видом дифференциального уравнения , то для него справедлива теорема существования и единственности решения, сформулированная в предыдущем параграфе. Однако для линейного уравнения эта теорема может быть сформулирована проще.

Действительно, допустим, что коэффициенты уравнения , , и свободный член непрерывны в некотором интервале , причем коэффициент не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала. Тогда правая часть уравнения (3)

=

и ее частные производные

и

являются непрерывными функциями при любых значениях переменных у и и при значениях х, принадлежащих интервалу . На основании сказанного сформулируем теперь теорему Коши существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения (1).

Теорема. Если коэффициенты , , и правая часть линейного уравнения (1) непрерывны в интервале , причем коэффициент не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала, то каковы бы ни были начальные условия

,

где точка хо принадлежит интервалу , существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.

2. Свойства решений однородного линейного дифференциального уравнения.

Рассмотрим свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений.

Теорема 1. Если функция и являются решениями линейного однородного уравнения (2), то и функция также является решением этого уравнения при любых значениях постоянных С1 и С2.

Доказательство. Выражение называется линейной комбинацией функций .Подставив функцию и ее производные в левую часть уравнения (2), получим

[]II + []I + [] =

= [] + [] + [] =

= ,

поскольку функции и являются решениями уравнения (2) и, следовательно, последние два выражения в квадратных скобках равны нулю.

Так как общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные С1 и С2, то возникает вопрос: не будет ли решение общим решением уравнения (2)?

Покажем, что это не всегда имеет место. Так, например, уравнение удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения при любых начальных условиях. Это уравнение имеет, как легко проверить, частные решения и . Однако их линейная комбинация , являясь решением данного уравнения, не будет его общим решением. Действительно, нетрудно убедиться в том, что функция у =cos2x, удовлетворяющая начальным условиям , ,

является решением уравнения . Однако это решение нельзя получить из линейной комбинации , так как уже первое начальное условиедля функции не выполняется ни при каких значениях С1 и С2: Сsin0 + С210sin0 ¹ 1.

3. Фундаментальная система решений.

Два частных решения и однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка образуют фундаментальную систему решений на некотором интервале , если ни в одной точке этого интервала определитель

(4)

не обращается в нуль.

Определитель W(х) называется определителем Вронского (или вронскианом).

Ю. Вронский () – польский математик.

Пример 1. Выше мы указали, что уравнение имеет своим частными решениями функции , , . Легко убедиться, что первое и второе решения не образуют фундаментальной системы, а первое и третье образуют фундаментальную систему на всей числовой оси. Действительно,

Пример 2. Легко проверить, что уравнение имеет частные решения и . Эти решения образуют фундаментальную систему на любом интервале, не содержащем точку х = 0. Действительно,

т. е. определить Вронского не обращается в нуль при х¹0.

Замечание. Очевидно, всякое линейное однородное уравнение имеет решение . Однако это решение ни с одним другим частным решением фундаментальной системы не образует так как в этом случае определить Вронского тождественно равен нулю:

Понятие фундаментальной системы частных решений линейного однородного дифференциального уравнения тесно связано с понятиями линейной зависимости и независимости решений.

Две функции и называются линейно зависимыми на интервале , если существуют числа l 1 и l 2 из которых хотя бы одно не равно нулю, что для всех х, принадлежащих интервалу, имеет место равенство

(5)

Если же это равенство выполняется для всех х из интервала только при

l 1=l 2=0, то функция у1(х) и у2(х) называются линейно независимыми на данном интервале.

Очевидно, что если функции у1(х) и у2(х) линейно зависимы, то они пропорциональны. Действительно, пусть, например, l1 ¹ 0. Тогда из равенства (5) следует, что . Очевидно, что и обратно, если функции пропорциональны, то они линейно зависимы.

Легко убедиться в том, что если два частных решения у1(х) и у2(х) уравнения (2) линейно зависимы, т. е. , то они не образуют фундаментальную систему; в самом деле, в этом случае определить Вронского тождественно равен нулю:

Пусть в уравнении (2) коэффициенты ао(х), а1(х), а2(х) непрерывны и ао(х) ¹ 0 на интервале . Тогда, как можно показать, имеет место обратное предложение: если два решения у1(х) и у2(х) уравнения (2) линейно независимы на интервале , то они образуют на этом интервале фундаментальную систему.

Ответ на поставленный выше вопрос о виде общего решения однородного линейного уравнения дает следующая теорема.

4. Структура общего решения линейного однородного уравнения.

Теорема 2. (о структуре общего решения). Если два частных решения и уравнения (2) образуют на интервале фундаментальную систему, то общее решение этого уравнения имеет вид

(6)

При этом предполагается, что коэффициенты ао(х), а1(х), а2(х) непрерывны и ао(х) ¹0 на интервале .

Доказательство.

Прежде всего заметим, что при любых С1 и С2 функция на основании теоремы 1 является решением уравнения (2). Поэтому, чтобы убедиться, что это решение является общим, остается показать, что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

, (7)

где точка хо принадлежит интервалу , а и произвольны.

Пусть V=V(х) – какое-либо решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (7). Покажем, что оно может быть выделено из решения (6) надлежайшим выбором постоянных С1 и С2. Действительно, так как и то, подставляя начальные условия, получим

Эти равенства представляют собой систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными С1 и С2. Определитель этой системы

равен значению определителя Вронского W(х) при х=хо. Так как по условию частные решения у1(х) и у2(х) образуют фундаментальную систему частных решений на интервале , которому принадлежит точка хо, то W(хо) = 0. Поэтому для неизвестных С1 и С2 получим следующие единственные значения:

;

Полученное частное решение в силу теоремы единственности совпадает с решением V(х). Итак, показано что если у1(х) и у2(х) образуют фундаментальную систему частных решений, то общее решение имеет вид:

.

Из показанной теоремы следует, что для нахождения общего решения достаточно знать два его частных решения, образующих фундаментальную систему.

Пример 3. Рассмотрим уравнение . Как мы видели в примере 2, функции и образуют фундаментальную систему решений этого уравнения на любом интервале, не содержащем точку х = 0. Поэтому на основании теоремы 2 общее решение данного уравнения имеет вид

Найдем частное решение при следующих начальных условиях:

,

Так как , то, подставляя начальные условия, получим систему уравнений для определения постоянных С1 и С2 :

 

О = С1 + С2

I = С1 + 2С2

Решая эту систему, находим С1 = - I, С2 = I. Таким образом, искомое частное решение имеет вид у = х2 – х.

Так, в рассмотренном выше примере 2 система решений у1 = х, у2 = х2 является фундаментальной, поскольку эти решения линейно независимы:

Заключение.

Решение целого ряда практических проблем сводится к решению линейных дифференциальных уравнений. Однако даже в тех случаях, когда та или иная практическая проблема приводит к более сложному («нелинейному») дифференциальному уравнению, часто оказывается возможным найти приближённое решение задачи, заменяя полученное нелинейное уравнение «близким» ему линейным.

Этим объясняется то громадное значение, которое приобрели линейные дифференциальные уравнения.